Formule bij exponentiële groei opstellen

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{kwartier}}=1+{3{,}4 \over 100}=1{,}034\text{.}\)

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=220\text{.}\)

\(y=220⋅1{,}034^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({332 \over 381})^{{1 \over 7-4}}=0{,}955...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}955...^x \\ x=4\text{ en }y=381\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}955...^4=381 \\ b={381 \over 0{,}955...^4}≈458\end{matrix}\)

\(y=458⋅0{,}955^x\text{.}\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({391 \over 340})^{{1 \over 7-3}}=1{,}035...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}035...^x \\ x=3\text{ en }y=340\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}035...^3=340 \\ b={340 \over 1{,}035...^3}≈306\end{matrix}\)

\(y=306⋅1{,}036^x\text{.}\)

Rasterpunten \((1, 900)\) en \((8, 20\,000)\) aflezen.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({20\,000 \over 900})^{{1 \over 8-1}}=1{,}557...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}557...^x \\ x=1\text{ en }y=900{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}557...^1=900{,}00 \\ b={900{,}00 \over 1{,}557...^1} \\ b=577{,}888...\end{matrix}\)

\(y=578⋅1{,}557^x\text{.}\)

\({18{,}31 \over 17{,}95}≈1{,}02\)

\({18{,}68 \over 18{,}31}≈1{,}02\)
\({19{,}05 \over 18{,}68}≈1{,}02\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}02\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=17{,}95\text{.}\)

Dus \(y=17{,}95⋅1{,}02^x\text{.}\)

\(g=({95{,}94 \over 377{,}54})^{{1 \over 9-5}}≈0{,}71\)

\(g=({48{,}36 \over 95{,}94})^{{1 \over 11-9}}≈0{,}71\)
\(g=({34{,}34 \over 48{,}36})^{{1 \over 12-11}}≈0{,}71\)
\(g=({12{,}29 \over 34{,}34})^{{1 \over 15-12}}≈0{,}71\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}71\)

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}71^x \\ x=5\text{ en }y=377{,}54\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}71^5=377{,}54 \\ b={377{,}54 \over 0{,}71^5} \\ b≈2\,092{,}53\end{matrix}\)

Dus \(y=2\,092{,}53⋅0{,}71^x\text{.}\)

\(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={5-3 \over 6-4}=1\)

\(\begin{rcases}y=x+b \\ \text{door }(4, 3)\end{rcases}\begin{matrix}1⋅4+b=3 \\ 4+b=3 \\ b=-1\end{matrix}\)

Dus \(l{:}\,y=x-1\)

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({5 \over 3})^{{1 \over 6-4}}=1{,}290...\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}290...^x \\ \text{door }(4, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=b⋅1{,}290...^4 \\ b={3 \over 1{,}290...^4} \\ b=1{,}08\end{matrix}\)

Dus \(y=1{,}08⋅1{,}291^x\text{.}\)

\({20{,}44 \over 16{,}35}≈1{,}25\)

\({25{,}55 \over 20{,}44}≈1{,}25\)
\({31{,}93 \over 25{,}55}≈1{,}25\)
\({39{,}92 \over 31{,}93}≈1{,}25\)

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}25\)

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=16{,}35\text{.}\)

Dus \(y=16{,}35⋅1{,}25^x\text{.}\)

\(g=({39{,}04 \over 32{,}00})^{{1 \over 6-5}}≈1{,}22\)

\(g=({70{,}89 \over 39{,}04})^{{1 \over 9-6}}≈1{,}22\)
\(g=({157{,}05 \over 70{,}89})^{{1 \over 13-9}}≈1{,}22\)

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}22\)

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}22^x \\ x=5\text{ en }y=32{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}22^5=32{,}00 \\ b={32{,}00 \over 1{,}22^5} \\ b≈11{,}84\end{matrix}\)

Dus \(y=11{,}84⋅1{,}22^x\text{.}\)

Punt \(\text{A}(1, 700\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{B}(6, 5\,000)\text{.}\)

Punt \(\text{C}(9, 2\,000\,000)\text{.}\)

Rasterpunten \((2, 3)\) en \((16, 2)\) aflezen.

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={2-3 \over 16-2}=-\frac{1}{14}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=-\frac{1}{14}x+b \\ \text{door }(2, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{14}⋅2+b=3 \\ -\frac{2}{14}+b=3 \\ b=3\frac{1}{7}\end{matrix}\)

\(\log(y)=-\frac{1}{14}x+3\frac{1}{7}\)
\(y=10^{-\frac{1}{14}x+3\frac{1}{7}}\)

\(y=10^{-\frac{1}{14}x}⋅10^{3\frac{1}{7}}\)
\(\text{ }=10^{3\frac{1}{7}}⋅(10^{-\frac{1}{14}})^x\)
\(\text{ }=1\,389⋅0{,}848^x\)

Rasterpunten \((1, 3)\) en \((5, 6)\) aflezen.

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={6-3 \over 5-1}=\frac{3}{4}\)

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{3}{4}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{3}{4}⋅1+b=3 \\ \frac{3}{4}+b=3 \\ b=2\frac{1}{4}\end{matrix}\)

\(\log(y)=\frac{3}{4}⋅\log(x)+2\frac{1}{4}\)
\(\log(y)=\log(x^{\frac{3}{4}})+\log(10^{2\frac{1}{4}})\)
\(\log(y)=\log(10^{2\frac{1}{4}}⋅x^{\frac{3}{4}})\)

\(y=10^{2\frac{1}{4}}⋅x^{\frac{3}{4}}\)
\(y=178⋅x^{0{,}75}\)

De grafiek hoort bij een exponentieel verband.

Hierbij hoort de formule \(y=b⋅g^x\text{.}\)