Lijnen en hun onderlinge ligging
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,x + 5 y = 4\) en \(l{:}\,2 x + 6 y = 3 \text{.}\)
1p
Onderzoek of de lijnen samenvallen, evenwijdig zijn of snijden.
○
\(\frac{1}{2} ≠ \frac{5}{6} ≠ \frac{4}{3} \text{,}\) dus de lijnen \(k\) en \(l\) snijden.
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,p x - 2 y = q\) en \(l{:}\,4 x - 8 y = 20 \text{.}\)
3p
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen een snijpunt hebben.
○
\({p \over 4} = {-2 \over -8} = {q \over 20}\)
1p
○
\({p \over 4} = {-2 \over -8}\) geeft \(p = 1\) (en \({-2 \over -8} = {q \over 20}\) geeft \(q = 5 \text{)}\)
1p
○
Een snijpunt, dus \(p ≠ 1\) en \(q\) mag elk getal zijn.
1p
De lijnen \(k{:}\,4 x - 5 y = 2\) en \(l{:}\,2 x - 3 y = 3\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
\(\begin{cases}4 x - 5 y = 2 \\ 2 x - 3 y = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 5\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12 x - 15 y = 6 \\ 10 x - 15 y = 15\end{cases}\)
1p
○
Aftrekken geeft \(2 x = -9\) dus \(x = -4\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}4 x - 5 y = 2 \\ x = -4\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}4 ⋅ -4\frac{1}{2} - 5 y = 2 \\ -5 y = 20 \\ y = -4\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(S (-4\frac{1}{2} , -4) \text{.}\)
1p
De lijnen \(k{:}\,2 x + 2 y = -3\) en \(l{:}\,y = -2 x - 2\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
Substitutie geeft \(2 x + 2 (-2 x - 2) = -3\)
1p
○
\(2 x - 4 x - 4 = -3\)
\(-2 x = 1\)
Dus \(x = -\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -2 x - 2 \\ x = -\frac{1}{2}\end{rcases} y = -2 ⋅ -\frac{1}{2} - 2 = -1\)
1p
○
Dus \(S (-\frac{1}{2} , -1) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,4 x + 6 y = 3\) en \(l{:}\,2 x + 5 y = -7 \text{.}\)
3p
Bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\) Rond af op één decimaal nauwkeurig.
○
\(k{:}\,4 x + 6 y = 3\) omschrijven geeft \(y = -\frac{2}{3} x + \frac{1}{2}\) dus \(\text{rc}_{k} = -\frac{2}{3} \text{.}\)
\(l{:}\,2 x + 5 y = -7\) omschrijven geeft \(y = -\frac{2}{5} x - 1\frac{2}{5}\) dus \(\text{rc}_{l} = -\frac{2}{5} \text{.}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = -\frac{2}{3}\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(-\frac{2}{3}) = -33{,}69...\degree \text{.}\)
\(\tan(\beta ) = -\frac{2}{5}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(-\frac{2}{5}) = -21{,}80...\degree \text{.}\)
1p
○
\(\varphi = \alpha - \beta = -33{,}69...\degree - -21{,}80...\degree = -11{,}88...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(11{,}9\degree \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,p x - 4 y = -3\) en \(l{:}\,\frac{5}{2} x - 2 y = q \text{.}\)
3p
a
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen een snijpunt hebben.
3p
b
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen elkaar snijden in het punt \((6 , 4) \text{.}\)
3p
c
Neem \(p = 1\) en \(q = 5\) en bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\)
Rond af op één decimaal.
a
\({p \over \frac{5}{2}} = {-4 \over -2} = {-3 \over q}\)
1p
○
\({p \over \frac{5}{2}} = {-4 \over -2}\) geeft \(p = 5\) (en \({-4 \over -2} = {-3 \over q}\) geeft \(q = -1\frac{1}{2} \text{)}\)
1p
○
Een snijpunt, dus \(p ≠ 5\) en \(q\) mag elk getal zijn.
1p
b
\(\begin{rcases}p x - 4 y = -3 \\ \text{door } (6 , 4)\end{rcases}\) geeft \(p ⋅ 6 - 4 ⋅ 4 = -3\)
1p
○
(oplossen)
\(6 p - 16 = -3\)
\(6 p = 13\)
\(p = 2\frac{1}{6}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2\frac{1}{2} x - 2 y = q \\ \text{door } (6 , 4)\end{rcases}\) geeft \(q = 2\frac{1}{2} ⋅ 6 - 2 ⋅ 4 = 7\)
1p
c
\(x - 4 y = -3\) geeft \(y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}\)
\(2\frac{1}{2} x - 2 y = 5\) geeft \(y = 1\frac{1}{4} x - 2\frac{1}{2}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = \frac{1}{4}\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(\frac{1}{4}) = 14{,}03...\degree\)
\(\tan(\beta ) = 1\frac{1}{4}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(1\frac{1}{4}) = 51{,}34...\degree\)
1p
○
\(\alpha - \beta = 14{,}03...\degree - 51{,}34...\degree = -37{,}30...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(37{,}3\degree \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (2 , -9)\) en is evenwijdig aan de lijn \(k{:}\,3 x + y = 5 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \parallel l \text{,}\) dus \(l{:}\,3 x + y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}3 x + y = c \\ \text{door } A (2 , -9)\end{rcases} c = 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ -9 = -3\)
Dus \(l{:}\,3 x + y = -3 \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (-7 , 4)\) en staat loodrecht op de lijn \(k{:}\,-6 x - 3 y = -2 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \perp l \text{,}\) dus \(l{:}\,-3 x + 6 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}-3 x + 6 y = c \\ \text{door } A (-7 , 4)\end{rcases} c = -3 ⋅ -7 + 6 ⋅ 4 = 45\)
Dus \(l{:}\,-3 x + 6 y = 45 \text{.}\)
1p