Formule bij exponentiële groei opstellen
4p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((2 , 400)\) en \((8 , 8\,000)\) aflezen.
1p
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8\,000 \over 400})^{{1 \over 8 - 2}} = 1{,}647...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}647...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 400{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}647...^{2} = 400{,}00 \\ b = {400{,}00 \over 1{,}647...^{2}} \\ b = 147{,}361...\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 147 ⋅ 1{,}648^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
\(y\) | \(10{,}58\) | \(12{,}91\) | \(15{,}75\) | \(19{,}21\) | \(23{,}44\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({12{,}91 \over 10{,}58} ≈ 1{,}22\)
1p
○
\({15{,}75 \over 12{,}91} ≈ 1{,}22\)
\({19{,}21 \over 15{,}75} ≈ 1{,}22\)
\({23{,}44 \over 19{,}21} ≈ 1{,}22\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}22\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}58 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 10{,}58 ⋅ 1{,}22^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(6\) | \(7\) | \(10\) | \(14\) | \(16\) |
\(y\) | \(41{,}10\) | \(51{,}78\) | \(103{,}58\) | \(261{,}07\) | \(414{,}48\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(g = ({51{,}78 \over 41{,}10})^{{1 \over 7 - 6}} ≈ 1{,}26\)
1p
○
\(g = ({103{,}58 \over 51{,}78})^{{1 \over 10 - 7}} ≈ 1{,}26\)
\(g = ({261{,}07 \over 103{,}58})^{{1 \over 14 - 10}} ≈ 1{,}26\)
\(g = ({414{,}48 \over 261{,}07})^{{1 \over 16 - 14}} ≈ 1{,}26\)
1p
○
De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}26\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}26^{x} \\ x = 6 \text{ en } y = 41{,}10\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}26^{6} = 41{,}10 \\ b = {41{,}10 \over 1{,}26^{6}} \\ b ≈ 10{,}27\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 10{,}27 ⋅ 1{,}26^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(2{,}9\%\) per minuut. Op \(x = 0\) is \(y = 223 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in minuten.
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{minuut}} = 1 + {2{,}9 \over 100} = 1{,}029 \text{.}\)
1p
○
De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 223 \text{.}\)
1p
○
\(y = 223 ⋅ 1{,}029^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 450\) en bij \(x = 6\) is \(y = 381 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({381 \over 450})^{{1 \over 6 - 2}} = 0{,}959...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}959...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 450\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}959...^{2} = 450 \\ b = {450 \over 0{,}959...^{2}} ≈ 489\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 489 ⋅ 0{,}959^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 302\) en bij \(x = 7\) is \(y = 383 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({383 \over 302})^{{1 \over 7 - 2}} = 1{,}048...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}048...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 302\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}048...^{2} = 302 \\ b = {302 \over 1{,}048...^{2}} ≈ 275\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 275 ⋅ 1{,}049^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \((2 , 9)\) en \((3 , 2) \text{.}\)
3p
a
Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.
3p
b
Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.
a
\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 9 \over 3 - 2} = -7\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -7 x + b \\ \text{door } (2 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-7 ⋅ 2 + b = 9 \\ -14 + b = 9 \\ b = 23\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(l{:}\,y = -7 x + 23\)
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({2 \over 9})^{{1 \over 3 - 2}} = 0{,}222...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}222...^{x} \\ \text{door } (2 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}222...^{2} \\ b = {9 \over 0{,}222...^{2}} \\ b = 182{,}25\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 182{,}25 ⋅ 0{,}222^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,021\) | \(2\,022\) | \(2\,023\) | \(2\,024\) | \(2\,025\) |
\(y\) | \(18{,}38\) | \(16{,}17\) | \(14{,}23\) | \(12{,}53\) | \(11{,}02\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({16{,}17 \over 18{,}38} ≈ 0{,}88\)
1p
○
\({14{,}23 \over 16{,}17} ≈ 0{,}88\)
\({12{,}53 \over 14{,}23} ≈ 0{,}88\)
\({11{,}02 \over 12{,}53} ≈ 0{,}88\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}88\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 18{,}38 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 18{,}38 ⋅ 0{,}88^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,005\) | \(2\,008\) | \(2\,013\) | \(2\,017\) | \(2\,023\) |
\(y\) | \(15{,}25\) | \(16{,}66\) | \(19{,}31\) | \(21{,}74\) | \(25{,}95\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,003 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(g = ({16{,}66 \over 15{,}25})^{{1 \over 2\,008 - 2\,005}} ≈ 1{,}03\)
1p
○
\(g = ({19{,}31 \over 16{,}66})^{{1 \over 2\,013 - 2\,008}} ≈ 1{,}03\)
\(g = ({21{,}74 \over 19{,}31})^{{1 \over 2\,017 - 2\,013}} ≈ 1{,}03\)
\(g = ({25{,}95 \over 21{,}74})^{{1 \over 2\,023 - 2\,017}} ≈ 1{,}03\)
1p
○
De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}03\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}03^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 15{,}25\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}03^{2} = 15{,}25 \\ b = {15{,}25 \over 1{,}03^{2}} \\ b ≈ 14{,}37\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 14{,}37 ⋅ 1{,}03^{x} \text{.}\)
1p
3p
Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)
○
Punt \(\text{A} (2 , 1\,000\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{B} (5 , 400\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{C} (7 , 2\,000) \text{.}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((4 , 3)\) en \((12 , 6)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {6 - 3 \over 12 - 4} = \frac{3}{8}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{8} x + b \\ \text{door } (4 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{8} ⋅ 4 + b = 3 \\ 1\frac{4}{8} + b = 3 \\ b = 1\frac{1}{2}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{3}{8} x + 1\frac{1}{2}\)
\(y = 10^{\frac{3}{8} x + 1\frac{1}{2}}\)
1p
○
\(y = 10^{\frac{3}{8} x} ⋅ 10^{1\frac{1}{2}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{1}{2}} ⋅ (10^{\frac{3}{8}})^{x}\)
\(\text{ } = 32 ⋅ 2{,}371^{x}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.
○
Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((4 , 3)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {3 - 2 \over 4 - 1} = \frac{1}{3}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{3} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{1}{3} + b = 2 \\ b = 1\frac{2}{3}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{1}{3} ⋅ \log(x) + 1\frac{2}{3}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{1}{3}}) + \log(10^{1\frac{2}{3}})\)
\(\log(y) = \log(10^{1\frac{2}{3}} ⋅ x^{\frac{1}{3}})\)
1p
○
\(y = 10^{1\frac{2}{3}} ⋅ x^{\frac{1}{3}}\)
\(y = 46 ⋅ x^{0{,}33}\)
1p
3p
Teken de punten \(A (3 , 70\,000) \text{,}\) \(B (6 , 4\,000)\) en \(C (7 , 500) \text{.}\)
○
3p
1p
a
Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?
1p
b
Welke formule hoort er bij dat verband?
a
De grafiek hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
Hierbij hoort de formule \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\)
1p