Toepassingen van de afgeleide functie

2b - 3 oefeningen

LoodrechteLijnOpstellen
00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 6.4

Gegeven is de functie \(f(x) = {8 \over 3 x + 10}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\)

De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\)

OxyAB

7p

Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\)

\(f(-2) = 2 \text{,}\) dus \(A (-2 , 2)\)

1p

\(f(x) = {8 \over 3 x + 10} = 8 (3 x + 10)^{-1}\) geeft
\(f'(x) = 8 ⋅ -1 ⋅ (3 x + 10)^{-2} ⋅ 3 = {-24 \over (3 x + 10)^{2}}\)

2p

\(\text{rc}_{k} = f'(-2) = -\frac{3}{2}\)

1p

\(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{2}{3} \text{,}\) dus \(y = \frac{2}{3} x + b\)

1p

\(\begin{rcases}y = \frac{2}{3} x + b \\ \text{door } A (-2 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{2}{3} ⋅ -2 + b = 2 \\ -1\frac{1}{3} + b = 2 \\ b = 3\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = \frac{2}{3} x + 3\frac{1}{3} \text{.}\)

1p

\(B (0 , 3\frac{1}{3})\)

1p

RaaklijnAanSnijdendeParabolen
00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms)
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 6.4 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 6.4

Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 3 x - 2\) en \(g(x) = -x^{2} - 5 x + 2 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\)

OxyABC

7p

Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^{2} - 3 x - 2 = -x^{2} - 5 x + 2\)
\(2 x^{2} + 2 x - 4 = 0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 2^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -4 = 36\) geeft
\(x = {-2 - \sqrt{36} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-2 + \sqrt{36} \over 2 ⋅ 2} = 1\)

1p

\(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = 8\)

1p

\(g'(x) = -2 x - 5\)

1p

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = -1 \text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y = -x + b \\ \text{door } A (-2 , 8)\end{rcases} \begin{matrix}-1 ⋅ -2 + b = 8 \\ 2 + b = 8 \\ b = 6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -x + 6 \text{.}\)

1p

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^{2} - 3 x - 2 = -x + 6\)
\(x^{2} - 2 x - 8 = 0\)
\((x + 2) (x - 4) = 0\)
\(x = -2 ∨ x = 4\)

1p

\(x_{C} = 4 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(4) = 2\) en
\(C (4 , 2) \text{.}\)

1p

RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient
00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 6.1 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 2.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 6.1 Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B - 2.5

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 1\frac{1}{2} x^{2} - 13 x + 3\frac{2}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-3 \text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)

\(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 1\frac{1}{2} x^{2} - 13 x + 3\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 3 x - 13 \text{.}\)

1p

\(f'(x) = -3\) geeft
\(x^{2} + 3 x - 13 = -3\)
\(x^{2} + 3 x - 10 = 0\)
\((x + 5) (x - 2) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = 2 \text{.}\)

1p

\(f(-5) = 64\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A (-5 , 64\frac{1}{2}) \text{.}\)

1p

\(f(2) = -13\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (2 , -13\frac{2}{3}) \text{.}\)

1p

00jh 00jq 00a4