Parameterkrommen
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2\frac{2}{3} t^{3} + 8 t \\ y(t) = -2 t^{2} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = -8 t^{2} + 8\)
\(y'(t) = -4 t + 4\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-4 t + 4 = 0\)
\(-4 t = -4\)
\(t = 1\)
1p
○
\(x'(1) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((5\frac{1}{3} , 2) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{2} - 6 t \\ y(t) = 2\frac{2}{3} t^{3} - 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = 4 t - 6\)
\(y'(t) = 8 t^{2} - 8\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(8 t^{2} + 0 t + -8 = 0\)
\(1 t^{2} + 0 t + -1 = 0\)
\(1 t^{2} = 1\)
\(t = -1 ∨ t = 1\)
1p
○
\(x'(-1) = -10 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((8 , 5\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(x'(1) = -2 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-4 , -5\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t \\ y(t) = \frac{1}{2} t^{2} - t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -2\) en voor \(t = 4\) in het punt \((5\frac{1}{3} , 4) \text{.}\)
5p
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
○
\(x'(t) = t^{2} - 4\)
\(y'(t) = t - 1\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 \\ 3\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}12 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}12 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {9 \over \sqrt{9} ⋅ \sqrt{153}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({9 \over \sqrt{9} ⋅ \sqrt{153}}) ≈ 76{,}0\degree\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{3}{4} t^{2} - 7 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
5p
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -2 \text{.}\)
○
\(x'(t) = 3\frac{1}{2} t - 7\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 2\)
1p
○
\(t = -2\) geeft het punt \((21 , -1\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-14 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}6 \\ 14\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,6 x + 14 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,6 x + 14 y = c \\ \text{door } (21 , -1\frac{1}{3})\end{rcases} \begin{matrix}c = 6 ⋅ 21 + 14 ⋅ -1\frac{1}{3} = 107\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,14 x + 6 y = 107\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 2 t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(\frac{1}{3} t^{3} - 12 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t ({1 \over 3} t^{2} + 0 t + -12) = 0\)
\(t = 0 ∨ {1 \over 3} t^{2} + 0 t + -12 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -36 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 36\)
\(t = 0 ∨ t = -6 ∨ t = 6\)
1p
○
[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -6\) geeft \(x(-6) = -24 \text{,}\) dus \((-24 , 0)\)
\(t = 6\) geeft \(x(6) = -48 \text{,}\) dus \((-48 , 0)\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{3} + 4 t \\ y(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-t^{3} + 4 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (-1 t^{2} + 0 t + 4) = 0\)
\(t = 0 ∨ -1 t^{2} + 0 t + 4 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 4\)
\(t = 0 ∨ t = -2 ∨ t = 2\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -2\) geeft \(y(-2) = 20 \text{,}\) dus \((0 , 20)\)
\(t = 2\) geeft \(y(2) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{2} t^{2} - 2 t \\ y(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
5p
b
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 2 \text{.}\)
2p
c
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\)
a
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-\frac{1}{2} t^{2} - 2 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(1 t^{2} + 4 t + 0 = 0\)
\(t (1 t + 4) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = -4\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -4\) geeft \(y(-4) = -37\frac{1}{3} \text{,}\) dus \((0 , -37\frac{1}{3})\)
1p
b
\(x'(t) = -t - 2\)
\(y'(t) = 4 t^{2} - 12\)
1p
○
\(t = 2\) geeft het punt \((-6 , -13\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,4 x + 4 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,4 x + 4 y = c \\ \text{door } (-6 , -13\frac{1}{3})\end{rcases} \begin{matrix}c = 4 ⋅ -6 + 4 ⋅ -13\frac{1}{3} = -77\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,4 x + 4 y = -77\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
c
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 24\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(-3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-3)\end{vmatrix} = \sqrt{1^{2} + 24^{2}} = \sqrt{577} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} + 2 t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-8 , -5\frac{1}{3}) \text{.}\)
3p
b
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
3p
c
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
a
[Oplossen van \(x(t) = -8\) geeft]
\(-t^{2} + 2 t = -8\)
\(-1 t^{2} + 2 t + 8 = 0\)
\(1 t^{2} + -2 t + -8 = 0\)
\((t + 2) (t + -4) = 0\)
\(t = -2 ∨ t = 4\)
1p
○
\(y(-2) = -5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -2\) geeft het punt \((-8 , -5\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(y(4) = -5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 4\) geeft ook het punt \((-8 , -5\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p
b
\(x'(t) = -2 t + 2\)
\(y'(t) = -t^{2} + 4\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-2 t + 2 = 0\)
\(-2 t = -2\)
\(t = 1\)
1p
○
\(y'(1) = 3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((1 , 3\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t + 2)^{2} + (-t^{2} + 4)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-2 x + 2)^{2} + (-x^{2} + 4)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}769...\) en \(y = 1{,}767...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}77\) voor \(t = 1{,}77 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
a
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -4\) en voor \(t = 2\) in het punt \((12 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)
4p
b
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
3p
c
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 1 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(x'(t) = 3 t + 3\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 8\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(2 t^{2} + 0 t + -8 = 0\)
\(1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(1 t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)
1p
○
\(x'(-2) = -3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((0 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(x'(2) = 9 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((12 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
b
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9 \\ 24\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 \\ 0\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-9 \\ 24\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}9 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-9 \\ 24\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}9 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {81 \over \sqrt{657} ⋅ \sqrt{81}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({81 \over \sqrt{657} ⋅ \sqrt{81}}) ≈ 69{,}4\degree\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(3 t + 3)^{2} + (2 t^{2} - 8)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 23 t^{2} + 18 t + 73} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 23 t^{2} + 18 t + 73}} ⋅ (16 t^{3} - 46 t + 18)\)
\(\text{} = {8 t^{3} - 23 t + 9 \over \sqrt{4 t^{4} - 23 t^{2} + 18 t + 73}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = 1\) geeft]
\(a(1) = {-6 \over \sqrt{72}} ≈ -0{,}71\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} + 5 t \\ y(t) = 2 t^{3} - 14 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((7\frac{1}{2} , -12) \text{.}\)
○
[Oplossen van \(x(t) = 7\frac{1}{2}\) geeft]
\(2\frac{1}{2} t^{2} + 5 t = 7\frac{1}{2}\)
\({5 \over 2} t^{2} + 5 t + {-15 \over 2} = 0\)
\(1 t^{2} + 2 t + -3 = 0\)
\((t + 3) (t + -1) = 0\)
\(t = -3 ∨ t = 1\)
1p
○
\(y(-3) = -12 \text{,}\) dus \(t = -3\) geeft het punt \((7\frac{1}{2} , -12) \text{.}\)
1p
○
\(y(1) = -12 \text{,}\) dus \(t = 1\) geeft ook het punt \((7\frac{1}{2} , -12) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p