De vergelijking van een cirkel

\(x = 2\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(2^{2} + y^{2} - 2 ⋅ 2 - 4 y - 5 = 0 \text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} - 4 y - 5 = 0\)
\((y + 1) (y - 5) = 0\)
\(y = -1 ∨ y = 5\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (2 , 5)\) en \(B (2 , -1) \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 x - 12 y + 15 = 0\)
\((x - 2)^{2} - 4 + (y - 6)^{2} - 36 + 15 = 0\)
\((x - 2)^{2} + (y - 6)^{2} = 25 \text{.}\)

Dus \(M (2 , 6)\) en \(r = \sqrt{25} = 5 \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 12 x - 9 y + 47 = 0\)
\((x - 6)^{2} - 36 + (y - 4\frac{1}{2})^{2} - 20\frac{1}{4} + 47 = 0\)
\((x - 6)^{2} + (y - 4\frac{1}{2})^{2} = 9\frac{1}{4} \text{.}\)

Dus \(M (6 , 4\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{9\frac{1}{4}} \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 8 y - 20 = 0\)
\(x^{2} + (y - 4)^{2} - 16 - 20 = 0\)
\(x^{2} + (y - 4)^{2} = 36 \text{.}\)

Dus \(M (0 , 4)\) en \(r = \sqrt{36} = 6 \text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-6 + 1) , {1 \over 2} (-4 + 5)) = M (-2\frac{1}{2} , \frac{1}{2}) \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-2\frac{1}{2} - -6)^{2} + (\frac{1}{2} - -4)^{2}} = \sqrt{32\frac{1}{2}} \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 2\frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = 32\frac{1}{2} \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(1 - -3)^{2} + (-2 - 3)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 41 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 9 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 4)^{2} + y^{2} = 4 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 36 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} + 2 y + 1 = 36\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 14 x + 2 y + 14 = 0 \text{.}\)

De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(3 \text{,}\) dus \(y_{M} = 3\) of \(y_{M} = -3 \text{.}\)

\(\begin{rcases}y = x + 5 \\ y_{M} = 3\end{rcases} \text{ geeft } x + 5 = 3 \text{ dus } x_{M} = -2\)

Middelpunt \(M_{1} (-2 , 3)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 9\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = x + 5 \\ y_{M} = -3\end{rcases} \text{ geeft } x + 5 = -3 \text{ dus } x_{M} = -8\)
Middelpunt \(M_{2} (-8 , -3)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 8)^{2} + (y + 3)^{2} = 9\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 3 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 9 \text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - 4 y = c \\ A (5 , -5)\end{rcases} c = -2 ⋅ 5 - 4 ⋅ -5 = 10\)
Dus \(n{:}\,-2 x - 4 y = 10 \text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}4 x - 2 y = -5 \\ -2 x - 4 y = 10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 2 y = -5 \\ -4 x - 8 y = 20\end{cases}\)
Optellen geeft \(-10 y = 15\) dus \(y = -1\frac{1}{2} \text{.}\)

\(\begin{rcases}4 x - 2 y = -5 \\ y = -1\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 2 ⋅ -1\frac{1}{2} = -5 \\ x = -2\end{matrix}\)
Dus \(S (-2 , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)

\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - -2)^{2} + (-5 - -1\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{61\frac{1}{4}} \text{.}\)

\(A (5 , -5)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{61\frac{1}{4}} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 5)^{2} = 61\frac{1}{4} \text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y = -3 x - 4 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x + 8 y - 4 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-3 x - 4)^{2} - 10 x + 8 (-3 x - 4) - 4 = 0 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 9 x^{2} + 24 x + 16 - 10 x - 24 x - 32 - 4 = 0\)
\(10 x^{2} - 10 x - 20 = 0 \text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^{2} - x - 2 = 0\)
\((x - 2) (x + 1) = 0\)
Dus \(x = 2 ∨ x = -1 \text{.}\)

Invullen van \(x = 2\) in \(y = -3 x - 4\) geeft \(y = -10 \text{,}\) dus snijpunt \((2 , -10) \text{.}\)
Invullen van \(x = -1\) geeft \(y = -1 \text{,}\) dus snijpunt \((-1 , -1) \text{.}\)