Vectorvoorstelling van een lijn
Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -3\end{pmatrix} ∧ -2 ≤ t ≤ -1 \text{.}\)
2p
Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.
○
\(t = -2\) geeft \(x = 6 - 2 ⋅ -2 = 10\) en \(y = 3 - 2 ⋅ -3 = 9 \text{,}\) dus \((10 , 9) \text{.}\)
1p
○
\(t = -1\) geeft \(x = 6 - 1 ⋅ -2 = 8\) en \(y = 3 - 1 ⋅ -3 = 6 \text{,}\) dus \((8 , 6) \text{.}\)
1p
Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)
3p
Onderzoek of het punt \(A (44 , 25)\) op \(l\) ligt.
○
\(x = 44\) geeft
\(2 + 6 t = 44\)
\(6 t = 42\)
\(t = 7 \text{.}\)
1p
○
\(t = 7\) geeft \(y = 4 + 7 ⋅ 3 = 25 \text{.}\)
1p
○
Dus \(A\) ligt op \(l \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)
○
[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}2 + 4 t = 1 + 4 u \\ 5 + 2 t = 2 + u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}4 t - 4 u = -1 \\ 2 t - u = -3\end{cases}\)
1p
○
\(\begin{cases}4 t - 4 u = -1 \\ 2 t - u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - 4 u = -1 \\ 4 t - 2 u = -6\end{cases}\)
1p
○
Aftrekken geeft \(-2 u = 5\) en dus \(u = -2\frac{1}{2}\)
1p
○
\(u = -2\frac{1}{2}\) geeft \(x = 1 + 4 ⋅ -2\frac{1}{2} = -9\) en \(y = 2 - 2\frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(S (-9 , -\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,4 x + y = 18 \text{.}\)
3p
Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)
○
Substitutie geeft
\(4 (1 + 3 t) + (1 + t) = 18 \text{.}\)
1p
○
\(4 + 12 t + 1 + t = 18\)
\(13 t + 5 = 18\)
\(13 t = 13\)
\(t = 1 \text{.}\)
1p
○
Invullen van \(t = 1\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = 1 + 1 ⋅ 3 = 4\)
en
\(y = 1 + 1 ⋅ 1 = 2\)
dus \(S (4 , 2) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (1 , -3) \text{,}\) \(B (0 , -5)\) en \(C (-4 , -6) \text{.}\)
2p
Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ -6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (4 , 7)\) en \(B (1 , 2) \text{.}\)
2p
Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-3 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (7 , 5)\) en \(B (3 , 0) \text{.}\)
2p
Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -5\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)
1p