Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=2x^4-11x^2+15\)

\(f'(\sqrt{3})=2(\sqrt{3})^4-11(\sqrt{3})^2+15=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f'(x)=-3x^2+6x+45\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-3x^2+6x+45=0\)
\(x^2-2x-15=0\)
\((x+3)(x-5)=0\)
\(x=-3∨x=5\)

Schets:

min. is \(f(-3)=-31\) en max. is \(f(5)=225\text{.}\)

\(f'(x)=12x^3+36x^2-120x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(12x^3+36x^2-120x=0\)
\(x^3+3x^2-10x=0\)
\(x(x+5)(x-2)=0\)
\(x=0∨x=-5∨x=2\)

Schets:

min. is \(f(-5)=-1\,138\text{,}\) max. is \(f(0)=-13\) en min. is \(f(2)=-109\text{.}\)

\(f(x)=\frac{2}{3}x-\sqrt{4x-1}=\frac{2}{3}x-(4x-1)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}⋅(4x-1)^{-\frac{1}{2}}⋅4=\frac{2}{3}-{2 \over \sqrt{4x-1}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{2}{3}-{2 \over \sqrt{4x-1}}=0\)
\(-{2 \over \sqrt{4x-1}}=-\frac{2}{3}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{4x-1}=6\)
\(\sqrt{4x-1}=3\)

Kwadrateren geeft
\(4x-1=9\)
\(x=2\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(2\frac{1}{2})=-1\frac{1}{3}\text{.}\)

\(4x-1≥0\) geeft \(x≥\frac{1}{4}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{1}{4}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(2\frac{1}{2})=-1\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(B_f=[-1\frac{1}{3}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+11x+25 \over 8x}={4x^2 \over 8x}+{11x \over 8x}+{25 \over 8x}=\frac{1}{2}x+\frac{11}{8}+\frac{25}{8}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{25}{8}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{1}{2}-{25 \over 8x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{25 \over 8x^2}=0\)
\(\frac{1}{2}={25 \over 8x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(8x^2=50\)
\(x^2=\frac{25}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{25}{4}}=2\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{25}{4}}=-2\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-2\frac{1}{2})=-1\frac{1}{8}\) en max. is \(f(2\frac{1}{2})=3\frac{7}{8}\text{.}\)

\(f(-2)=-1\text{,}\) dus \(A(-2, -1)\)

\(f(x)={3 \over 4x+5}=3(4x+5)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=3⋅-1⋅(4x+5)^{-2}⋅4={-12 \over (4x+5)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(-2)=-\frac{4}{3}\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(y=\frac{3}{4}x+b\)

\(\begin{rcases}y=\frac{3}{4}x+b \\ \text{door }A(-2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{3}{4}⋅-2+b=-1 \\ -1\frac{2}{4}+b=-1 \\ b=\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}\text{.}\)

\(B(0, \frac{1}{2})\)

\(f(-1)=-2\text{,}\) dus \(A(-1, -2)\text{.}\)

\(f(x)=5x^3+3x^2-6x-6\) geeft \(f'(x)=15x^2+6x-6\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-1)=3\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=3x+b \\ \text{door }A(-1, -2)\end{rcases}\begin{matrix}3⋅-1+b=-2 \\ -3+b=-2 \\ b=1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=3x+1\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2-5x+3=-x^2+3x-3\)
\(2x^2-8x+6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=(-8)^2-4⋅2⋅6=16\) geeft
\(x={8-\sqrt{16} \over 2⋅2}=1∨x={8+\sqrt{16} \over 2⋅2}=3\)

\(x_A=1\text{,}\) dus \(y_A=g(1)=-1\)

\(g'(x)=-2x+3\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(1)=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+b \\ \text{door }A(1, -1)\end{rcases}\begin{matrix}1⋅1+b=-1 \\ 1+b=-1 \\ b=-2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=x-2\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2-5x+3=x-2\)
\(x^2-6x+5=0\)
\((x-1)(x-5)=0\)
\(x=1∨x=5\)

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=3\) en
\(C(5, 3)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{2}x^2+10x+2\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+7x+10\text{.}\)

\(f'(x)=-2\) geeft
\(x^2+7x+10=-2\)
\(x^2+7x+12=0\)
\((x+4)(x+3)=0\)
\(x=-4∨x=-3\text{.}\)

\(f(-4)=-2\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(A(-4, -2\frac{2}{3})\text{.}\)

\(f(-3)=-4\frac{5}{6}\text{,}\) dus \(B(-3, -4\frac{5}{6})\text{.}\)