Formule bij exponentiële groei opstellen

Exponentieel
00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - 1ms - dynamic variables
code
00ke
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
1ms
0123456789101001000100001000001000000xy

4p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

○

Rasterpunten \((1 , 40)\) en \((8 , 90\,000)\) aflezen.

1p

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({90\,000 \over 40})^{{1 \over 8 - 1}} = 3{,}012...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 3{,}012...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 40{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 3{,}012...^{1} = 40{,}00 \\ b = {40{,}00 \over 3{,}012...^{1}} \\ b = 13{,}279...\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 13 ⋅ 3{,}012^{x} \text{.}\)

1p

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms - dynamic variables
code
00k1
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,019\)

\(2\,020\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(y\)

\(15{,}01\)

\(18{,}91\)

\(23{,}83\)

\(30{,}03\)

\(37{,}83\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,019 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\({18{,}91 \over 15{,}01} ≈ 1{,}26\)

1p

○

\({23{,}83 \over 18{,}91} ≈ 1{,}26\)
\({30{,}03 \over 23{,}83} ≈ 1{,}26\)
\({37{,}83 \over 30{,}03} ≈ 1{,}26\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}26\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 15{,}01 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 15{,}01 ⋅ 1{,}26^{x} \text{.}\)

1p

ExponentieelUitTabel (2)
00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms - dynamic variables
code
00k2
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,016\)

\(2\,021\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(19{,}24\)

\(29{,}60\)

\(38{,}33\)

\(41{,}78\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,014 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\(g = ({29{,}60 \over 19{,}24})^{{1 \over 2\,021 - 2\,016}} ≈ 1{,}09\)

1p

○

\(g = ({38{,}33 \over 29{,}60})^{{1 \over 2\,024 - 2\,021}} ≈ 1{,}09\)
\(g = ({41{,}78 \over 38{,}33})^{{1 \over 2\,025 - 2\,024}} ≈ 1{,}09\)

1p

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}09\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}09^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 19{,}24\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}09^{2} = 19{,}24 \\ b = {19{,}24 \over 1{,}09^{2}} \\ b ≈ 16{,}19\end{matrix}\)

1p

○

Dus \(y = 16{,}19 ⋅ 1{,}09^{x} \text{.}\)

1p

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 2ms - dynamic variables
code
0074
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
2ms

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}8\%\) per minuut. Op \(x = 0\) is \(y = 390 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in minuten.
Stel de formule van \(y\) op.

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{minuut}} = 1 - {4{,}8 \over 100} = 0{,}952 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 390 \text{.}\)

1p

○

\(y = 390 ⋅ 0{,}952^{x} \text{.}\)

1p

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms - dynamic variables
code
0076
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 255\) en bij \(x = 5\) is \(y = 232 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({232 \over 255})^{{1 \over 5 - 3}} = 0{,}953...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}953...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 255\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}953...^{3} = 255 \\ b = {255 \over 0{,}953...^{3}} ≈ 294\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 294 ⋅ 0{,}954^{x} \text{.}\)

1p

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms - dynamic variables
code
0075
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 314\) en bij \(x = 8\) is \(y = 376 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({376 \over 314})^{{1 \over 8 - 4}} = 1{,}046...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}046...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 314\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}046...^{4} = 314 \\ b = {314 \over 1{,}046...^{4}} ≈ 262\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 262 ⋅ 1{,}046^{x} \text{.}\)

1p

LineairEnExponentieel
00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - 27ms - data pool: #87 (27ms) - dynamic variables
code
00pc
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
27ms
data pool
#87

Gegeven zijn de punten \((1 , 11)\) en \((2 , 8) \text{.}\)

3p

a

Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.

3p

b

Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.

a

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {8 - 11 \over 2 - 1} = -3\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}-3 ⋅ 1 + b = 11 \\ -3 + b = 11 \\ b = 14\end{matrix}\)

1p

○

Dus \(l{:}\,y = -3 x + 14\)

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8 \over 11})^{{1 \over 2 - 1}} = 0{,}727...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}727...^{x} \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = b ⋅ 0{,}727...^{1} \\ b = {11 \over 0{,}727...^{1}} \\ b = 15{,}125\end{matrix}\)

1p

○

Dus \(y = 15{,}125 ⋅ 0{,}727^{x} \text{.}\)

1p

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms - dynamic variables
code
00k3
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(19{,}08\)

