De vergelijking van een cirkel

\(x = 9\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(9^{2} + y^{2} - 10 ⋅ 9 - 2 y + 6 = 0 \text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} - 2 y - 3 = 0\)
\((y + 1) (y - 3) = 0\)
\(y = -1 ∨ y = 3\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (9 , 3)\) en \(B (9 , -1) \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 28 = 0\)
\((x - 2)^{2} - 4 + (y - 7)^{2} - 49 + 28 = 0\)
\((x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} = 25 \text{.}\)

Dus \(M (2 , 7)\) en \(r = \sqrt{25} = 5 \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 9 x - 6 y + 20 = 0\)
\((x + 4\frac{1}{2})^{2} - 20\frac{1}{4} + (y - 3)^{2} - 9 + 20 = 0\)
\((x + 4\frac{1}{2})^{2} + (y - 3)^{2} = 9\frac{1}{4} \text{.}\)

Dus \(M (-4\frac{1}{2} , 3)\) en \(r = \sqrt{9\frac{1}{4}} \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 12 y + 27 = 0\)
\(x^{2} + (y + 6)^{2} - 36 + 27 = 0\)
\(x^{2} + (y + 6)^{2} = 9 \text{.}\)

Dus \(M (0 , -6)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-3 + 7) , {1 \over 2} (-1 + -4)) = M (2 , -2\frac{1}{2}) \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(2 - -3)^{2} + (-2\frac{1}{2} - -1)^{2}} = \sqrt{27\frac{1}{4}} \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y + 2\frac{1}{2})^{2} = 27\frac{1}{4} \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-2 - 3)^{2} + (-4 - -8)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 41 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 6)^{2} = 25 \text{.}\)

\(c{:}\,x^{2} + (y - 4)^{2} = 49 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 9 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 2 x + 1 + y^{2} - 10 y + 25 = 9\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 17 = 0 \text{.}\)

De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(2 \text{,}\) dus \(y_{M} = 2\) of \(y_{M} = -2 \text{.}\)

\(\begin{rcases}y = 4 x + 3 \\ y_{M} = 2\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 3 = 2 \text{ dus } x_{M} = -\frac{1}{4}\)

Middelpunt \(M_{1} (-\frac{1}{4} , 2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x + \frac{1}{4})^{2} + (y - 2)^{2} = 4\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 4 x + 3 \\ y_{M} = -2\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 3 = -2 \text{ dus } x_{M} = -1\frac{1}{4}\)
Middelpunt \(M_{2} (-1\frac{1}{4} , -2)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 1\frac{1}{4})^{2} + (y + 2)^{2} = 4\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 5 \text{.}\)

\(c{:}\,(x - 7)^{2} + (y + 5)^{2} = 25 \text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,4 x - 2 y = c \\ A (-5 , -3)\end{rcases} c = 4 ⋅ -5 - 2 ⋅ -3 = -14\)
Dus \(n{:}\,4 x - 2 y = -14 \text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x + 4 y = -2 \\ 4 x - 2 y = -14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 8 y = -4 \\ 4 x - 2 y = -14\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(10 y = 10\) dus \(y = 1 \text{.}\)

\(\begin{rcases}2 x + 4 y = -2 \\ y = 1\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 4 ⋅ 1 = -2 \\ x = -3\end{matrix}\)
Dus \(S (-3 , 1) \text{.}\)

\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-5 - -3)^{2} + (-3 - 1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)

\(A (-5 , -3)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{20} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 3)^{2} = 20 \text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(x = 2 y + 3 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x + 8 y + 1 = 0\) geeft
\((2 y + 3)^{2} + y^{2} - 10 (2 y + 3) + 8 y + 1 = 0 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(4 y^{2} + 12 y + 9 + y^{2} - 20 y - 30 + 8 y + 1 = 0\)
\(5 y^{2} - 20 = 0 \text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^{2} - 4 = 0\)
\((y + 2) (y - 2) = 0\)
Dus \(y = -2 ∨ y = 2 \text{.}\)

Invullen van \(y = -2\) in \(x = 2 y + 3\) geeft \(x = -1 \text{,}\) dus snijpunt \((-1 , -2) \text{.}\)
Invullen van \(y = 2\) geeft \(x = 7 \text{,}\) dus snijpunt \((7 , 2) \text{.}\)