Raaklijnen aan cirkels

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+5)^2+(y-2)^2=10\)
Dus \(M(-5, 2)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={2-3 \over -5--2}=\frac{1}{3}\text{.}\)

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-3\)

\(\begin{rcases}y=-3x+b \\ \text{door }A(-2, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=-3⋅-2+b \\ 3=6+b \\ b=-3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-3x-3\text{.}\)

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-10y+7=0 \\ x=3\end{rcases}\) geeft
\(3^2+y^2+0⋅3-10y+7=0\)
\(y^2-10y+16=0\)
\((y-2)(y-8)=0\)
\(y=2∨y=8\)

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(3, 8)\) en \(B(3, 2)\text{.}\)

(kwadraatafsplitsen)
\(x^2+(y-5)^2-25+7=0\)
\(x^2+(y-5)^2=18\)
Dus \(M(0, 5)\text{.}\)

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={5-8 \over 0-3}=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=1\end{rcases}\text{rc}_l=-1\)

\(\begin{rcases}l{:}\,y=-x+b \\ \text{door }A(3, 8)\end{rcases}\begin{matrix}8=-1⋅3+b \\ 8=-3+b \\ b=11\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-x+11\text{.}\)

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+18y+69=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+2x+18(1\frac{1}{2}x+b)+69=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+2x+27x+18b+69=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+29)x+(b^2+18b+69)=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+29)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+18b+69)\)
\(D=9b^2+174b+841-13b^2-234b-897\)
\(D=-4b^2-60b-56\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-60b-56=0\)
\(b^2+15b+14=0\)
\((b+14)(b+1)=0\)
\(b=-14∨b=-1\)

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-14\) en \(y=1\frac{1}{2}x-1\text{.}\)

Stel \(y=ax+2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x+6y+29=0\) geeft
\(x^2+(ax+2)^2-10x+6(ax+2)+29=0\text{.}\)

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+4ax+4-10x+6ax+12+29=0\)
\((1+a^2)x^2+(10a-10)x+45=0\)

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(10a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅45\)
\(D=100a^2-200a+100-180-180a^2\)
\(D=-80a^2-200a-80\)

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-80a^2-200a-80=0\)
\(-2a^2-5a-2=0\)
\(D=(-5)^2-4⋅-2⋅-2=9\) dus \(\sqrt{D}=3\)
\(a={5-3 \over -4}=-\frac{1}{2}∨a={5+3 \over -4}=-2\text{.}\)

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x+2\) en \(y=-2x+2\text{.}\)