Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}4^x\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^3\) heel groot en dus wordt ook \(9x^3\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}4^x+9x^3\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}25^x\) heel groot (want \(1{,}25>1\text{)}\)

Dus wordt \(3⋅1{,}25^x\) heel groot
en dus wordt \(15+3⋅1{,}25^x\) heel groot.

Dus nadert \({380 \over 15+3⋅1{,}25^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}42^x\) naar \(0\) (want \(0{,}42<1\text{)}\)

Dus nadert \(18⋅0{,}42^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(23+18⋅0{,}42^x\) naar \(23\text{.}\)

Dus nadert \({2\,047 \over 23+18⋅0{,}42^x}\) naar \({2\,047 \over 23}=89\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(89\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}88^x\) naar \(0\) (want \(0{,}88<1\text{).}\)

Dus nadert \(3-0{,}88^x\) naar \(3\text{.}\)

Dus nadert \(19(3-0{,}88^x)\) naar \(19⋅3=57\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(57\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}41^x\) heel groot (want \(1{,}41>1\text{).}\)

Dus nadert \({88 \over 1{,}41^x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(66+{88 \over 1{,}41^x}\) naar \(66\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(66\text{.}\)

Er geldt \(e^{-0{,}2x}={1 \over e^{0{,}2x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}2x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}2x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}2x}}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(-30⋅e^{-0{,}2x}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(60-30⋅e^{-0{,}2x}\) naar \(60\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^3\) heel groot.

Dus nadert \({7 \over x^3}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(9+{7 \over x^3}\) naar \(9\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(9\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({5x \over 4x}\text{.}\)

Er geldt \({5x \over 4x}={5 \over 4}=1\frac{1}{4}\text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{1}{4}\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(2⋅\ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(11+2⋅\ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({790 \over 11+2⋅\ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-6x^3\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-6x^3\) heel groot negatief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}4}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}4}={1 \over x^{0{,}4}}\) en \(x^{0{,}4}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-90⋅x^{-0{,}4}\) naar \(0\text{.}\)

Dus nadert \(80-90x^{-0{,}4}\) naar \(80\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(80\text{.}\)