Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=2x^4-10x^2+12\)

\(f'(\sqrt{3})=2(\sqrt{3})^4-10(\sqrt{3})^2+12=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f'(x)=-6x^2+42x-60\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-6x^2+42x-60=0\)
\(x^2-7x+10=0\)
\((x-2)(x-5)=0\)
\(x=2∨x=5\)

Schets:

min. is \(f(2)=-32\) en max. is \(f(5)=-5\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3-12x^2+144x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-12x^2+144x=0\)
\(x^3+x^2-12x=0\)
\(x(x+4)(x-3)=0\)
\(x=0∨x=-4∨x=3\)

Schets:

max. is \(f(-4)=598\text{,}\) min. is \(f(0)=-42\) en max. is \(f(3)=255\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{3x+1}=\frac{1}{2}x-(3x+1)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⋅(3x+1)^{-\frac{1}{2}}⋅3=\frac{1}{2}-{3 \over 2\sqrt{3x+1}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{3 \over 2\sqrt{3x+1}}=0\)
\(-{3 \over 2\sqrt{3x+1}}=-\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{3x+1}=6\)
\(\sqrt{3x+1}=3\)

Kwadrateren geeft
\(3x+1=9\)
\(x=2\frac{2}{3}\)

Schets:

min. is \(f(2\frac{2}{3})=-1\frac{2}{3}\text{.}\)

\(3x+1≥0\) geeft \(x≥-\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(D_f=[-\frac{1}{3}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(2\frac{2}{3})=-1\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(B_f=[-1\frac{2}{3}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={5x^2+4x+45 \over 3x}={5x^2 \over 3x}+{4x \over 3x}+{45 \over 3x}=\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}+15x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{5}{3}+15⋅-1⋅x^{-2}=\frac{5}{3}-{15 \over x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{5}{3}-{15 \over x^2}=0\)
\(\frac{5}{3}={15 \over x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(5x^2=45\)
\(x^2=9\)
\(x=\sqrt{9}=3∨x=-\sqrt{9}=-3\)

Schets:

min. is \(f(-3)=-8\frac{2}{3}\) en max. is \(f(3)=11\frac{1}{3}\text{.}\)

\(f(2)=2\text{,}\) dus \(A(2, 2)\)

\(f(x)={8 \over 3x-2}=8(3x-2)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=8⋅-1⋅(3x-2)^{-2}⋅3={-24 \over (3x-2)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(2)=-\frac{3}{2}\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(y=\frac{2}{3}x+b\)

\(\begin{rcases}y=\frac{2}{3}x+b \\ \text{door }A(2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{2}{3}⋅2+b=2 \\ 1\frac{1}{3}+b=2 \\ b=\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\text{.}\)

\(B(0, \frac{2}{3})\)

\(f(2)=8\text{,}\) dus \(A(2, 8)\text{.}\)

\(f(x)=-2x^3+5x^2+5x-6\) geeft \(f'(x)=-6x^2+10x+5\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(2)=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+b \\ \text{door }A(2, 8)\end{rcases}\begin{matrix}1⋅2+b=8 \\ 2+b=8 \\ b=6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=x+6\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2-2x-3=-x^2-3x-2\)
\(2x^2+x-1=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=1^2-4⋅2⋅-1=9\) geeft
\(x={-1-\sqrt{9} \over 2⋅2}=-1∨x={-1+\sqrt{9} \over 2⋅2}=\frac{1}{2}\)

\(x_A=-1\text{,}\) dus \(y_A=g(-1)=0\)

\(g'(x)=-2x-3\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-1)=-1\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=-x+b \\ \text{door }A(-1, 0)\end{rcases}\begin{matrix}-1⋅-1+b=0 \\ 1+b=0 \\ b=-1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-x-1\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2-2x-3=-x-1\)
\(x^2-x-2=0\)
\((x+1)(x-2)=0\)
\(x=-1∨x=2\)

\(x_C=2\text{,}\) dus \(y_C=f(2)=-3\) en
\(C(2, -3)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{2}x^2+17x+4\) geeft \(f'(x)=x^2+7x+17\text{.}\)

\(f'(x)=5\) geeft
\(x^2+7x+17=5\)
\(x^2+7x+12=0\)
\((x+4)(x+3)=0\)
\(x=-4∨x=-3\text{.}\)

\(f(-4)=-29\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(A(-4, -29\frac{1}{3})\text{.}\)

\(f(-3)=-24\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(B(-3, -24\frac{1}{2})\text{.}\)