Formule bij exponentiële groei opstellen

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{week}}=1+{2{,}1 \over 100}=1{,}021\text{.}\)

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=408\text{.}\)

\(y=408⋅1{,}021^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({179 \over 208})^{{1 \over 8-4}}=0{,}963...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}963...^x \\ x=4\text{ en }y=208\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}963...^4=208 \\ b={208 \over 0{,}963...^4}≈242\end{matrix}\)

\(y=242⋅0{,}963^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({375 \over 327})^{{1 \over 7-4}}=1{,}046...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}046...^x \\ x=4\text{ en }y=327\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}046...^4=327 \\ b={327 \over 1{,}046...^4}≈272\end{matrix}\)

\(y=272⋅1{,}047^x\text{.}\)

Rasterpunten \((2, 700)\) en \((8, 4\,000)\) aflezen.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({4\,000 \over 700})^{{1 \over 8-2}}=1{,}337...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}337...^x \\ x=2\text{ en }y=700{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}337...^2=700{,}00 \\ b={700{,}00 \over 1{,}337...^2} \\ b=391{,}541...\end{matrix}\)

\(y=392⋅1{,}337^x\text{.}\)

\({26{,}54 \over 33{,}59}≈0{,}79\)

\({20{,}96 \over 26{,}54}≈0{,}79\)
\({16{,}56 \over 20{,}96}≈0{,}79\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}79\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=33{,}59\text{.}\)

Dus \(y=33{,}59⋅0{,}79^x\text{.}\)

\(g=({30{,}65 \over 61{,}68})^{{1 \over 8-2}}≈0{,}89\)

\(g=({17{,}12 \over 30{,}65})^{{1 \over 13-8}}≈0{,}89\)
\(g=({12{,}07 \over 17{,}12})^{{1 \over 16-13}}≈0{,}89\)
\(g=({10{,}74 \over 12{,}07})^{{1 \over 17-16}}≈0{,}89\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}89\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}89^x \\ x=2\text{ en }y=61{,}68\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}89^2=61{,}68 \\ b={61{,}68 \over 0{,}89^2} \\ b≈77{,}87\end{matrix}\)

Dus \(y=77{,}87⋅0{,}89^x\text{.}\)

\(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={6-9 \over 4-2}=-1{,}5\)

\(\begin{rcases}y=-1{,}5x+b \\ \text{door }(2, 9)\end{rcases}\begin{matrix}-1{,}5⋅2+b=9 \\ -3+b=9 \\ b=12\end{matrix}\)

Dus \(l{:}\,y=-1{,}5x+12\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({6 \over 9})^{{1 \over 4-2}}=0{,}816...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}816...^x \\ \text{door }(2, 9)\end{rcases}\begin{matrix}9=b⋅0{,}816...^2 \\ b={9 \over 0{,}816...^2} \\ b=13{,}5\end{matrix}\)

Dus \(y=13{,}5⋅0{,}816^x\text{.}\)

\({18{,}66 \over 16{,}66}≈1{,}12\)

\({20{,}90 \over 18{,}66}≈1{,}12\)
\({23{,}41 \over 20{,}90}≈1{,}12\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}12\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=16{,}66\text{.}\)

Dus \(y=16{,}66⋅1{,}12^x\text{.}\)

\(g=({145{,}55 \over 40{,}74})^{{1 \over 2\,014-2\,009}}≈1{,}29\)

\(g=({187{,}76 \over 145{,}55})^{{1 \over 2\,015-2\,014}}≈1{,}29\)
\(g=({312{,}45 \over 187{,}76})^{{1 \over 2\,017-2\,015}}≈1{,}29\)
\(g=({1\,439{,}86 \over 312{,}45})^{{1 \over 2\,023-2\,017}}≈1{,}29\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}29\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}29^x \\ x=3\text{ en }y=40{,}74\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}29^3=40{,}74 \\ b={40{,}74 \over 1{,}29^3} \\ b≈18{,}98\end{matrix}\)

Dus \(y=18{,}98⋅1{,}29^x\text{.}\)

Punt \(\text{A}(2, 6\,000\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{B}(4, 7\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{C}(8, 40\,000)\text{.}\)

Rasterpunten \((15, 4)\) en \((40, 5)\) aflezen.

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={5-4 \over 40-15}=\frac{1}{25}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{1}{25}x+b \\ \text{door }(15, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{25}⋅15+b=4 \\ \frac{15}{25}+b=4 \\ b=3\frac{2}{5}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{1}{25}x+3\frac{2}{5}\)
\(y=10^{\frac{1}{25}x+3\frac{2}{5}}\)

\(y=10^{\frac{1}{25}x}⋅10^{3\frac{2}{5}}\)
\(\text{ }=10^{3\frac{2}{5}}⋅(10^{\frac{1}{25}})^x\)
\(\text{ }=2\,512⋅1{,}096^x\)

Rasterpunten \((1, 4)\) en \((4, 5)\) aflezen.

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={5-4 \over 4-1}=\frac{1}{3}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{1}{3}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{3}⋅1+b=4 \\ \frac{1}{3}+b=4 \\ b=3\frac{2}{3}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{1}{3}⋅\log(x)+3\frac{2}{3}\)
\(\log(y)=\log(x^{\frac{1}{3}})+\log(10^{3\frac{2}{3}})\)
\(\log(y)=\log(10^{3\frac{2}{3}}⋅x^{\frac{1}{3}})\)

\(y=10^{3\frac{2}{3}}⋅x^{\frac{1}{3}}\)
\(y=4\,642⋅x^{0{,}33}\)

De grafiek hoort bij een lineair verband.

Hierbij hoort de formule \(y=ax+b\text{.}\)