Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}6^{x}\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{3}\) heel groot en dus wordt ook \(5 x^{3}\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}6^{x} + 5 x^{3}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

Dus wordt \(15 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(21 + 15 ⋅ e^{x}\) heel groot.

Dus nadert \({750 \over 21 + 15 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}36^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}36 < 1 \text{)}\)

Dus nadert \(10 ⋅ 0{,}36^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(25 + 10 ⋅ 0{,}36^{x}\) naar \(25 \text{.}\)

Dus nadert \({1\,325 \over 25 + 10 ⋅ 0{,}36^{x}}\) naar \({1\,325 \over 25} = 53\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(53 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}7^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}7 < 1 \text{).}\)

Dus nadert \(4 - 0{,}7^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

Dus nadert \(7 (4 - 0{,}7^{x})\) naar \(7 ⋅ 4 = 28\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(28 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}37^{x}\) heel groot (want \(1{,}37 > 1 \text{).}\)

Dus nadert \({29 \over 1{,}37^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(46 + {29 \over 1{,}37^{x}}\) naar \(46\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(46 \text{.}\)

Er geldt \(e^{-0{,}6 x} = {1 \over e^{0{,}6 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}6 x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}6 x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}6 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(40 ⋅ e^{-0{,}6 x}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(60 + 40 ⋅ e^{-0{,}6 x}\) naar \(60 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{5}\) heel groot.

Dus nadert \({7 \over x^{5}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(1 - {7 \over x^{5}}\) naar \(1\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(1 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({6 x^{2} \over -8 x^{2}} \text{.}\)

Er geldt \({6 x^{2} \over -8 x^{2}} = {6 \over -8} = -\frac{3}{4} \text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{3}{4} \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(21 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(22 + 21 ⋅ \ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({720 \over 22 + 21 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(5 x^{2}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(5 x^{2}\) heel groot positief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}2}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}2} = {1 \over x^{0{,}2}}\) en \(x^{0{,}2}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-50 ⋅ x^{-0{,}2}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(30 - 50 x^{-0{,}2}\) naar \(30 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30 \text{.}\)