Snelheid en versnelling
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{2} + 6 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\)
○
\(x'(t) = 4 t + 6\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 8\)
1p
○
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 \\ 24\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(-4) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-4)\end{vmatrix} = \sqrt{(-10)^{2} + 24^{2}} = \sqrt{676} = 26 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2\frac{2}{3} t^{3} - 14 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
○
\(x'(t) = 8 t^{2} - 14\)
\(y'(t) = 4 t + 4\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(8 t^{2} - 14)^{2} + (4 t + 4)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(8 x^{2} - 14)^{2} + (4 x + 4)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}311...\) en \(y = 1{,}268...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}27\) voor \(t = -1{,}31 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{2} - 6 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
○
\(x'(t) = 4 t - 6\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 6\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(4 t - 6)^{2} + (2 t^{2} - 6)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 8 t^{2} - 48 t + 72} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 8 t^{2} - 48 t + 72}} ⋅ (16 t^{3} - 16 t - 48)\)
\(\text{} = {8 t^{3} - 8 t - 24 \over \sqrt{4 t^{4} - 8 t^{2} - 48 t + 72}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -3\) geeft]
\(a(-3) = {-216 \over \sqrt{468}} ≈ -9{,}98\)
1p