Formule bij exponentiële groei opstellen

10 - 14 oefeningen

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.vk Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 9.2 Getal & Ruimte (13e editie) - 3 havo - 8.2

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}7\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 277 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen.
Stel de formule van \(y\) op.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {2{,}7 \over 100} = 0{,}973 \text{.}\)

1p

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 277 \text{.}\)

1p

\(y = 277 ⋅ 0{,}973^{x} \text{.}\)

1p

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.3 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.1 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.2 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 9.2

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 238\) en bij \(x = 6\) is \(y = 218 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({218 \over 238})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}957...\)

1p

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}957...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 238\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}957...^{4} = 238 \\ b = {238 \over 0{,}957...^{4}} ≈ 284\end{matrix}\)

1p

\(y = 284 ⋅ 0{,}957^{x} \text{.}\)

1p

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.3 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.1 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.2 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 9.2

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 328\) en bij \(x = 9\) is \(y = 384 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({384 \over 328})^{{1 \over 9 - 4}} = 1{,}032...\)

1p

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}032...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 328\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}032...^{4} = 328 \\ b = {328 \over 1{,}032...^{4}} ≈ 289\end{matrix}\)

1p

\(y = 289 ⋅ 1{,}032^{x} \text{.}\)

1p

Exponentieel
00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.4
0123456789100100010000100000xy

4p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

Rasterpunten \((2 , 600)\) en \((8 , 8\,000)\) aflezen.

1p

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8\,000 \over 600})^{{1 \over 8 - 2}} = 1{,}539...\)

1p

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}539...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 600{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}539...^{2} = 600{,}00 \\ b = {600{,}00 \over 1{,}539...^{2}} \\ b = 253{,}029...\end{matrix}\)

1p

\(y = 253 ⋅ 1{,}540^{x} \text{.}\)

1p

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.1 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.vk Getal & Ruimte (13e editie) - 3 vwo - 8.2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(y\)

\(41{,}82\)

\(32{,}62\)

\(25{,}44\)

\(19{,}85\)

\(15{,}48\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\({32{,}62 \over 41{,}82} ≈ 0{,}78\)

1p

\({25{,}44 \over 32{,}62} ≈ 0{,}78\)
\({19{,}85 \over 25{,}44} ≈ 0{,}78\)
\({15{,}48 \over 19{,}85} ≈ 0{,}78\)

1p

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}78\)

1p

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 41{,}82 \text{.}\)

1p

Dus \(y = 41{,}82 ⋅ 0{,}78^{x} \text{.}\)

1p

ExponentieelUitTabel (2)
00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.3 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.1 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,012\)

\(2\,018\)

\(2\,020\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(26{,}82\)

\(58{,}87\)

\(76{,}51\)

\(147{,}31\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\(g = ({58{,}87 \over 26{,}82})^{{1 \over 2\,018 - 2\,012}} ≈ 1{,}14\)

1p

\(g = ({76{,}51 \over 58{,}87})^{{1 \over 2\,020 - 2\,018}} ≈ 1{,}14\)
\(g = ({147{,}31 \over 76{,}51})^{{1 \over 2\,025 - 2\,020}} ≈ 1{,}14\)

1p

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}14\)

1p

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}14^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 26{,}82\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}14^{4} = 26{,}82 \\ b = {26{,}82 \over 1{,}14^{4}} \\ b ≈ 15{,}88\end{matrix}\)

1p

Dus \(y = 15{,}88 ⋅ 1{,}14^{x} \text{.}\)

1p

LineairEnExponentieel
00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 23ms - data pool: #87 (22ms) - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.1

Gegeven zijn de punten \((1 , 11)\) en \((2 , 5) \text{.}\)

3p

a

Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.

3p

b

Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.

a

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 11 \over 2 - 1} = -6\)

1p

\(\begin{rcases}y = -6 x + b \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}-6 ⋅ 1 + b = 11 \\ -6 + b = 11 \\ b = 17\end{matrix}\)

1p

Dus \(l{:}\,y = -6 x + 17\)

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({5 \over 11})^{{1 \over 2 - 1}} = 0{,}454...\)

1p

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}454...^{x} \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = b ⋅ 0{,}454...^{1} \\ b = {11 \over 0{,}454...^{1}} \\ b = 24{,}2\end{matrix}\)

1p

Dus \(y = 24{,}2 ⋅ 0{,}455^{x} \text{.}\)

1p

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.1 Getal & Ruimte (13e editie) - 3 vwo - 8.2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(y\)

\(25{,}46\)

\(19{,}10\)

\(14{,}32\)

