Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}3^{x}\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{4}\) heel groot en dus wordt ook \(2 x^{4}\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}3^{x} + 2 x^{4}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}69^{x}\) heel groot (want \(1{,}69 > 1 \text{)}\)

Dus wordt \(14 ⋅ 1{,}69^{x}\) heel groot
en dus wordt \(16 + 14 ⋅ 1{,}69^{x}\) heel groot.

Dus nadert \({340 \over 16 + 14 ⋅ 1{,}69^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}87^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}87 < 1 \text{)}\)

Dus nadert \(21 ⋅ 0{,}87^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(19 + 21 ⋅ 0{,}87^{x}\) naar \(19 \text{.}\)

Dus nadert \({1\,672 \over 19 + 21 ⋅ 0{,}87^{x}}\) naar \({1\,672 \over 19} = 88\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(88 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}62^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}62 < 1 \text{).}\)

Dus nadert \(1 - 0{,}62^{x}\) naar \(1 \text{.}\)

Dus nadert \(7 (1 - 0{,}62^{x})\) naar \(7 ⋅ 1 = 7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(7 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

Dus nadert \({86 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(50 - {86 \over e^{x}}\) naar \(50\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50 \text{.}\)

Er geldt \(1{,}61^{-0{,}8 x} = {1 \over 1{,}61^{0{,}8 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}8 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}61^{0{,}8 x}\) heel groot (want \(1{,}61 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}61^{0{,}8 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(20 ⋅ 1{,}61^{-0{,}8 x}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(80 + 20 ⋅ 1{,}61^{-0{,}8 x}\) naar \(80 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(80 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x\) heel groot.

Dus nadert \({5 \over x}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(-7 + {5 \over x}\) naar \(-7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-7 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-5 x^{3} \over -6 x^{3}} \text{.}\)

Er geldt \({-5 x^{3} \over -6 x^{3}} = {-5 \over -6} = \frac{5}{6} \text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{5}{6} \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(23 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(14 + 23 ⋅ \ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({660 \over 14 + 23 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(5 x^{4}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(5 x^{4}\) heel groot positief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}8}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}8} = {1 \over x^{0{,}8}}\) en \(x^{0{,}8}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-40 ⋅ x^{-0{,}8}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(10 - 40 x^{-0{,}8}\) naar \(10 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)