Extreme waarden bepalen
Gegeven is de functie \(f(x) = -\frac{3}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + 8 x \text{.}\)
4p
Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)
○
\(f'(x) = -3 x^{4} + 2 x^{2} + 8\)
1p
○
\(f'(\sqrt{2}) = -3 (\sqrt{2})^{4} + 2 (\sqrt{2})^{2} + 8 = 0\)
1p
○
Schets:
1p
○
\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} + 9 x^{2} + 24 x + 34 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = -6 x^{2} + 18 x + 24\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(-6 x^{2} + 18 x + 24 = 0\)
\(x^{2} - 3 x - 4 = 0\)
\((x + 1) (x - 4) = 0\)
\(x = -1 ∨ x = 4\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-1) = 21\) en max. is \(f(4) = 146 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 12 x^{3} + 60 x^{2} + 44 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = -12 x^{3} - 36 x^{2} + 120 x\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(-12 x^{3} - 36 x^{2} + 120 x = 0\)
\(x^{3} + 3 x^{2} - 10 x = 0\)
\(x (x + 5) (x - 2) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = 2\)
1p
○
Schets:
1p
○
max. is \(f(-5) = 1\,169 \text{,}\) min. is \(f(0) = 44\) en max. is \(f(2) = 140 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{x + 5} - \frac{1}{2} x \text{.}\)
6p
a
Bereken exact de top van \(f \text{.}\)
2p
b
Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)
a
\(f(x) = \sqrt{x + 5} - \frac{1}{2} x = (x + 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (x + 5)^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} = {1 \over 2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\({1 \over 2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2} = 0\)
\({1 \over 2 \sqrt{x + 5}} = \frac{1}{2}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{x + 5} = 2\)
\(\sqrt{x + 5} = 1\)
1p
○
Kwadrateren geeft
\(x + 5 = 1\)
\(x = -4\)
1p
○
Schets:
1p
○
max. is \(f(-4) = 3 \text{.}\)
1p
b
\(x + 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -5 \text{,}\) dus \(D_{f} = [-5 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
○
max. is \(f(-4) = 3 \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 3] \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 10 x + 1 \over 8 x} \text{.}\)
5p
Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 10 x + 1 \over 8 x} = {4 x^{2} \over 8 x} + {10 x \over 8 x} + {1 \over 8 x} = \frac{1}{2} x + \frac{5}{4} + \frac{1}{8} x^{-1}\)
De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{1}{2} - {1 \over 8 x^{2}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {1 \over 8 x^{2}} = 0\)
\(\frac{1}{2} = {1 \over 8 x^{2}}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(8 x^{2} = 2\)
\(x^{2} = \frac{1}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}\) en max. is \(f(\frac{1}{2}) = 1\frac{3}{4} \text{.}\)
1p