Formule bij exponentiële groei opstellen
4p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((1 , 40)\) en \((8 , 90\,000)\) aflezen.
1p
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({90\,000 \over 40})^{{1 \over 8 - 1}} = 3{,}012...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 3{,}012...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 40{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 3{,}012...^{1} = 40{,}00 \\ b = {40{,}00 \over 3{,}012...^{1}} \\ b = 13{,}279...\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 13 ⋅ 3{,}012^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,019\) | \(2\,020\) | \(2\,021\) | \(2\,022\) | \(2\,023\) |
\(y\) | \(15{,}01\) | \(18{,}91\) | \(23{,}83\) | \(30{,}03\) | \(37{,}83\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,019 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({18{,}91 \over 15{,}01} ≈ 1{,}26\)
1p
○
\({23{,}83 \over 18{,}91} ≈ 1{,}26\)
\({30{,}03 \over 23{,}83} ≈ 1{,}26\)
\({37{,}83 \over 30{,}03} ≈ 1{,}26\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}26\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 15{,}01 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 15{,}01 ⋅ 1{,}26^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,016\) | \(2\,021\) | \(2\,024\) | \(2\,025\) |
\(y\) | \(19{,}24\) | \(29{,}60\) | \(38{,}33\) | \(41{,}78\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,014 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(g = ({29{,}60 \over 19{,}24})^{{1 \over 2\,021 - 2\,016}} ≈ 1{,}09\)
1p
○
\(g = ({38{,}33 \over 29{,}60})^{{1 \over 2\,024 - 2\,021}} ≈ 1{,}09\)
\(g = ({41{,}78 \over 38{,}33})^{{1 \over 2\,025 - 2\,024}} ≈ 1{,}09\)
1p
○
De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}09\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}09^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 19{,}24\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}09^{2} = 19{,}24 \\ b = {19{,}24 \over 1{,}09^{2}} \\ b ≈ 16{,}19\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 16{,}19 ⋅ 1{,}09^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}8\%\) per minuut. Op \(x = 0\) is \(y = 390 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in minuten.
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{minuut}} = 1 - {4{,}8 \over 100} = 0{,}952 \text{.}\)
1p
○
De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 390 \text{.}\)
1p
○
\(y = 390 ⋅ 0{,}952^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 255\) en bij \(x = 5\) is \(y = 232 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({232 \over 255})^{{1 \over 5 - 3}} = 0{,}953...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}953...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 255\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}953...^{3} = 255 \\ b = {255 \over 0{,}953...^{3}} ≈ 294\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 294 ⋅ 0{,}954^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 314\) en bij \(x = 8\) is \(y = 376 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({376 \over 314})^{{1 \over 8 - 4}} = 1{,}046...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}046...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 314\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}046...^{4} = 314 \\ b = {314 \over 1{,}046...^{4}} ≈ 262\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 262 ⋅ 1{,}046^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \((1 , 11)\) en \((2 , 8) \text{.}\)
3p
a
Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.
3p
b
Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.
a
\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {8 - 11 \over 2 - 1} = -3\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}-3 ⋅ 1 + b = 11 \\ -3 + b = 11 \\ b = 14\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(l{:}\,y = -3 x + 14\)
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8 \over 11})^{{1 \over 2 - 1}} = 0{,}727...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}727...^{x} \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = b ⋅ 0{,}727...^{1} \\ b = {11 \over 0{,}727...^{1}} \\ b = 15{,}125\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 15{,}125 ⋅ 0{,}727^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,021\) | \(2\,022\) | \(2\,023\) | \(2\,024\) | \(2\,025\) |
\(y\) | \(19{,}08\) | \(19{,}08\) | \(19{,}08\) | \(19{,}08\) | \(19{,}08\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)
1p
○
\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)
\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)
\({19{,}08 \over 19{,}08} ≈ 1{,}00\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}08 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 19{,}08 ⋅ 1{,}00^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,013\) | \(2\,014\) | \(2\,018\) | \(2\,024\) |
\(y\) | \(16{,}55\) | \(17{,}73\) | \(22{,}45\) | \(29{,}53\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({\Delta y \over \Delta x} = {17{,}73 - 16{,}55 \over 2\,014 - 2\,013} = 1{,}18\)
1p
○
\({\Delta y \over \Delta x} = {22{,}45 - 17{,}73 \over 2\,018 - 2\,014} = 1{,}18\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {29{,}53 - 22{,}45 \over 2\,024 - 2\,018} = 1{,}18\)
1p
○
De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.
1p
b
\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}18\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 1{,}18 x + b \\ x = 5 \text{ en } y = 16{,}55\end{rcases} \begin{matrix}1{,}18 ⋅ 5 + b = 16{,}55 \\ 5{,}9 + b = 16{,}55 \\ b = 10{,}65\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 1{,}18 x + 10{,}65\)
1p
3p
Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)
○
Punt \(\text{A} (2 , 50\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{B} (5 , 200\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{C} (9 , 6\,000) \text{.}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((10 , 4)\) en \((30 , 5)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 4 \over 30 - 10} = \frac{1}{20}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{20} x + b \\ \text{door } (10 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{20} ⋅ 10 + b = 4 \\ \frac{10}{20} + b = 4 \\ b = 3\frac{1}{2}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{1}{20} x + 3\frac{1}{2}\)
\(y = 10^{\frac{1}{20} x + 3\frac{1}{2}}\)
1p
○
\(y = 10^{\frac{1}{20} x} ⋅ 10^{3\frac{1}{2}}\)
\(\text{ } = 10^{3\frac{1}{2}} ⋅ (10^{\frac{1}{20}})^{x}\)
\(\text{ } = 3\,162 ⋅ 1{,}122^{x}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.
○
Rasterpunten \((2 , 3)\) en \((6 , 4)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {4 - 3 \over 6 - 2} = \frac{1}{4}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{4} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (2 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{4} ⋅ 2 + b = 3 \\ \frac{2}{4} + b = 3 \\ b = 2\frac{1}{2}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{1}{4} ⋅ \log(x) + 2\frac{1}{2}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{1}{4}}) + \log(10^{2\frac{1}{2}})\)
\(\log(y) = \log(10^{2\frac{1}{2}} ⋅ x^{\frac{1}{4}})\)
1p
○
\(y = 10^{2\frac{1}{2}} ⋅ x^{\frac{1}{4}}\)
\(y = 316 ⋅ x^{0{,}25}\)
1p
3p
Teken de punten \(A (1 , 40) \text{,}\) \(B (4 , 1\,000)\) en \(C (9 , 500) \text{.}\)
○
3p
1p
a
Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?
1p
b
Welke formule hoort er bij dat verband?
a
De grafiek hoort bij een machtsverband.
1p
b
Hierbij hoort de formule \(y = a x^{b} \text{.}\)
1p