Snelheid en versnelling
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t \\ y(t) = -1\frac{1}{4} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 1 \text{.}\)
○
\(x'(t) = t^{2} - 4\)
\(y'(t) = -2\frac{1}{2} t - 5\)
1p
○
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -7\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (1)\end{vmatrix} = \sqrt{(-3)^{2} + (-7\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{65\frac{1}{4}} \text{ [} \text{} = 1\frac{1}{2} \sqrt{29} \text{]} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t \\ y(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
○
\(x'(t) = t^{2} - 3\)
\(y'(t) = -3 t + 3\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(t^{2} - 3)^{2} + (-3 t + 3)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(x^{2} - 3)^{2} + (-3 x + 3)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}352...\) en \(y = 1{,}577...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}58\) voor \(t = 1{,}35 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 4 t \\ y(t) = -t^{3} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
○
\(x'(t) = -2 t - 4\)
\(y'(t) = -3 t^{2} + 4\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t - 4)^{2} + (-3 t^{2} + 4)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{9 t^{4} - 20 t^{2} + 16 t + 32} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{9 t^{4} - 20 t^{2} + 16 t + 32}} ⋅ (36 t^{3} - 40 t + 16)\)
\(\text{} = {18 t^{3} - 20 t + 8 \over \sqrt{9 t^{4} - 20 t^{2} + 16 t + 32}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -4\) geeft]
\(a(-4) = {-1\,064 \over \sqrt{1\,952}} ≈ -24{,}08\)
1p