Vectoren en hoeken

09 - 3 oefeningen

HoekInDriehoek
00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 2ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.4

Gegeven zijn de punten \(\text{P} (5 , -7) \text{,}\) \(\text{Q} (3 , -1)\) en \(\text{R} (0 , 4) \text{.}\)

3p

Bereken de hoek \(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R \text{.}\)

\(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} = \begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{q} = \begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

\(\cos(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R) = {\begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {-36 \over \sqrt{40} ⋅ \sqrt{34}} \text{.}\)

1p

\(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R = \cos^{-1}({-36 \over \sqrt{40} ⋅ \sqrt{34}}) ≈ 167{,}5\degree\)

1p

HoekTussenTweeLijnen
00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.4

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -6\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

2p

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {30 \over \sqrt{37} ⋅ \sqrt{25}}\)

1p

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({30 \over \sqrt{37} ⋅ \sqrt{25}}) ≈ 9{,}5\degree\)

1p

HoekTussenTweeVectoren
00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 10.4

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

2p

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {17 \over \sqrt{26} ⋅ \sqrt{13}} \text{.}\)

1p

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({17 \over \sqrt{26} ⋅ \sqrt{13}}) ≈ 22{,}4\degree\)

1p

00qf 00qe 00qd