Parameterkrommen

\(x'(t) = 6 t + 6\)
\(y'(t) = -4 t^{2} + 1\)

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(6 t + 6 = 0\)
\(6 t = -6\)
\(t = -1\)

\(y'(-1) = -3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-3 , \frac{1}{3}) \text{.}\)

\(x'(t) = 6 t + 9\)
\(y'(t) = 8 t^{2} - 8\)

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(8 t^{2} + 0 t + -8 = 0\)
\(1 t^{2} + 0 t + -1 = 0\)
\(1 t^{2} = 1\)
\(t = -1 ∨ t = 1\)

\(x'(-1) = 3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-6 , 5\frac{1}{3}) \text{.}\)

\(x'(1) = 15 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((12 , -5\frac{1}{3}) \text{.}\)

\(x'(t) = -3 t + 3\)
\(y'(t) = -3 t^{2} + 12\)

\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 \\ 0\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9 \\ -36\end{pmatrix}\)

\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}9 \\ 0\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-9 \\ -36\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}9 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-9 \\ -36\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {81 \over \sqrt{81} ⋅ \sqrt{1\,377}}\)

\(\varphi = \cos^{-1}({81 \over \sqrt{81} ⋅ \sqrt{1\,377}}) ≈ 76{,}0\degree\)

\(x'(t) = 3\frac{1}{2} t + 7\)
\(y'(t) = -t^{2} + 1\)

\(t = -3\) geeft het punt \((-5\frac{1}{4} , 6) \text{.}\)

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\frac{1}{2} \\ -8\end{pmatrix} \text{.}\)

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}8 \\ -3\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,8 x - 3\frac{1}{2} y = c \text{.}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,8 x - 3\frac{1}{2} y = c \\ \text{door } (-5\frac{1}{4} , 6)\end{rcases} \begin{matrix}c = 8 ⋅ -5\frac{1}{4} - 3\frac{1}{2} ⋅ 6 = -63\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,3\frac{1}{2} x - 8 y = -63 \text{.}\)

Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-t^{2} + 2 t = 0\)

[Oplossen geeft]
\(1 t^{2} + -2 t + 0 = 0\)
\(t (1 t + -2) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = 2\)

[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = 2\) geeft \(x(2) = -10 \text{,}\) dus \((-10 , 0)\)

Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(3 t^{3} - 12 t = 0\)

[Oplossen geeft]
\(t (3 t^{2} + 0 t + -12) = 0\)
\(t = 0 ∨ 3 t^{2} + 0 t + -12 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 4\)
\(t = 0 ∨ t = -2 ∨ t = 2\)

[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -2\) geeft \(y(-2) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = 2\) geeft \(y(2) = -24 \text{,}\) dus \((0 , -24)\)

[Oplossen van \(x(t) = -5\) geeft]
\(-t^{2} - 4 t = -5\)
\(-1 t^{2} + -4 t + 5 = 0\)
\(1 t^{2} + 4 t + -5 = 0\)
\((t + 5) (t + -1) = 0\)
\(t = -5 ∨ t = 1\)

\(y(-5) = -13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -5\) geeft het punt \((-5 , -13\frac{1}{3}) \text{.}\)

\(y(1) = -13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 1\) geeft ook het punt \((-5 , -13\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.