Extreme waarden bepalen
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{5} x^{5} - 1\frac{1}{3} x^{3} + 4 x \text{.}\)
4p
Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)
○
\(f'(x) = x^{4} - 4 x^{2} + 4\)
1p
○
\(f'(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{4} - 4 (\sqrt{2})^{2} + 4 = 0\)
1p
○
Schets:
1p
○
\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 72 x - 39 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = 6 x^{2} - 6 x - 72\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(6 x^{2} - 6 x - 72 = 0\)
\(x^{2} - x - 12 = 0\)
\((x + 3) (x - 4) = 0\)
\(x = -3 ∨ x = 4\)
1p
○
Schets:
1p
○
max. is \(f(-3) = 96\) en min. is \(f(4) = -247 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} + 28 x^{3} + 60 x^{2} - 24 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = 12 x^{3} + 84 x^{2} + 120 x\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} + 84 x^{2} + 120 x = 0\)
\(x^{3} + 7 x^{2} + 10 x = 0\)
\(x (x + 5) (x + 2) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = -2\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-5) = -149 \text{,}\) max. is \(f(-2) = 40\) en min. is \(f(0) = -24 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{4} x - \sqrt{x + 2} \text{.}\)
6p
a
Bereken exact de top van \(f \text{.}\)
2p
b
Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)
a
\(f(x) = \frac{1}{4} x - \sqrt{x + 2} = \frac{1}{4} x - (x + 2)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ⋅ (x + 2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} - {1 \over 2 \sqrt{x + 2}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{4} - {1 \over 2 \sqrt{x + 2}} = 0\)
\(-{1 \over 2 \sqrt{x + 2}} = -\frac{1}{4}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{x + 2} = 4\)
\(\sqrt{x + 2} = 2\)
1p
○
Kwadrateren geeft
\(x + 2 = 4\)
\(x = 2\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(2) = -1\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
b
\(x + 2 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -2 \text{,}\) dus \(D_{f} = [-2 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
○
min. is \(f(2) = -1\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-1\frac{1}{2} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 9 \over 2 x} \text{.}\)
5p
Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 9 \over 2 x} = {4 x^{2} \over 2 x} + {3 x \over 2 x} + {9 \over 2 x} = 2 x + \frac{3}{2} + \frac{9}{2} x^{-1}\)
De afgeleide is dan
\(f'(x) = 2 + \frac{9}{2} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = 2 - {9 \over 2 x^{2}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(2 - {9 \over 2 x^{2}} = 0\)
\(\frac{2}{1} = {9 \over 2 x^{2}}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(4 x^{2} = 9\)
\(x^{2} = \frac{9}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -1\frac{1}{2}\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-1\frac{1}{2}) = -4\frac{1}{2}\) en max. is \(f(1\frac{1}{2}) = 7\frac{1}{2} \text{.}\)
1p