Gebroken functies
Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over x + 1} + 2 \text{.}\)
1p
a
Hoe ontstaat de grafiek van \(f\) uit de standaardgrafiek?
1p
b
Geef de formules van de horizontale asymptoot en de verticale asymptoot van \(f \text{.}\)
3p
c
Bepaal de coördinaten van de snijpunten van \(f\) met de \(x \text{-}\) en de \(y \text{-}\)as.
2p
d
Schets de grafiek van \(f \text{.}\)
Ook is gegeven de functie \(g(x) = 5 x + 3 \text{.}\)
4p
e
Bepaal de coördinaten van de snijpunten van \(f\) en \(g \text{.}\)
a
\(y = {1 \over x}\)
\(\downarrow \text{translatie} (-1 , 2)\)
\(f(x) = {1 \over x + 1} + 2\)
1p
b
De formules van de asymptoten zijn \(x = -1\) en \(y = 2 \text{.}\)
1p
c
\(f(0) = {1 \over 0 + 1} + 2 = 3 \text{,}\) dus het snijpunt met de \(y \text{-}\)as is \((0 , 3) \text{.}\)
1p
○
(Voor het snijpunt met de \(x \text{-}\)as geldt) \({1 \over x + 1} + 2 = 0\)
1p
○
(Oplossen geeft)
\({1 \over x + 1} = -2\)
\(x + 1 = {1 \over -2}\)
\(x = -\frac{1}{2} - 1 = -1\frac{1}{2}\)
dus het snijpunt met de \(x \text{-}\)as is \((-1\frac{1}{2} , 0) \text{.}\)
1p
d
(1p aftrek bij onjuiste labels bij de assen)
2p
e
(Gelijkstellen geeft)
\({1 \over x + 1} + 2 = 5 x + 3\)
1p
○
(Kruislings vermenigvuldigen geeft)
\({1 \over x + 1} = 5 x + 1\)
\((x + 1) (5 x + 1) = 1\)
1p
○
(Oplossen geeft)
\(5 x^{2} + x + 5 x + 1 - 1 = 0\)
\(5 x^{2} + 6 x + 0 = 0\)
\(x (5 x + 6) = 0\)
\(x = 0 ∨ 5 x = -6\)
\(x = 0 ∨ x = {-6 \over 5}\)
1p
○
\(g(0) = 3\) en \(g({-6 \over 5}) = -3 \text{,}\) dus de snijpunten zijn \((0 , 3)\) en \(({-6 \over 5} , -3) \text{.}\)
1p