Hypothesetoetsen
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}75 \text{.}\)
4p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een rechtszijdige toets voor een steekproef van \(145\) met een significantieniveau van \(5\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}75\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p > 0{,}75\)
\(\alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 145\) en \(p = 0{,}75 \text{.}\)
1p
○
Bij \(1 - \alpha = 0{,}95\) geeft de GR de grenswaarde \(a = 117 \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(X ≥ 118 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 590\) en \(\sigma _{X} = 60 \text{.}\)
4p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een linkszijdige toets voor een steekproef van \(50\) met een significantieniveau van \(1\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 590\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} < 590\)
\(\alpha = 0{,}01\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 590\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {60 \over \sqrt{50}} \text{.}\)
1p
○
Het oplossen van \(P(\bar{X} ≤ g_{l}) = 0{,}01\) met de GR geeft \(g_{l} = 570{,}25... \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(\bar{X} ≤ 570{,}2 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}35 \text{.}\)
5p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een tweezijdige toets voor een steekproef van \(140\) met een significantieniveau van \(1\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}35\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p ≠ 0{,}35\)
\(\alpha = 0{,}01 \text{,}\) dus \({1 \over 2} \alpha = 0{,}005\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 140\) en \(p = 0{,}35 \text{.}\)
1p
○
Bij \({1 \over 2} \alpha = 0{,}005\) geeft de GR de grenswaarde \(a_{\text{l}} = 35 \text{.}\)
1p
○
Bij \(1 - {1 \over 2} \alpha = 0{,}995\) geeft de GR de grenswaarde \(a_{\text{r}} = 64 \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(X ≤ 34\) of \(X ≥ 65 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 250\) en \(\sigma _{X} = 10 \text{.}\)
5p
Stel het beslissingsvoorschrift op van een tweezijdige toets voor een steekproef van \(10\) met een significantieniveau van \(1\% \text{.}\)
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 250\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} ≠ 250\)
\(\alpha = 0{,}01 \text{,}\) dus \({1 \over 2} \alpha = 0{,}005\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 250\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {10 \over \sqrt{10}} \text{.}\)
1p
○
Het oplossen van \(P(\bar{X} ≤ g_{l}) = 0{,}005\) met de GR geeft \(g_{l} = 241{,}85... \text{.}\)
1p
○
Het oplossen van \(P(\bar{X} ≥ g_{r}) = 0{,}005\) met de GR geeft \(g_{r} = 258{,}14... \text{.}\)
1p
○
Het beslissingsvoorschrift is: verwerp \(H_{0}\) als \(\bar{X} ≤ 241{,}8\) of \(\bar{X} ≥ 258{,}2 \text{.}\)
1p
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}54 \text{.}\) Bij een steekproef van \(118\) blijkt het aantal successen gelijk te zijn aan \(74 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(5\%\) worden geconcludeerd dat de succeskans in deze steekproef hoger is?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}54\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p > 0{,}54\)
\(\alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 118\) en \(p = 0{,}54 \text{.}\)
1p
○
De GR geeft voor de overschrijdingskans \(P(X ≥ 74) = 1 - P(X ≤ 73) = 0{,}03475... \text{.}\)
1p
○
\(P(X ≥ 74) ≤ \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt verworpen.
De succeskans in deze steekproef is inderdaad hoger.
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 370\) en \(\sigma _{X} = 30 \text{.}\) Bij een steekproef van \(10\) blijkt het steekproefresultaat gelijk te zijn aan \(385{,}9 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(5\%\) worden geconcludeerd dat het steekproefresultaat significant hoger is?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 370\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} > 370\)
\(\alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 370\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {30 \over \sqrt{10}} \text{.}\)
1p
○
De GR geeft voor de overschrijdingskans \(P(\bar{X} ≥ 385{,}9) = 0{,}046... \text{.}\)
1p
○
\(P(\bar{X} ≥ 385{,}9) ≤ \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt verworpen.
Het steekproefresultaat is inderdaad significant hoger.
1p
De toevalsvariabele \(X\) is binomiaal verdeeld met succeskans \(p = 0{,}32 \text{.}\) Bij een steekproef van \(88\) blijkt het aantal successen gelijk te zijn aan \(36 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(10\%\) worden geconcludeerd dat de succeskans in deze steekproef afwijkt?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(p = 0{,}32\)
\(H_{1} \text{:}\) \(p ≠ 0{,}32\)
\(\alpha = 0{,}1 \text{,}\) dus \(\frac{1}{2} \alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(X\) is binomiaal verdeeld met \(n = 88\) en \(p = 0{,}32 \text{.}\)
1p
○
De verwachtsingswaarde is \(n ⋅ p = 88 ⋅ 0{,}32 = 28{,}16 \text{.}\) Omdat \(36 > 28{,}16\) bekijken we de overschrijdingskans \(P(X ≥ 36) \text{.}\)
De GR geeft \(P(X ≥ 36) = 1 - P(X ≤ 35) = 0{,}04878... \text{.}\)
1p
○
\(P(X ≥ 36) ≤ \frac{1}{2} \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt verworpen.
De succeskans in deze steekproef wijkt inderdaad af.
1p
De toevalsvariabele \(X\) is normaal verdeeld met \(\mu _{X} = 630\) en \(\sigma _{X} = 30 \text{.}\) Bij een steekproef van \(70\) blijkt het steekproefresultaat gelijk te zijn aan \(624{,}4 \text{.}\)
4p
Kan bij een significantieniveau van \(10\%\) worden geconcludeerd dat het steekproefresultaat significant afwijkt?
○
\(H_{0} \text{:}\) \(\mu _{X} = 630\)
\(H_{1} \text{:}\) \(\mu _{X} ≠ 630\)
\(\alpha = 0{,}1 \text{,}\) dus \({1 \over 2} \alpha = 0{,}05\)
1p
○
\(\bar{X}\) is normaal verdeeld met \(\mu _{\bar{X}} = \mu _{X} = 630\) en \(\sigma _{\bar{X}} = {\sigma _{X} \over \sqrt{n}} = {30 \over \sqrt{70}} \text{.}\)
1p
○
De GR geeft voor de overschrijdingskans \(P(\bar{X} ≤ 624{,}4) = 0{,}059... \text{.}\)
1p
○
\(P(\bar{X} ≤ 624{,}4) > {1 \over 2} \alpha \text{,}\) dus \(H_{0}\) wordt niet verworpen.
Het steekproefresultaat wijkt niet significant af.
1p