Raaklijnen aan cirkels
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 4 y + 10 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (-3 , 5) \text{.}\)
4p
Stel de vergelijking van \(l\) op.
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 10\)
Dus \(M (-4 , 2)\) en \(r = \sqrt{10} \text{.}\)
1p
○
De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 5 \over -4 - -3} = 3 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 3\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{3}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (-3 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -\frac{1}{3} ⋅ -3 + b \\ 5 = 1 + b \\ b = 4\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{3} x + 4 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y + 2 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = -1\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)
6p
Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)
○
\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y + 2 = 0 \\ x = -1\end{rcases}\) geeft
\((-1)^{2} + y^{2} + 8 ⋅ -1 + 4 y + 2 = 0\)
\(1 y^{2} + 4 y + -5 = 0\)
\((y + 5) (y + -1) = 0\)
\(y = -5 ∨ y = 1\)
1p
○
\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (-1 , -5)\) en \(B (-1 , 1) \text{.}\)
1p
○
(kwadraatafsplitsen)
\((x + 4)^{2} - 16 + (y + 2)^{2} - 4 + 2 = 0\)
\((x + 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 18\)
Dus \(M (-4 , -2) \text{.}\)
1p
○
(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-2 - 1 \over -4 - -1} = 1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = 1\end{rcases} \text{rc}_{l} = -1\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,y = -x + b \\ \text{door } B (-1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}1 = -1 ⋅ -1 + b \\ 1 = 1 + b \\ b = 0\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -x \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 10 y + 21 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.
5p
Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = \frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x + 10 y + 21 = 0\) geeft
\(x^{2} + (\frac{1}{2} x + b)^{2} + 2 x + 10 (\frac{1}{2} x + b) + 21 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} + b x + b^{2} + 2 x + 5 x + 10 b + 21 = 0\)
\(1\frac{1}{4} x^{2} + (b + 7) x + (b^{2} + 10 b + 21) = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (b + 7)^{2} - 4 ⋅ 1\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} + 10 b + 21)\)
\(D = b^{2} + 14 b + 49 - 5 b^{2} - 50 b - 105\)
\(D = -4 b^{2} - 36 b - 56\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} - 36 b - 56 = 0\)
\(b^{2} + 9 b + 14 = 0\)
\((b + 7) (b + 2) = 0\)
\(b = -7 ∨ b = -2\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = \frac{1}{2} x - 7\) en \(y = \frac{1}{2} x - 2 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 7 = 0\) en het punt \(A (0 , -1) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)
5p
Stel van beide lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = a x - 1 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 7 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 1)^{2} - 8 x - 2 (a x - 1) + 7 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 2 a x + 1 - 8 x - 2 a x + 2 + 7 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (-4 a - 8) x + 10 = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-4 a - 8)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 10\)
\(D = 16 a^{2} + 64 a + 64 - 40 - 40 a^{2}\)
\(D = -24 a^{2} + 64 a + 24\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-24 a^{2} + 64 a + 24 = 0\)
\(-3 a^{2} + 8 a + 3 = 0\)
\(D = 8^{2} - 4 ⋅ -3 ⋅ 3 = 100\) dus \(\sqrt{D} = 10\)
\(a = {-8 - 10 \over -6} = 3 ∨ a = {-8 + 10 \over -6} = -\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = 3 x - 1\) en \(y = -\frac{1}{3} x - 1 \text{.}\)
1p