\(19{,}08\)

\(19{,}08\)

\(19{,}08\)

\(19{,}08\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)

1p

○

\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)
\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)
\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}08 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 19{,}08 ⋅ 1{,}00^{x} \text{.}\)

1p

LineairOfExponentieelUitTabel (2)
00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms - dynamic variables
code
00k4
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,013\)

\(2\,014\)

\(2\,018\)

\(2\,024\)

\(y\)

\(16{,}55\)

\(17{,}73\)

\(22{,}45\)

\(29{,}53\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

a

\({\Delta y \over \Delta x} = {17{,}73 - 16{,}55 \over 2\,014 - 2\,013} = 1{,}18\)

1p

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {22{,}45 - 17{,}73 \over 2\,018 - 2\,014} = 1{,}18\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {29{,}53 - 22{,}45 \over 2\,024 - 2\,018} = 1{,}18\)

1p

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}18\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = 1{,}18 x + b \\ x = 5 \text{ en } y = 16{,}55\end{rcases} \begin{matrix}1{,}18 ⋅ 5 + b = 16{,}55 \\ 5{,}9 + b = 16{,}55 \\ b = 10{,}65\end{matrix}\)

1p

○

Dus \(y = 1{,}18 x + 10{,}65\)

1p

LogaritmischAflezen
00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms
code
00ki
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms
0123456789101000100001000001000000xyABC

3p

Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)

○

Punt \(\text{A} (2 , 50\,000) \text{.}\)

1p

○

Punt \(\text{B} (5 , 200\,000) \text{.}\)

1p

○

Punt \(\text{C} (9 , 6\,000) \text{.}\)

1p

LogaritmischTegenLineair
00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 3ms - data pool: #252 (3ms) - dynamic variables
code
00l4
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
3ms
data pool
#252
5101520253035123456Oxlog(y)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

○

Rasterpunten \((10 , 4)\) en \((30 , 5)\) aflezen.

1p

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 4 \over 30 - 10} = \frac{1}{20}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{20} x + b \\ \text{door } (10 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{20} ⋅ 10 + b = 4 \\ \frac{10}{20} + b = 4 \\ b = 3\frac{1}{2}\end{matrix}\)

1p

○

\(\log(y) = \frac{1}{20} x + 3\frac{1}{2}\)
\(y = 10^{\frac{1}{20} x + 3\frac{1}{2}}\)

1p

○

\(y = 10^{\frac{1}{20} x} ⋅ 10^{3\frac{1}{2}}\)
\(\text{ } = 10^{3\frac{1}{2}} ⋅ (10^{\frac{1}{20}})^{x}\)
\(\text{ } = 3\,162 ⋅ 1{,}122^{x}\)

1p

LogaritmischTegenLogaritmisch
00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables
code
00l5
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
2ms
data pool
#41
123456712345Olog(x)log(y)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

○

Rasterpunten \((2 , 3)\) en \((6 , 4)\) aflezen.

1p

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {4 - 3 \over 6 - 2} = \frac{1}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{4} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (2 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{4} ⋅ 2 + b = 3 \\ \frac{2}{4} + b = 3 \\ b = 2\frac{1}{2}\end{matrix}\)

1p

○

\(\log(y) = \frac{1}{4} ⋅ \log(x) + 2\frac{1}{2}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{1}{4}}) + \log(10^{2\frac{1}{2}})\)
\(\log(y) = \log(10^{2\frac{1}{2}} ⋅ x^{\frac{1}{4}})\)

1p

○

\(y = 10^{2\frac{1}{2}} ⋅ x^{\frac{1}{4}}\)
\(y = 316 ⋅ x^{0{,}25}\)

1p

LogaritmischTekenen
00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - 0ms
code
00kj
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
0ms
012345678910101001000xy

3p

Teken de punten \(A (1 , 40) \text{,}\) \(B (4 , 1\,000)\) en \(C (9 , 500) \text{.}\)

○

012345678910101001000xyABC

3p

SoortFormule
00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - 1ms - dynamic variables
code
00l6
vaardigheid
Formule bij exponentiële groei opstellen
start-up
1ms
Olog(x)log(y)

1p

a

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

1p

b

Welke formule hoort er bij dat verband?

a

De grafiek hoort bij een machtsverband.

1p

b

Hierbij hoort de formule \(y = a x^{b} \text{.}\)

1p