Redeneren met grenswaarden
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 0{,}1^{x} + 4 x^{2}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}1^{x}\) naar 0.
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{2}\) heel groot en dus wordt ook \(4 x^{2}\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(0{,}1^{x} + 4 x^{2}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {800 \over 22 + 5 ⋅ e^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)
1p
○
Dus wordt \(5 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(22 + 5 ⋅ e^{x}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({800 \over 22 + 5 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {430 \over 10 + 23 ⋅ 0{,}4^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}4^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}4 < 1 \text{)}\)
1p
○
Dus nadert \(23 ⋅ 0{,}4^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(10 + 23 ⋅ 0{,}4^{x}\) naar \(10 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \({430 \over 10 + 23 ⋅ 0{,}4^{x}}\) naar \({430 \over 10} = 43\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(43 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 10 (2 + 0{,}6^{x})\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}6^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}6 < 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \(2 + 0{,}6^{x}\) naar \(2 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(10 (2 + 0{,}6^{x})\) naar \(10 ⋅ 2 = 20\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(20 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 12 + {62 \over 1{,}46^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}46^{x}\) heel groot (want \(1{,}46 > 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \({62 \over 1{,}46^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(12 + {62 \over 1{,}46^{x}}\) naar \(12\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(12 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 80 + 50 ⋅ 1{,}86^{-0{,}2 x}\)
○
Er geldt \(1{,}86^{-0{,}2 x} = {1 \over 1{,}86^{0{,}2 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}2 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}86^{0{,}2 x}\) heel groot (want \(1{,}86 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}86^{0{,}2 x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(50 ⋅ 1{,}86^{-0{,}2 x}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(80 + 50 ⋅ 1{,}86^{-0{,}2 x}\) naar \(80 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(80 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 8 - {6 \over x^{3}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{3}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({6 \over x^{3}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(8 - {6 \over x^{3}}\) naar \(8\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(8 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {-8 x^{2} - x - 2 \over -5 x^{2} + 6}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-8 x^{2} \over -5 x^{2}} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \({-8 x^{2} \over -5 x^{2}} = {-8 \over -5} = 1\frac{3}{5} \text{.}\)
1p
○
De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{3}{5} \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {420 \over 6 + 23 ⋅ \ln(x)}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(23 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(6 + 23 ⋅ \ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({420 \over 6 + 23 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = -8 x^{2} + 6 x + 4\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-8 x^{2}\)
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-8 x^{2}\) heel groot negatief.
1p
○
De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 70 - 90 ⋅ x^{-0{,}4}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}4}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}4} = {1 \over x^{0{,}4}}\) en \(x^{0{,}4}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.
1p
○
Dus nadert \(-90 ⋅ x^{-0{,}4}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(70 - 90 x^{-0{,}4}\) naar \(70 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70 \text{.}\)
1p