Redeneren met grenswaarden

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}6^{x}\) naar 0.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{2}\) heel groot en dus wordt ook \(7 x^{2}\) heel groot.

Dus wordt \(0{,}6^{x} + 7 x^{2}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

Dus wordt \(18 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(3 + 18 ⋅ e^{x}\) heel groot.

Dus nadert \({570 \over 3 + 18 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}19^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}19 < 1 \text{)}\)

Dus nadert \(-10 ⋅ 0{,}19^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(20 - 10 ⋅ 0{,}19^{x}\) naar \(20 \text{.}\)

Dus nadert \({1\,720 \over 20 - 10 ⋅ 0{,}19^{x}}\) naar \({1\,720 \over 20} = 86\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(86 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}42^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}42 < 1 \text{).}\)

Dus nadert \(4 - 0{,}42^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

Dus nadert \(18 (4 - 0{,}42^{x})\) naar \(18 ⋅ 4 = 72\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(72 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}37^{x}\) heel groot (want \(1{,}37 > 1 \text{).}\)

Dus nadert \({85 \over 1{,}37^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(18 + {85 \over 1{,}37^{x}}\) naar \(18\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(18 \text{.}\)

Er geldt \(1{,}28^{-0{,}1 x} = {1 \over 1{,}28^{0{,}1 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}28^{0{,}1 x}\) heel groot (want \(1{,}28 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}28^{0{,}1 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(40 ⋅ 1{,}28^{-0{,}1 x}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(10 + 40 ⋅ 1{,}28^{-0{,}1 x}\) naar \(10 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{3}\) heel groot.

Dus nadert \({5 \over x^{3}}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(-8 + {5 \over x^{3}}\) naar \(-8\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-8 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-6 x^{2} \over -8 x^{2}} \text{.}\)

Er geldt \({-6 x^{2} \over -8 x^{2}} = {-6 \over -8} = \frac{3}{4} \text{.}\)

De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{3}{4} \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

Dus wordt \(13 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(4 + 13 ⋅ \ln(x)\) heel groot.

Dus nadert \({420 \over 4 + 13 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-6 x^{3}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-6 x^{3}\) heel groot negatief.

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}2}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}2} = {1 \over x^{0{,}2}}\) en \(x^{0{,}2}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

Dus nadert \(-80 ⋅ x^{-0{,}2}\) naar \(0 \text{.}\)

Dus nadert \(60 - 80 x^{-0{,}2}\) naar \(60 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60 \text{.}\)