Formule bij exponentiële groei opstellen

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{jaar}}=1+{4{,}2 \over 100}=1{,}042\text{.}\)

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=245\text{.}\)

\(y=245⋅1{,}042^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({441 \over 488})^{{1 \over 6-4}}=0{,}950...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}950...^x \\ x=4\text{ en }y=488\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}950...^4=488 \\ b={488 \over 0{,}950...^4}≈598\end{matrix}\)

\(y=598⋅0{,}951^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({732 \over 593})^{{1 \over 7-2}}=1{,}043...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}043...^x \\ x=2\text{ en }y=593\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}043...^2=593 \\ b={593 \over 1{,}043...^2}≈545\end{matrix}\)

\(y=545⋅1{,}043^x\text{.}\)

Rasterpunten \((1, 700)\) en \((8, 5\,000)\) aflezen.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({5\,000 \over 700})^{{1 \over 8-1}}=1{,}324...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}324...^x \\ x=1\text{ en }y=700{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}324...^1=700{,}00 \\ b={700{,}00 \over 1{,}324...^1} \\ b=528{,}586...\end{matrix}\)

\(y=529⋅1{,}324^x\text{.}\)

\({19{,}81 \over 25{,}07}≈0{,}79\)

\({15{,}65 \over 19{,}81}≈0{,}79\)
\({12{,}36 \over 15{,}65}≈0{,}79\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}79\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=25{,}07\text{.}\)

Dus \(y=25{,}07⋅0{,}79^x\text{.}\)

\(g=({37{,}23 \over 20{,}20})^{{1 \over 6-1}}≈1{,}13\)

\(g=({47{,}53 \over 37{,}23})^{{1 \over 8-6}}≈1{,}13\)
\(g=({68{,}59 \over 47{,}53})^{{1 \over 11-8}}≈1{,}13\)
\(g=({111{,}83 \over 68{,}59})^{{1 \over 15-11}}≈1{,}13\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}13\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}13^x \\ x=1\text{ en }y=20{,}20\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}13^1=20{,}20 \\ b={20{,}20 \over 1{,}13^1} \\ b≈17{,}88\end{matrix}\)

Dus \(y=17{,}88⋅1{,}13^x\text{.}\)

\(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={8-10 \over 8-4}=-0{,}5\)

\(\begin{rcases}y=-0{,}5x+b \\ \text{door }(4, 10)\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}5⋅4+b=10 \\ -2+b=10 \\ b=12\end{matrix}\)

Dus \(l{:}\,y=-0{,}5x+12\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({8 \over 10})^{{1 \over 8-4}}=0{,}945...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}945...^x \\ \text{door }(4, 10)\end{rcases}\begin{matrix}10=b⋅0{,}945...^4 \\ b={10 \over 0{,}945...^4} \\ b=12{,}5\end{matrix}\)

Dus \(y=12{,}5⋅0{,}946^x\text{.}\)

\(11{,}01-10{,}05=0{,}96\)

\(11{,}97-11{,}01=0{,}96\)
\(12{,}93-11{,}97=0{,}96\)

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=0{,}96\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=10{,}05\text{.}\)

Dus \(y=0{,}96x+10{,}05\)

\(g=({70{,}19 \over 27{,}85})^{{1 \over 2\,020-2\,016}}≈1{,}26\)

\(g=({88{,}43 \over 70{,}19})^{{1 \over 2\,021-2\,020}}≈1{,}26\)
\(g=({280{,}85 \over 88{,}43})^{{1 \over 2\,026-2\,021}}≈1{,}26\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}26\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}26^x \\ x=2\text{ en }y=27{,}85\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}26^2=27{,}85 \\ b={27{,}85 \over 1{,}26^2} \\ b≈17{,}54\end{matrix}\)

Dus \(y=17{,}54⋅1{,}26^x\text{.}\)

Punt \(\text{A}(3, 8\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{B}(4, 10)\text{.}\)

Punt \(\text{C}(9, 400)\text{.}\)

Rasterpunten \((2, 2)\) en \((16, 5)\) aflezen.

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={5-2 \over 16-2}=\frac{3}{14}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{3}{14}x+b \\ \text{door }(2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{3}{14}⋅2+b=2 \\ \frac{6}{14}+b=2 \\ b=1\frac{4}{7}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{3}{14}x+1\frac{4}{7}\)
\(y=10^{\frac{3}{14}x+1\frac{4}{7}}\)

\(y=10^{\frac{3}{14}x}⋅10^{1\frac{4}{7}}\)
\(\text{ }=10^{1\frac{4}{7}}⋅(10^{\frac{3}{14}})^x\)
\(\text{ }=37⋅1{,}638^x\)

Rasterpunten \((2, 2)\) en \((5, 1)\) aflezen.

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={1-2 \over 5-2}=-\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=-\frac{1}{3}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{3}⋅2+b=2 \\ -\frac{2}{3}+b=2 \\ b=2\frac{2}{3}\end{matrix}\)

\(\log(y)=-\frac{1}{3}⋅\log(x)+2\frac{2}{3}\)
\(\log(y)=\log(x^{-\frac{1}{3}})+\log(10^{2\frac{2}{3}})\)
\(\log(y)=\log(10^{2\frac{2}{3}}⋅x^{-\frac{1}{3}})\)

\(y=10^{2\frac{2}{3}}⋅x^{-\frac{1}{3}}\)
\(y=464⋅x^{-0{,}33}\)

De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.

Hierbij hoort de formule \(y=a⋅\log(x)+b\text{.}\)