De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+14x+6y+33=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+14x+6y+33=0\)
\((x+7)^2-49+(y+3)^2-9+33=0\)
\((x+7)^2+(y+3)^2=25\text{.}\)

1p

Dus \(M(-7, -3)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+11x+10y+41=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+11x+10y+41=0\)
\((x+5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+(y+5)^2-25+41=0\)
\((x+5\frac{1}{2})^2+(y+5)^2=14\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

Dus \(M(-5\frac{1}{2}, -5)\) en \(r=\sqrt{14\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6y-27=0\text{.}\)

a

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+6y-27=0\)
\(x^2+(y+3)^2-9-27=0\)
\(x^2+(y+3)^2=36\text{.}\)

1p

Dus \(M(0, -3)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

3p

a

Gegeven zijn de punten \(A(-3, -5)\) en \(B(-7, -4)\text{.}\)
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(AB\text{.}\)

a

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(AB\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-3+-7), {1 \over 2}(-5+-4))=M(-5, -4\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-5--3)^2+(-4\frac{1}{2}--5)^2}=\sqrt{4\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+5)^2+(y+4\frac{1}{2})^2=4\frac{1}{4}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(4, 1)\) die door het punt \(A(8, -2)\) gaat.

a

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4-8)^2+(1--2)^2}=\sqrt{25}\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x-4)^2+(y-1)^2=25\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(5, 3)\) en straal \(4\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x-5)^2+(y-3)^2=16\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

1p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(4, 0)\) en straal \(6\text{.}\)

a

\(c{:}\,(x-4)^2+y^2=36\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(2, 0)\) en straal \(4\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

a

\((x-2)^2+y^2=16\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-4x+4+y^2=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-4x-12=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

4p

a

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+5\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.
Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

a

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(x_M=4\) of \(x_M=-4\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅4+5=9\)

1p

Middelpunt \(M_1(4, 9)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-4)^2+(y-9)^2=4\)

1p

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-4+5=1\)
Middelpunt \(M_2(-4, 1)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+4)^2+(y-1)^2=16\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(-7, -6)\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

a

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=6\text{.}\)

1p

\(c{:}\,(x+7)^2+(y+6)^2=36\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - basis
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

2p

a

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+4y-20=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=4\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

a

\(x=4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(4^2+y^2-2⋅4+4y-20=0\text{.}\)

1p

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+4y-12=0\)
\((y+6)(y-2)=0\)
\(y=-6∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(4, 2)\) en \(B(4, -6)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - basis - data pool: #56 (3ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

4p

a

Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van de lijn \(l{:}\,x-3y=-3\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+4y-15=0\text{.}\)

a

Omschrijven van \(l\) geeft \(x=3y-3\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-2x+4y-15=0\) geeft
\((3y-3)^2+y^2-2(3y-3)+4y-15=0\text{.}\)

1p

Haakjes wegwerken geeft
\(9y^2-18y+9+y^2-6y+6+4y-15=0\)
\(10y^2-20y=0\text{.}\)

1p

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^2-2y=0\)
\(y(y-2)=0\)
Dus \(y=0∨y=2\text{.}\)

1p

Invullen van \(y=0\) in \(x=3y-3\) geeft \(x=-3\text{,}\) dus snijpunt \((-3, 0)\text{.}\)
Invullen van \(y=2\) geeft \(x=3\text{,}\) dus snijpunt \((3, 2)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by