Toepassingen van de afgeleide functie
Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over 3 x + 5}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\)
○
\(f(-2) = -1 \text{,}\) dus \(A (-2 , -1)\)
1p
○
\(f(x) = {1 \over 3 x + 5} = 1 (3 x + 5)^{-1}\) geeft
\(f'(x) = 1 ⋅ -1 ⋅ (3 x + 5)^{-2} ⋅ 3 = {-3 \over (3 x + 5)^{2}}\)
2p
○
\(\text{rc}_{k} = f'(-2) = -3\)
1p
○
\(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{3} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{3} x + b\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = \frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (-2 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{3} ⋅ -2 + b = -1 \\ -\frac{2}{3} + b = -1 \\ b = -\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \text{.}\)
1p
○
\(B (0 , -\frac{1}{3})\)
1p
Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 3 x - 3\) en \(g(x) = -x^{2} - 4 x + 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)
○
De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^{2} + 3 x - 3 = -x^{2} - 4 x + 1\)
\(2 x^{2} + 7 x - 4 = 0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 7^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -4 = 81\) geeft
\(x = {-7 - \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = -4 ∨ x = {-7 + \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\)
1p
○
\(x_{A} = -4 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-4) = 1\)
1p
○
\(g'(x) = -2 x - 4\)
1p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-4) = 4 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 4 x + b \\ \text{door } A (-4 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}4 ⋅ -4 + b = 1 \\ -16 + b = 1 \\ b = 17\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 4 x + 17 \text{.}\)
1p
○
Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^{2} + 3 x - 3 = 4 x + 17\)
\(x^{2} - x - 20 = 0\)
\((x + 4) (x - 5) = 0\)
\(x = -4 ∨ x = 5\)
1p
○
\(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 37\) en
\(C (5 , 37) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 1\frac{1}{2} x^{2} - 7 x + 2\frac{1}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(3 \text{.}\)
4p
Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 1\frac{1}{2} x^{2} - 7 x + 2\frac{1}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 3 x - 7 \text{.}\)
1p
○
\(f'(x) = 3\) geeft
\(x^{2} - 3 x - 7 = 3\)
\(x^{2} - 3 x - 10 = 0\)
\((x + 2) (x - 5) = 0\)
\(x = -2 ∨ x = 5 \text{.}\)
1p
○
\(f(-2) = 7\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A (-2 , 7\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
\(f(5) = -28\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (5 , -28\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p