Redeneren met grenswaarden

1r - 11 oefeningen

Combi (1)
00ot - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=0{,}3^x+9x^4\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}3^x\) naar 0.

1p

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^4\) heel groot en dus wordt ook \(9x^4\) heel groot.

1p

Dus wordt \(0{,}3^x+9x^4\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.

1p

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y={830 \over 12+6⋅e^x}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{)}\)

1p

Dus wordt \(6⋅e^x\) heel groot
en dus wordt \(12+6⋅e^x\) heel groot.

1p

Dus nadert \({830 \over 12+6⋅e^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y={290 \over 5-6⋅0{,}61^x}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}61^x\) naar \(0\) (want \(0{,}61<1\text{)}\)

1p

Dus nadert \(-6⋅0{,}61^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(5-6⋅0{,}61^x\) naar \(5\text{.}\)

1p

Dus nadert \({290 \over 5-6⋅0{,}61^x}\) naar \({290 \over 5}=58\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(58\text{.}\)

1p

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=16(1-0{,}67^x)\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}67^x\) naar \(0\) (want \(0{,}67<1\text{).}\)

1p

Dus nadert \(1-0{,}67^x\) naar \(1\text{.}\)

1p

Dus nadert \(16(1-0{,}67^x)\) naar \(16⋅1=16\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(16\text{.}\)

1p

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=60-{19 \over 1{,}26^x}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}26^x\) heel groot (want \(1{,}26>1\text{).}\)

1p

Dus nadert \({19 \over 1{,}26^x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

Dus nadert \(60-{19 \over 1{,}26^x}\) naar \(60\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60\text{.}\)

1p

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=10+90⋅e^{-0{,}6x}\)

Er geldt \(e^{-0{,}6x}={1 \over e^{0{,}6x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}6x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}6x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}6x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

Dus nadert \(90⋅e^{-0{,}6x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

Dus nadert \(10+90⋅e^{-0{,}6x}\) naar \(10\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10\text{.}\)

1p

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 11.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=2+{3 \over x^5}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^5\) heel groot.

1p

Dus nadert \({3 \over x^5}\) naar \(0\text{.}\)

1p

Dus nadert \(2+{3 \over x^5}\) naar \(2\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(2\text{.}\)

1p

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y={-8x^2-6x-4 \over -5x^2+3x+9}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-8x^2 \over -5x^2}\text{.}\)

1p

Er geldt \({-8x^2 \over -5x^2}={-8 \over -5}=1\frac{3}{5}\text{.}\)

1p

De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{3}{5}\text{.}\)

1p

Logaritmisch (1)
00os - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y={530 \over 10+19⋅\ln(x)}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.

1p

Dus wordt \(19⋅\ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(10+19⋅\ln(x)\) heel groot.

1p

Dus nadert \({530 \over 10+19⋅\ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

Macht (1)
00op - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=3x^3+8x^2+4x+1\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(3x^3\)

1p

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(3x^3\) heel groot positief.

1p

De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.

1p

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 14.3

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

\(y=40-30⋅x^{-0{,}5}\)

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}5}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}5}={1 \over x^{0{,}5}}\) en \(x^{0{,}5}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

Dus nadert \(-30⋅x^{-0{,}5}\) naar \(0\text{.}\)

1p

Dus nadert \(40-30x^{-0{,}5}\) naar \(40\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40\text{.}\)

1p

00ot 00ka 00kb 00kc 00kd 00or 00on 00oo 00os 00op 00oq