Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+2)^2+(y-1)^2=13\)
Dus \(M(-2, 1)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={1-4 \over -2-0}=1\frac{1}{2}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=1\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{2}{3}\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{2}{3}x+b \\ \text{door }A(0, 4)\end{rcases}\begin{matrix}4=-\frac{2}{3}⋅0+b \\ 4=0+b \\ b=4\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{2}{3}x+4\text{.}\)

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-2y-43=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+2x-2(\frac{1}{2}x+b)-43=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+2x-x-2b-43=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+1)x+(b^2-2b-43)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+1)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-2b-43)\)
\(D=b^2+2b+1-5b^2+10b+215\)
\(D=-4b^2+12b+216\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+12b+216=0\)
\(b^2-3b-54=0\)
\((b+6)(b-9)=0\)
\(b=-6∨b=9\)

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-6\) en \(y=\frac{1}{2}x+9\text{.}\)

Stel \(y=ax-4\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-8x+4y+10=0\) geeft
\(x^2+(ax-4)^2-8x+4(ax-4)+10=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-8ax+16-8x+4ax-16+10=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-8)x+10=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-8)^2-4⋅(1+a^2)⋅10\)
\(D=16a^2+64a+64-40-40a^2\)
\(D=-24a^2+64a+24\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-24a^2+64a+24=0\)
\(-3a^2+8a+3=0\)
\(D=8^2-4⋅-3⋅3=100\) dus \(\sqrt{D}=10\)
\(a={-8-10 \over -6}=3∨a={-8+10 \over -6}=-\frac{1}{3}\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=3x-4\) en \(y=-\frac{1}{3}x-4\text{.}\)