Parameterkrommen

\(x'(t)=-3t^2+12\)
\(y'(t)=3\frac{1}{2}t-7\)

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(3\frac{1}{2}t-7=0\)
\(3\frac{1}{2}t=7\)
\(t=2\)

\(x'(2)=0\text{,}\) dus voor \(t=2\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((16, -7)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

\(x'(t)=9t^2-9\)
\(y'(t)=5t-5\)

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(9t^2-9=0\)
\(t^2-1=0\)
\(t^2=1\)
\(t=-1∨t=1\)

\(y'(-1)=-10≠0\text{,}\) dus voor \(t=-1\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((6, 7\frac{1}{2})\text{.}\)

\(y'(1)=0\text{,}\) dus voor \(t=1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-6, -2\frac{1}{2})\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

\(x'(t)=-t^2+13\)
\(y'(t)=-t+1\)

\(\overrightarrow{v}(-5)=\begin{pmatrix}x'(-5) \\ y'(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-12 \\ 6\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{v}(7)=\begin{pmatrix}x'(7) \\ y'(7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-36 \\ -6\end{pmatrix}\)

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-12 \\ 6\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}-36 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-12 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-36 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={396 \over \sqrt{180}⋅\sqrt{1\,332}}\)

\(\varphi =\cos^{-1}({396 \over \sqrt{180}⋅\sqrt{1\,332}})≈36{,}0\degree\)

\(x'(t)=t^2-9\)
\(y'(t)=\frac{1}{2}t+1\)

\(t=2\) geeft het punt \((-15\frac{1}{3}, 3)\text{.}\)

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(2)=\begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\)

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,2x+5y=c\text{.}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,2x+5y=c \\ \text{door }(-15\frac{1}{3}, 3)\end{rcases}\begin{matrix}c=2⋅-15\frac{1}{3}+5⋅3=-15\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,2x+5y=-15\frac{2}{3}\text{.}\)

Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(t^2-3t=0\)

[Oplossen geeft]
\(t(t-3)=0\)
\(t=0∨t=3\)

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=3\) geeft \(x(3)=-48\text{,}\) dus \((-48, 0)\)

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-\frac{1}{3}t^3+12t=0\)

[Oplossen geeft]
\(t(-\frac{1}{3}t^2+12)=0\)
\(t=0∨-\frac{1}{3}t^2+12=0\)
\(t=0∨t^2-36=0\)
\(t=0∨t^2=36\)
\(t=0∨t=-6∨t=6\)

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-6\) geeft \(y(-6)=-12\text{,}\) dus \((0, -12)\)
\(t=6\) geeft \(y(6)=-24\text{,}\) dus \((0, -24)\)

[Oplossen van \(y(t)=12\) geeft]
\(1\frac{1}{2}t^2+3t=12\)
\(1\frac{1}{2}t^2+3t-12=0\)
\(t^2+2t-8=0\)
\((t+4)(t-2)=0\)
\(t=-4∨t=2\)

\(x(-4)=10\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=-4\) geeft het punt \((10\frac{2}{3}, 12)\text{.}\)

\(x(2)=10\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=2\) geeft ook het punt \((10\frac{2}{3}, 12)\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.