\(10{,}74\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\({19{,}10 \over 25{,}46} ≈ 0{,}75\)

1p

\({14{,}32 \over 19{,}10} ≈ 0{,}75\)
\({10{,}74 \over 14{,}32} ≈ 0{,}75\)

1p

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}75\)

1p

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 25{,}46 \text{.}\)

1p

Dus \(y = 25{,}46 ⋅ 0{,}75^{x} \text{.}\)

1p

LineairOfExponentieelUitTabel (2)
00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,010\)

\(2\,016\)

\(2\,021\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(y\)

\(17{,}40\)

\(19{,}02\)

\(20{,}37\)

\(20{,}91\)

\(21{,}18\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,006 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\({\Delta y \over \Delta x} = {19{,}02 - 17{,}40 \over 2\,016 - 2\,010} = 0{,}27\)

1p

\({\Delta y \over \Delta x} = {20{,}37 - 19{,}02 \over 2\,021 - 2\,016} = 0{,}27\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {20{,}91 - 20{,}37 \over 2\,023 - 2\,021} = 0{,}27\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}18 - 20{,}91 \over 2\,024 - 2\,023} = 0{,}27\)

1p

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = 0{,}27\)

1p

\(\begin{rcases}y = 0{,}27 x + b \\ x = 4 \text{ en } y = 17{,}4\end{rcases} \begin{matrix}0{,}27 ⋅ 4 + b = 17{,}4 \\ 1{,}08 + b = 17{,}4 \\ b = 16{,}32\end{matrix}\)

1p

Dus \(y = 0{,}27 x + 16{,}32\)

1p

LogaritmischAflezen
00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.4
0123456781001000100001000001000000xyABC

3p

Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)

Punt \(\text{A} (1 , 800\,000) \text{.}\)

1p

Punt \(\text{B} (4 , 900) \text{.}\)

1p

Punt \(\text{C} (7 , 40\,000) \text{.}\)

1p

LogaritmischTegenLineair
00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.4
102030405060708090123456Oxlog(y)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

Rasterpunten \((10 , 2)\) en \((80 , 5)\) aflezen.

1p

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 2 \over 80 - 10} = \frac{3}{70}\)

1p

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{70} x + b \\ \text{door } (10 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{70} ⋅ 10 + b = 2 \\ \frac{30}{70} + b = 2 \\ b = 1\frac{4}{7}\end{matrix}\)

1p

\(\log(y) = \frac{3}{70} x + 1\frac{4}{7}\)
\(y = 10^{\frac{3}{70} x + 1\frac{4}{7}}\)

1p

\(y = 10^{\frac{3}{70} x} ⋅ 10^{1\frac{4}{7}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{4}{7}} ⋅ (10^{\frac{3}{70}})^{x}\)
\(\text{ } = 37 ⋅ 1{,}104^{x}\)

1p

LogaritmischTegenLogaritmisch
00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.4
1234561234Olog(x)log(y)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

Rasterpunten \((2 , 3)\) en \((5 , 2)\) aflezen.

1p

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {2 - 3 \over 5 - 2} = -\frac{1}{3}\)

1p

\(\begin{rcases}\log(y) = -\frac{1}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (2 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{3} ⋅ 2 + b = 3 \\ -\frac{2}{3} + b = 3 \\ b = 3\frac{2}{3}\end{matrix}\)

1p

\(\log(y) = -\frac{1}{3} ⋅ \log(x) + 3\frac{2}{3}\)
\(\log(y) = \log(x^{-\frac{1}{3}}) + \log(10^{3\frac{2}{3}})\)
\(\log(y) = \log(10^{3\frac{2}{3}} ⋅ x^{-\frac{1}{3}})\)

1p

\(y = 10^{3\frac{2}{3}} ⋅ x^{-\frac{1}{3}}\)
\(y = 4\,642 ⋅ x^{-0{,}33}\)

1p

LogaritmischTekenen
00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A - 9.4 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A - 10.4
0123456789100010000100000100000010000000xy

3p

Teken de punten \(A (2 , 9\,000\,000) \text{,}\) \(B (4 , 200\,000)\) en \(C (8 , 6\,000) \text{.}\)

0123456789100010000100000100000010000000xyABC

3p

SoortFormule
00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables
Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 9.4
Oxy

1p

a

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

1p

b

Welke formule hoort er bij dat verband?

a

De grafiek hoort bij een lineair verband.

1p

b

Hierbij hoort de formule \(y = a x + b \text{.}\)

1p

00ke 00k1 00k2 0074 0076 0075 00pc 00k3 00k4 00ki 00l4 00l5 00kj 00l6