Oorspronkelijke en afgeleide functie
2p
Wat is de definitie van de afgeleide functie \(f'(x) \text{?}\)
○
De afgeleide functie \(f'(x)\) is de formule van de hellingsgrafiek van \(f(x)\) en geeft dus voor iedere waarde van \(x\) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt \((x , f(x)) \text{.}\)
2p
Gegeven is de functie \(f(x) = (2 x+1)^{3}-1 \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(-2) = (2 \cdot -2+1)^{3}-1 = -28\)
1p
○
Dus \(y_{A} = -28 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -5+(x^{2}+1) (x+6) \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(4) = -5+(4^{2}+1) (4+6) = 165\)
1p
○
Dus \(A (4 , 165) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 2+\sqrt{x+6} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Toon algebraïsch aan dat de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A\) gelijk is aan \(3 \text{.}\)
○
\(f(-5) = 2+\sqrt{-5+6} = 3\)
1p
○
Dus geldt inderdaad \(y_{A} = 3 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 4 x+(3 x-9)^{3} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Ligt het punt \(A\) boven of onder de \(x \text{-}\)as?
○
\(f(4) = 4 \cdot 4+(3 \cdot 4-9)^{3} = 43\)
1p
○
\(f(4) > 0 \text{,}\) dus \(A\) ligt boven de \(x \text{-}\)as.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x+(x^{2}+1) (x-3) \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = 3 x+(x^{2}+1) (x-3)\) geeft
\(f'(x) = 4+3 x^{2}-6 x\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(2) = 4+3 \cdot 2^{2}+-6 \cdot 2 = 4\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{4 x+48}-2 x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de helling van de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = \sqrt{4 x+48}-2 x\) geeft
\(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4 x+48}}-2\)
2p
○
\(\text{helling} = f'(-3) = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot -3+48}}-2 = {-5 \over 3}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{-5}{x}-x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Toon algebraïsch aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A\) gelijk is aan \({1 \over 4} \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{-5}{x}-x\) geeft
\(f'(x) = \frac{5}{x^{2}}-1\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(2) = \frac{5}{2^{2}}-1 = {1 \over 4}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = (x^{2}+6) (x+2)+3 x^{3} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
4p
Is de grafiek van \(f\) in het punt \(A\) stijgend of dalend?
○
\(f(x) = (x^{2}+6) (x+2)+3 x^{3}\) geeft
\(f'(x) = 12 x^{2}+4 x+6\)
2p
○
\(f'(-4) = 12 \cdot -4^{2}+4 \cdot -4+6 = 182\)
1p
○
\(f'(-4) > 0 \text{,}\) dus stijgend.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{2}{-x-5}-3 \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
1p
a
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
3p
b
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
a
\(f(-4) = \frac{2}{--4-5}-3 = -5\)
1p
b
\(f(x) = \frac{2}{-x-5}-3\) geeft
\(f'(x) = \frac{2}{(-x-5)^{2}}\)
2p
○
\(f'(-4) = \frac{2}{(--4-5)^{2}} = 2\)
1p