De vergelijking van een cirkel

\(x=5\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(5^2+y^2-6⋅5+4y-7=0\text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+4y-12=0\)
\((y+6)(y-2)=0\)
\(y=-6∨y=2\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(5, 2)\) en \(B(5, -6)\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10x-14y+70=0\)
\((x-5)^2-25+(y-7)^2-49+70=0\)
\((x-5)^2+(y-7)^2=4\text{.}\)

Dus \(M(5, 7)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-7x+10y+20=0\)
\((x-3\frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y+5)^2-25+20=0\)
\((x-3\frac{1}{2})^2+(y+5)^2=17\frac{1}{4}\text{.}\)

Dus \(M(3\frac{1}{2}, -5)\) en \(r=\sqrt{17\frac{1}{4}}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+14x+13=0\)
\((x+7)^2-49+y^2+13=0\)
\((x+7)^2+y^2=36\text{.}\)

Dus \(M(-7, 0)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-6+5), {1 \over 2}(1+-4))=M(-\frac{1}{2}, -1\frac{1}{2})\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-\frac{1}{2}--6)^2+(-1\frac{1}{2}-1)^2}=\sqrt{36\frac{1}{2}}\text{.}\)

\(c{:}\,(x+\frac{1}{2})^2+(y+1\frac{1}{2})^2=36\frac{1}{2}\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-3--7)^2+(-4--5)^2}=\sqrt{17}\text{.}\)

\(c{:}\,(x+3)^2+(y+4)^2=17\text{.}\)

\(c{:}\,(x+2)^2+(y+6)^2=49\text{.}\)

\(c{:}\,(x+7)^2+y^2=36\text{.}\)

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-6)^2=16\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+10x+25+y^2-12y+36=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+10x-12y+45=0\text{.}\)

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(y_M=2\) of \(y_M=-2\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+5 \\ y_M=2\end{rcases}\text{ geeft }x+5=2\text{ dus }x_M=-3\)

Middelpunt \(M_1(-3, 2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=4\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+5 \\ y_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }x+5=-2\text{ dus }x_M=-7\)
Middelpunt \(M_2(-7, -2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+7)^2+(y+2)^2=4\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=5\text{.}\)

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-6)^2=25\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-x-2y=c \\ A(-3, 5)\end{rcases}c=-1⋅-3-2⋅5=-7\)
Dus \(n{:}\,-x-2y=-7\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}2x-y=4 \\ -x-2y=-7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-y=4 \\ -2x-4y=-14\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5y=-10\) dus \(y=2\text{.}\)

\(\begin{rcases}2x-y=4 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}2x-1⋅2=4 \\ x=3\end{matrix}\)
Dus \(S(3, 2)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3-3)^2+(5-2)^2}=\sqrt{45}\text{.}\)

\(A(-3, 5)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{45}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+3)^2+(y-5)^2=45\text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(x=-2y-5\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+8x+6y+15=0\) geeft
\((-2y-5)^2+y^2+8(-2y-5)+6y+15=0\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(4y^2+20y+25+y^2-16y-40+6y+15=0\)
\(5y^2+10y=0\text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^2+2y=0\)
\(y(y+2)=0\)
Dus \(y=0∨y=-2\text{.}\)

Invullen van \(y=0\) in \(x=-2y-5\) geeft \(x=-5\text{,}\) dus snijpunt \((-5, 0)\text{.}\)
Invullen van \(y=-2\) geeft \(x=-1\text{,}\) dus snijpunt \((-1, -2)\text{.}\)