De vergelijking van een cirkel
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 16 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 4\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
2p
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B \text{.}\)
○
\(x = 4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(4^{2} + y^{2} - 4 ⋅ 4 - 16 = 0 \text{.}\)
1p
○
De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} - 16 = 0\)
\((y + 4) (y - 4) = 0\)
\(y = -4 ∨ y = 4\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (4 , 4)\) en \(B (4 , -4) \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 14 y + 34 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 2 x + 14 y + 34 = 0\)
\((x + 1)^{2} - 1 + (y + 7)^{2} - 49 + 34 = 0\)
\((x + 1)^{2} + (y + 7)^{2} = 16 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (-1 , -7)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 11 y + 28 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 8 x - 11 y + 28 = 0\)
\((x + 4)^{2} - 16 + (y - 5\frac{1}{2})^{2} - 30\frac{1}{4} + 28 = 0\)
\((x + 4)^{2} + (y - 5\frac{1}{2})^{2} = 18\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (-4 , 5\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{18\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 y - 32 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 4 y - 32 = 0\)
\(x^{2} + (y + 2)^{2} - 4 - 32 = 0\)
\(x^{2} + (y + 2)^{2} = 36 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (0 , -2)\) en \(r = \sqrt{36} = 6 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-6 , -4)\) en \(B (-2 , 7) \text{.}\)
3p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
○
Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-6 + -2) , {1 \over 2} (-4 + 7)) = M (-4 , 1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(-4 - -6)^{2} + (1\frac{1}{2} - -4)^{2}} = \sqrt{34\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y - 1\frac{1}{2})^{2} = 34\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(M (4 , 1)\) en \(A (0 , -1) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (1 - -1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 20 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-3 , 2) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 36 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (2 , 0) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x - 2)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (4 , 5) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 36 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} - 8 x + 16 + y^{2} - 10 y + 25 = 36\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 5 = 0 \text{.}\)
1p
Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 4 x + 1\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(x \text{-}\)as raken.
4p
Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.
○
De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(3 \text{,}\) dus \(y_{M} = 3\) of \(y_{M} = -3 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 4 x + 1 \\ y_{M} = 3\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 1 = 3 \text{ dus } x_{M} = \frac{1}{2}\)
1p
○
Middelpunt \(M_{1} (\frac{1}{2} , 3)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - \frac{1}{2})^{2} + (y - 3)^{2} = 9\)
1p
○
Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 4 x + 1 \\ y_{M} = -3\end{rcases} \text{ geeft } 4 x + 1 = -3 \text{ dus } x_{M} = -1\)
Middelpunt \(M_{2} (-1 , -3)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 9\)
1p
Gegeven is het punt \(M (2 , 4) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y \text{-}\)as.
○
Cirkel \(c\) raakt aan de \(y \text{-}\)as, dus \(r = d(M , y \text{-as}) = 2 \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (-2 , -4)\) en de lijn \(l{:}\,2 x + y = 2 \text{.}\)
5p
Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A (-2 , -4)\) die de lijn \(l{:}\,2 x + y = 2\) raakt.
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x - 2 y = c \\ A (-2 , -4)\end{rcases} c = 1 ⋅ -2 - 2 ⋅ -4 = 6\)
Dus \(n{:}\,x - 2 y = 6 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x + y = 2 \\ x - 2 y = 6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + y = 2 \\ 2 x - 4 y = 12\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = -10\) dus \(y = -2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + y = 2 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 1 ⋅ -2 = 2 \\ x = 2\end{matrix}\)
Dus \(S (2 , -2) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-2 - 2)^{2} + (-4 - -2)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
○
\(A (-2 , -4)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{20} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 20 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,x - 3 y = -4\) en de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 12 = 0 \text{.}\)
4p
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van \(l\) en \(c \text{.}\)
○
Omschrijven van \(l\) geeft \(x = 3 y - 4 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 12 = 0\) geeft
\((3 y - 4)^{2} + y^{2} - 8 (3 y - 4) - 2 y + 12 = 0 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(9 y^{2} - 24 y + 16 + y^{2} - 24 y + 32 - 2 y + 12 = 0\)
\(10 y^{2} - 50 y + 60 = 0 \text{.}\)
1p
○
Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^{2} - 5 y + 6 = 0\)
\((y - 2) (y - 3) = 0\)
Dus \(y = 2 ∨ y = 3 \text{.}\)
1p
○
Invullen van \(y = 2\) in \(x = 3 y - 4\) geeft \(x = 2 \text{,}\) dus snijpunt \((2 , 2) \text{.}\)
Invullen van \(y = 3\) geeft \(x = 5 \text{,}\) dus snijpunt \((5 , 3) \text{.}\)
1p