Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y+5)^2=25\)
Dus \(M(0, -5)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-5--2 \over 0-4}=\frac{3}{4}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{3}{4}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(4, -2)\end{rcases}\begin{matrix}-2=-1\frac{1}{3}⋅4+b \\ -2=-5\frac{1}{3}+b \\ b=3\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{3}x+3\frac{1}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2+4x+10y+4=0 \\ x=1\end{rcases}\) geeft
\(1^2+y^2+4⋅1+10y+4=0\)
\(y^2+10y+9=0\)
\((y+9)(y+1)=0\)
\(y=-9∨y=-1\)

\(y_A<y_B\text{,}\) dus \(A(1, -9)\) en \(B(1, -1)\text{.}\)

(kwadraatafsplitsen)
\((x+2)^2-4+(y+5)^2-25+4=0\)
\((x+2)^2+(y+5)^2=25\)
Dus \(M(-2, -5)\text{.}\)

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={-5--9 \over -2-1}=-1\frac{1}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=-1\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=\frac{3}{4}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,y=\frac{3}{4}x+b \\ \text{door }A(1, -9)\end{rcases}\begin{matrix}-9=\frac{3}{4}⋅1+b \\ -9=\frac{3}{4}+b \\ b=-9\frac{3}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{3}{4}x-9\frac{3}{4}\text{.}\)

Stel \(y=-\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-14y+5=0\) geeft
\(x^2+(-\frac{1}{2}x+b)^2+2x-14(-\frac{1}{2}x+b)+5=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2-bx+b^2+2x+7x-14b+5=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(-b+9)x+(b^2-14b+5)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-b+9)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-14b+5)\)
\(D=b^2-18b+81-5b^2+70b-25\)
\(D=-4b^2+52b+56\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+52b+56=0\)
\(b^2-13b-14=0\)
\((b+1)(b-14)=0\)
\(b=-1∨b=14\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x-1\) en \(y=-\frac{1}{2}x+14\text{.}\)

Stel \(y=ax-1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x+6y+15=0\) geeft
\(x^2+(ax-1)^2-8x+6(ax-1)+15=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-2ax+1-8x+6ax-6+15=0\)
\((1+a^2)x^2+(4a-8)x+10=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(4a-8)^2-4⋅(1+a^2)⋅10\)
\(D=16a^2-64a+64-40-40a^2\)
\(D=-24a^2-64a+24\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-24a^2-64a+24=0\)
\(-3a^2-8a+3=0\)
\(D=(-8)^2-4⋅-3⋅3=100\) dus \(\sqrt{D}=10\)
\(a={8-10 \over -6}=\frac{1}{3}∨a={8+10 \over -6}=-3\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{3}x-1\) en \(y=-3x-1\text{.}\)