Extreme waarden bepalen

\(f'(x)=-5x^4+14x^2+3\)

\(f'(\sqrt{3})=-5(\sqrt{3})^4+14(\sqrt{3})^2+3=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

\(f'(x)=6x^2+6x-120\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(6x^2+6x-120=0\)
\(x^2+x-20=0\)
\((x+5)(x-4)=0\)
\(x=-5∨x=4\)

Schets:

max. is \(f(-5)=400\) en min. is \(f(4)=-329\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3-84x^2-144x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-84x^2-144x=0\)
\(x^3+7x^2+12x=0\)
\(x(x+4)(x+3)=0\)
\(x=0∨x=-4∨x=-3\)

Schets:

max. is \(f(-4)=-169\text{,}\) min. is \(f(-3)=-176\) en max. is \(f(0)=-41\text{.}\)

\(f(x)=\sqrt{4x-3}-\frac{1}{3}x=(4x-3)^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}x\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}⋅(4x-3)^{-\frac{1}{2}}⋅4-\frac{1}{3}={2 \over \sqrt{4x-3}}-\frac{1}{3}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\({2 \over \sqrt{4x-3}}-\frac{1}{3}=0\)
\({2 \over \sqrt{4x-3}}=\frac{1}{3}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4x-3}=6\)

Kwadrateren geeft
\(4x-3=36\)
\(x=9\frac{3}{4}\)

Schets:

max. is \(f(9\frac{3}{4})=2\frac{3}{4}\text{.}\)

\(4x-3≥0\) geeft \(x≥\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{3}{4}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

max. is \(f(9\frac{3}{4})=2\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(B_f=⟨\leftarrow , 2\frac{3}{4}]\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+8x+25 \over 7x}={4x^2 \over 7x}+{8x \over 7x}+{25 \over 7x}=\frac{4}{7}x+\frac{8}{7}+\frac{25}{7}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{4}{7}+\frac{25}{7}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{4}{7}-{25 \over 7x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{4}{7}-{25 \over 7x^2}=0\)
\(\frac{4}{7}={25 \over 7x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(28x^2=175\)
\(x^2=\frac{25}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{25}{4}}=2\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{25}{4}}=-2\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-2\frac{1}{2})=-1\frac{5}{7}\) en max. is \(f(2\frac{1}{2})=4\text{.}\)