Toepassingen van de afgeleide functie

\(f'(x)=2x^4-8x^2+6\)

\(f'(\sqrt{3})=2(\sqrt{3})^4-8(\sqrt{3})^2+6=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f'(x)=-3x^2-6x+9\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-3x^2-6x+9=0\)
\(x^2+2x-3=0\)
\((x+3)(x-1)=0\)
\(x=-3∨x=1\)

Schets:

min. is \(f(-3)=-70\) en max. is \(f(1)=-38\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3-36x^2+48x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-36x^2+48x=0\)
\(x^3+3x^2-4x=0\)
\(x(x+4)(x-1)=0\)
\(x=0∨x=-4∨x=1\)

Schets:

max. is \(f(-4)=433\text{,}\) min. is \(f(0)=49\) en max. is \(f(1)=58\text{.}\)

\(f(x)=\sqrt{4x-2}-\frac{1}{2}x=(4x-2)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}x\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}⋅(4x-2)^{-\frac{1}{2}}⋅4-\frac{1}{2}={2 \over \sqrt{4x-2}}-\frac{1}{2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\({2 \over \sqrt{4x-2}}-\frac{1}{2}=0\)
\({2 \over \sqrt{4x-2}}=\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4x-2}=4\)

Kwadrateren geeft
\(4x-2=16\)
\(x=4\frac{1}{2}\)

Schets:

max. is \(f(4\frac{1}{2})=1\frac{3}{4}\text{.}\)

\(4x-2≥0\) geeft \(x≥\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{1}{2}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

max. is \(f(4\frac{1}{2})=1\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(B_f=⟨\leftarrow , 1\frac{3}{4}]\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+11x+25 \over 3x}={4x^2 \over 3x}+{11x \over 3x}+{25 \over 3x}=\frac{4}{3}x+\frac{11}{3}+\frac{25}{3}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{4}{3}+\frac{25}{3}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{4}{3}-{25 \over 3x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{4}{3}-{25 \over 3x^2}=0\)
\(\frac{4}{3}={25 \over 3x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(12x^2=75\)
\(x^2=\frac{25}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{25}{4}}=2\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{25}{4}}=-2\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-2\frac{1}{2})=-3\) en max. is \(f(2\frac{1}{2})=10\frac{1}{3}\text{.}\)

\(f(3)=1\text{,}\) dus \(A(3, 1)\)

\(f(x)={1 \over 2x-5}=1(2x-5)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=1⋅-1⋅(2x-5)^{-2}⋅2={-2 \over (2x-5)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(3)=-2\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=\frac{1}{2}x+b\)

\(\begin{rcases}y=\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(3, 1)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{2}⋅3+b=1 \\ 1\frac{1}{2}+b=1 \\ b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\text{.}\)

\(B(0, -\frac{1}{2})\)

\(f(-1)=-3\text{,}\) dus \(A(-1, -3)\text{.}\)

\(f(x)=6x^3+5x^2-4x-6\) geeft \(f'(x)=18x^2+10x-4\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-1)=4\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=4x+b \\ \text{door }A(-1, -3)\end{rcases}\begin{matrix}4⋅-1+b=-3 \\ -4+b=-3 \\ b=1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=4x+1\text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+3x-5=-x^2+4x+5\)
\(2x^2-x-10=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=(-1)^2-4⋅2⋅-10=81\) geeft
\(x={1-\sqrt{81} \over 2⋅2}=-2∨x={1+\sqrt{81} \over 2⋅2}=2\frac{1}{2}\)

\(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=-7\)

\(g'(x)=-2x+4\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=8\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=8x+b \\ \text{door }A(-2, -7)\end{rcases}\begin{matrix}8⋅-2+b=-7 \\ -16+b=-7 \\ b=9\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=8x+9\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+3x-5=8x+9\)
\(x^2-5x-14=0\)
\((x+2)(x-7)=0\)
\(x=-2∨x=7\)

\(x_C=7\text{,}\) dus \(y_C=f(7)=65\) en
\(C(7, 65)\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x^2+11x+1\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2-8x+11\text{.}\)

\(f'(x)=-4\) geeft
\(x^2-8x+11=-4\)
\(x^2-8x+15=0\)
\((x-3)(x-5)=0\)
\(x=3∨x=5\text{.}\)

\(f(3)=7\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(A(3, 7\frac{2}{3})\text{.}\)

\(f(5)=-1\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(B(5, -1\frac{2}{3})\text{.}\)