De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x+8y-29=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4x+8y-29=0\)
\((x+2)^2-4+(y+4)^2-16-29=0\)
\((x+2)^2+(y+4)^2=49\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(-2, -4)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+11x+6y+25=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+11x+6y+25=0\)
\((x+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+(y+3)^2-9+25=0\)
\((x+5\frac{1}{2})^2+(y+3)^2=14\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(-5\frac{1}{2}, -3)\) en \(r=\sqrt{14\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12x+20=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12x+20=0\)
\((x+6)^2-36+y^2+20=0\)
\((x+6)^2+y^2=16\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(-6, 0)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(A(6, 2)\) en \(B(-4, 5)\text{.}\)

3p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(6+-4), {1 \over 2}(2+5))=M(1, 3\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(1-6)^2+(3\frac{1}{2}-2)^2}=\sqrt{27\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x-1)^2+(y-3\frac{1}{2})^2=27\frac{1}{4}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(M(-4, 2)\) en \(A(1, 5)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-4-1)^2+(2-5)^2}=\sqrt{34}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=34\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(6, 4)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-6)^2+(y-4)^2=9\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(6, 0)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-6)^2+y^2=9\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(0, -3)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

○

\(c{:}\,x^2+(y+3)^2=36\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+y^2+6y+9=36\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+6y-27=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+4\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

4p

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

○

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(x_M=2\) of \(x_M=-2\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ x_M=2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅2+4=14\)

1p

○

Middelpunt \(M_1(2, 14)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-14)^2=4\)

1p

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ x_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅-2+4=-6\)
Middelpunt \(M_2(-2, -6)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+6)^2=4\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(4, -2)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x-4)^2+(y+2)^2=4\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+4y-12=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=0\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

2p

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

○

\(x=0\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(0^2+y^2+2⋅0+4y-12=0\text{.}\)

1p

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+4y-12=0\)
\((y+6)(y-2)=0\)
\(y=-6∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(0, 2)\) en \(B(0, -6)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,x-2y=2\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+8y+7=0\text{.}\)

4p

Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\)

○

Omschrijven van \(l\) geeft \(x=2y+2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x+8y+7=0\) geeft
\((2y+2)^2+y^2+2(2y+2)+8y+7=0\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(4y^2+8y+4+y^2+4y+4+8y+7=0\)
\(5y^2+20y+15=0\text{.}\)

1p

○

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^2+4y+3=0\)
\((y+3)(y+1)=0\)
Dus \(y=-3∨y=-1\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(y=-3\) in \(x=2y+2\) geeft \(x=-4\text{,}\) dus snijpunt \((-4, -3)\text{.}\)
Invullen van \(y=-1\) geeft \(x=0\text{,}\) dus snijpunt \((0, -1)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by