Exponentiële en logaritmische vergelijkingen
Los exact op.
2p
\(2^{x + 1} = 4\)
○
\(2^{x + 1} = 4 = 2^{2} \text{.}\)
1p
○
\(g^{A} = g^{B}\) geeft \(A = B \text{,}\) dus \(x + 1 = 2\)
Balansmethode geeft \(x = 1 \text{.}\)
1p
Los exact op.
3p
\(4^{3 x - 2} = 4 \sqrt[3]{4}\)
○
\(4^{3 x - 2} = 4 \sqrt[3]{4} = 4^{1} ⋅ 4^{\frac{1}{3}} = 4^{1\frac{1}{3}} \text{.}\)
1p
○
\(g^{A} = g^{B}\) geeft \(A = B \text{,}\) dus \(3 x - 2 = 1\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(x = 1\frac{1}{9} \text{.}\)
1p
Los exact op.
4p
\(3 ⋅ 2^{2 x + 1} - 4 = 44\)
○
Balansmethode geeft \(3 ⋅ 2^{2 x + 1} = 48\) dus \(2^{2 x + 1} = 16 \text{.}\)
1p
○
\(16 = 2^{4} \text{,}\) dus \(2^{2 x + 1} = 2^{4} \text{.}\)
1p
○
\(g^{A} = g^{B}\) geeft \(A = B \text{,}\) dus \(2 x + 1 = 4 \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(x = 1\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
Los exact op.
4p
\(5 ⋅ 5^{x} = 25^{x + 4}\)
○
Grondtal gelijk maken geeft \(5^{1} ⋅ 5^{x} = (5^{2})^{x + 4} \text{.}\)
1p
○
Herleiden geeft \(5^{x + 1} = 5^{2 x + 8} \text{.}\)
1p
○
\(g^{A} = g^{B}\) geeft \(A = B \text{,}\) dus \(x + 1 = 2 x + 8 \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(x = -7 \text{.}\)
1p
Los exact op.
2p
\(5^{x + 2} = 108\)
○
\(x + 2 = {}^{5}\!\log(108) \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(x = {}^{5}\!\log(108) - 2 \text{.}\)
1p
Los exact op.
4p
\(2 ⋅ 3^{3 x + 1} + 3 = 25\)
○
Balansmethode geeft \(2 ⋅ 3^{3 x + 1} = 22\) dus \(3^{3 x + 1} = 11 \text{.}\)
1p
○
\(3 x + 1 = {}^{3}\!\log(11) \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(3 x = {}^{3}\!\log(11) - 1\)
1p
○
en dus \(x = {1 \over 3} ⋅ {}^{3}\!\log(11) - \frac{1}{3} \text{.}\)
1p
Los exact op.
2p
\({}^{5}\!\log(-3 x - 5) = 0\)
○
Uit de definitie van logaritme volgt \(-3 x - 5 = 5^{0} = 1 \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(-3 x = 6\) dus \(x = -2 \text{.}\)
1p
Los exact op.
3p
\(1 + 5 ⋅ {}^{5}\!\log(-5 x - 5) = 11\)
○
Balansmethode geeft \({}^{5}\!\log(-5 x - 5) = 2 \text{.}\)
1p
○
Uit de definitie van logaritme volgt \(-5 x - 5 = 5^{2} = 25 \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \(-5 x = 30\) dus \(x = -6 \text{.}\)
1p
Los exact op.
4p
\({}^{2}\!\log(3 x + 4) + {}^{2}\!\log(x) = 2\)
○
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{2}\!\log(3 x^{2} + 4 x) = 2 \text{.}\)
1p
○
Uit de definitie van logaritme volgt \(3 x^{2} + 4 x = 2^{2} = 4 \text{.}\)
1p
○
Kwadratische vergelijking oplossen geeft \(x = -2 ∨ x = \frac{2}{3} \text{.}\)
1p
○
\(x = -2\) voldoet niet.
1p
Los exact op.
4p
\({}^{2}\!\log(x + 3) = 3 - {}^{2}\!\log(x + 5)\)
○
Balansmethode geeft \({}^{2}\!\log(x + 3) + {}^{2}\!\log(x + 5) = 3 \text{.}\)
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{2}\!\log((x + 3) (x + 5)) = 3 \text{.}\)
1p
○
Uit de definitie van logaritme volgt \((x + 3) (x + 5) = 2^{3} = 8 \text{.}\)
1p
○
Haakjes uitwerken geeft \(x^{2} + 8 x + 15 = 8 \text{.}\)
Alle termen naar één kant geeft \(x^{2} + 8 x + 7 = 0 \text{.}\)
Som-productmethode geeft\((x + 7) (x + 1) = 0 \text{.}\)
Dus \(x = -7 ∨ x = -1 \text{.}\)
1p
○
\(x = -7\) voldoet niet.
1p
Los exact op.
4p
\({}^{2}\!\log(-x + 5) - {}^{2}\!\log(x + 1) = 1\)
○
Getal als logaritme schrijven geeft \(1 = {}^{2}\!\log(2^{1}) = {}^{2}\!\log(2) \text{.}\)
1p
○
Balansmethode geeft \({}^{2}\!\log(-x + 5) = {}^{2}\!\log(2) + {}^{2}\!\log(x + 1) \text{.}\)
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{2}\!\log(-x + 5) = {}^{2}\!\log(2 (x + 1)) \text{.}\)
1p
○
\({}^{g}\!\log(A) = {}^{g}\!\log(B)\) geeft \(A = B \text{,}\) dus \(-x + 5 = 2 (x + 1) \text{.}\)
1p
○
Haakjes uitwerken geeft \(-x + 5 = 2 x + 2 \text{.}\)
Balansmethode geeft \(-3 x = -3 \text{,}\) dus \(x = 1\) (en deze voldoet).
1p