Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y+4)^2=10\)
Dus \(M(0, -4)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-4--1 \over 0-1}=3\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=3\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(1, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=-\frac{1}{3}⋅1+b \\ -1=-\frac{1}{3}+b \\ b=-\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\text{.}\)

Stel \(y=2x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+22y+117=0\) geeft
\(x^2+(2x+b)^2+2x+22(2x+b)+117=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+4x^2+4bx+b^2+2x+44x+22b+117=0\)
\(5x^2+(4b+46)x+(b^2+22b+117)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(4b+46)^2-4⋅5⋅(b^2+22b+117)\)
\(D=16b^2+368b+2\,116-20b^2-440b-2\,340\)
\(D=-4b^2-72b-224\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-72b-224=0\)
\(b^2+18b+56=0\)
\((b+14)(b+4)=0\)
\(b=-14∨b=-4\)

De vergelijkingen zijn \(y=2x-14\) en \(y=2x-4\text{.}\)

Stel \(y=ax+7\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-2x-4y-8=0\) geeft
\(x^2+(ax+7)^2-2x-4(ax+7)-8=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+14ax+49-2x-4ax-28-8=0\)
\((1+a^2)x^2+(10a-2)x+13=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(10a-2)^2-4⋅(1+a^2)⋅13\)
\(D=100a^2-40a+4-52-52a^2\)
\(D=48a^2-40a-48\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(48a^2-40a-48=0\)
\(6a^2-5a-6=0\)
\(D=(-5)^2-4⋅6⋅-6=169\) dus \(\sqrt{D}=13\)
\(a={5-13 \over 12}=-\frac{2}{3}∨a={5+13 \over 12}=1\frac{1}{2}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{2}{3}x+7\) en \(y=1\frac{1}{2}x+7\text{.}\)