Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y-5)^2=10\)
Dus \(M(0, 5)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={5-8 \over 0-1}=3\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=3\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(1, 8)\end{rcases}\begin{matrix}8=-\frac{1}{3}⋅1+b \\ 8=-\frac{1}{3}+b \\ b=8\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x+8\frac{1}{3}\text{.}\)

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+8y-32=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+4x+8(1\frac{1}{2}x+b)-32=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+4x+12x+8b-32=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+16)x+(b^2+8b-32)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+16)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+8b-32)\)
\(D=9b^2+96b+256-13b^2-104b+416\)
\(D=-4b^2-8b+672\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-8b+672=0\)
\(b^2+2b-168=0\)
\((b+14)(b-12)=0\)
\(b=-14∨b=12\)

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-14\) en \(y=1\frac{1}{2}x+12\text{.}\)

Stel \(y=ax-1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x-2y+7=0\) geeft
\(x^2+(ax-1)^2-8x-2(ax-1)+7=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-2ax+1-8x-2ax+2+7=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-8)x+10=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-8)^2-4⋅(1+a^2)⋅10\)
\(D=16a^2+64a+64-40-40a^2\)
\(D=-24a^2+64a+24\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-24a^2+64a+24=0\)
\(-3a^2+8a+3=0\)
\(D=8^2-4⋅-3⋅3=100\) dus \(\sqrt{D}=10\)
\(a={-8-10 \over -6}=3∨a={-8+10 \over -6}=-\frac{1}{3}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=3x-1\) en \(y=-\frac{1}{3}x-1\text{.}\)