Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+1)^2+y^2=25\)
Dus \(M(-1, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={0-3 \over -1-3}=\frac{3}{4}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{3}{4}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(3, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=-1\frac{1}{3}⋅3+b \\ 3=-4+b \\ b=7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{3}x+7\text{.}\)

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+6y-39=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+4x+6(1\frac{1}{2}x+b)-39=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+4x+9x+6b-39=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+13)x+(b^2+6b-39)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+13)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+6b-39)\)
\(D=9b^2+78b+169-13b^2-78b+507\)
\(D=-4b^2+676\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+676=0\)
\(b^2-169=0\)
\((b+13)(b-13)=0\)
\(b=-13∨b=13\)

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-13\) en \(y=1\frac{1}{2}x+13\text{.}\)

Stel \(y=ax+8\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-2x-12=0\) geeft
\(x^2+(ax+8)^2-2x+0(ax+8)-12=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+16ax+64-2x+x-12=0\)
\((1+a^2)x^2+(16a-2)x+52=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(16a-2)^2-4⋅(1+a^2)⋅52\)
\(D=256a^2-64a+4-208-208a^2\)
\(D=48a^2-64a-204\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(48a^2-64a-204=0\)
\(12a^2-16a-51=0\)
\(D=(-16)^2-4⋅12⋅-51=2\,704\) dus \(\sqrt{D}=52\)
\(a={16-52 \over 24}=-1\frac{1}{2}∨a={16+52 \over 24}=2\frac{5}{6}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=-1\frac{1}{2}x+8\) en \(y=2\frac{5}{6}x+8\text{.}\)