De vergelijking van een cirkel

\(x = -1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-1)^{2} + y^{2} + 6 ⋅ -1 - 11 = 0 \text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} - 16 = 0\)
\((y + 4) (y - 4) = 0\)
\(y = -4 ∨ y = 4\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (-1 , 4)\) en \(B (-1 , -4) \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 x + 12 y + 24 = 0\)
\((x - 2)^{2} - 4 + (y + 6)^{2} - 36 + 24 = 0\)
\((x - 2)^{2} + (y + 6)^{2} = 16 \text{.}\)

Dus \(M (2 , -6)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 12 x + 7 y + 39 = 0\)
\((x - 6)^{2} - 36 + (y + 3\frac{1}{2})^{2} - 12\frac{1}{4} + 39 = 0\)
\((x - 6)^{2} + (y + 3\frac{1}{2})^{2} = 9\frac{1}{4} \text{.}\)

Dus \(M (6 , -3\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{9\frac{1}{4}} \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 10 y + 16 = 0\)
\(x^{2} + (y - 5)^{2} - 25 + 16 = 0\)
\(x^{2} + (y - 5)^{2} = 9 \text{.}\)

Dus \(M (0 , 5)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-2 + -7) , {1 \over 2} (3 + 5)) = M (-4\frac{1}{2} , 4) \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-4\frac{1}{2} - -2)^{2} + (4 - 3)^{2}} = \sqrt{7\frac{1}{4}} \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 4\frac{1}{2})^{2} + (y - 4)^{2} = 7\frac{1}{4} \text{.}\)

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-1 - -4)^{2} + (2 - 4)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 13 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 7)^{2} + (y - 4)^{2} = 36 \text{.}\)

\(c{:}\,x^{2} + (y + 7)^{2} = 4 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 7)^{2} = 9 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 10 x + 25 + y^{2} + 14 y + 49 = 9\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x + 14 y + 65 = 0 \text{.}\)

De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(2 \text{,}\) dus \(x_{M} = 2\) of \(x_{M} = -2 \text{.}\)

\(\begin{rcases}y = x + 3 \\ x_{M} = 2\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 1 ⋅ 2 + 3 = 5\)

Middelpunt \(M_{1} (2 , 5)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 4\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = x + 3 \\ x_{M} = -2\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 1 ⋅ -2 + 3 = 1\)
Middelpunt \(M_{2} (-2 , 1)\) en straal \(r = 2 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 3 \text{.}\)

\(c{:}\,(x + 7)^{2} + (y - 3)^{2} = 9 \text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (5 , -4)\end{rcases} c = -2 ⋅ 5 - 1 ⋅ -4 = -6\)
Dus \(n{:}\,-2 x - y = -6 \text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x - 2 y = -2 \\ -2 x - y = -6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = -4 \\ -2 x - y = -6\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5 y = -10\) dus \(y = 2 \text{.}\)

\(\begin{rcases}x - 2 y = -2 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 2 = -2 \\ x = 2\end{matrix}\)
Dus \(S (2 , 2) \text{.}\)

\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (-4 - 2)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\)

\(A (5 , -4)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{45} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 45 \text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y = 3 x - 2 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 6 = 0\) geeft
\(x^{2} + (3 x - 2)^{2} + 2 x - 10 (3 x - 2) + 6 = 0 \text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 9 x^{2} - 12 x + 4 + 2 x - 30 x + 20 + 6 = 0\)
\(10 x^{2} - 40 x + 30 = 0 \text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^{2} - 4 x + 3 = 0\)
\((x - 3) (x - 1) = 0\)
Dus \(x = 3 ∨ x = 1 \text{.}\)

Invullen van \(x = 3\) in \(y = 3 x - 2\) geeft \(y = 7 \text{,}\) dus snijpunt \((3 , 7) \text{.}\)
Invullen van \(x = 1\) geeft \(y = 1 \text{,}\) dus snijpunt \((1 , 1) \text{.}\)