De vergelijking van een cirkel

2d - 12 oefeningen

Kwadraatafsplitsen (1)
00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-4y-3=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-6x-4y-3=0\)
\((x-3)^2-9+(y-2)^2-4-3=0\)
\((x-3)^2+(y-2)^2=16\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(3, 2)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (2)
00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12x-5y+33=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12x-5y+33=0\)
\((x+6)^2-36+(y-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+33=0\)
\((x+6)^2+(y-2\frac{1}{2})^2=9\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(-6, 2\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{9\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p
Kwadraatafsplitsen (3)
00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4y-45=0\text{.}\)

2p

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4y-45=0\)
\(x^2+(y+2)^2-4-45=0\)
\(x^2+(y+2)^2=49\text{.}\)

1p

○

Dus \(M(0, -2)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

1p
Middellijn
00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(A(-7, 3)\) en \(B(5, -4)\text{.}\)

3p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-7+5), {1 \over 2}(3+-4))=M(-1, -\frac{1}{2})\text{.}\)

1p

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--7)^2+(-\frac{1}{2}-3)^2}=\sqrt{48\frac{1}{4}}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+1)^2+(y+\frac{1}{2})^2=48\frac{1}{4}\text{.}\)

1p
MiddelpuntDoorPunt
00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven zijn de punten \(M(4, 1)\) en \(A(2, 6)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4-2)^2+(1-6)^2}=\sqrt{29}\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x-4)^2+(y-1)^2=29\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (1)
00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(3, -1)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-3)^2+(y+1)^2=4\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (2)
00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(0, 5)\text{.}\)

1p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

○

\(c{:}\,x^2+(y-5)^2=4\text{.}\)

1p
MiddelpuntEnStraal (3)
00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-1, -3)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+1)^2+(y+3)^2=25\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+2x+1+y^2+6y+9=25\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+2x+6y-15=0\text{.}\)

1p
MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs
00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+1\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

4p

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

○

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(y_M=4\) of \(y_M=-4\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=5x+1 \\ y_M=4\end{rcases}\text{ geeft }5x+1=4\text{ dus }x_M=\frac{3}{5}\)

1p

○

Middelpunt \(M_1(\frac{3}{5}, 4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-\frac{3}{5})^2+(y-4)^2=16\)

1p

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=5x+1 \\ y_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }5x+1=-4\text{ dus }x_M=-1\)
Middelpunt \(M_2(-1, -4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+1)^2+(y+4)^2=16\)

1p
MiddelpuntRaaktAanAs
00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B - 7.3 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is het punt \(M(-3, 4)\text{.}\)

2p

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\)

1p

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y-4)^2=9\text{.}\)

1p
PuntenMetGegevenCoordinaat
00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4 Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B - 7.3

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-16=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=0\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

2p

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

○

\(x=0\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(0^2+y^2+6⋅0-16=0\text{.}\)

1p

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-16=0\)
\((y+4)(y-4)=0\)
\(y=-4∨y=4\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(0, 4)\) en \(B(0, -4)\text{.}\)

1p
SnijpuntenLijnEnCirkel
00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms)
 Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B - 7.4

Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,4x-y=2\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-6y-16=0\text{.}\)

4p

Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\)

○

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=4x-2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+6x-6y-16=0\) geeft
\(x^2+(4x-2)^2+6x-6(4x-2)-16=0\text{.}\)

1p

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+16x^2-16x+4+6x-24x+12-16=0\)
\(17x^2-34x=0\text{.}\)

1p

○

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2-2x=0\)
\((x-2)x=0\)
Dus \(x=2∨x=0\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(x=2\) in \(y=4x-2\) geeft \(y=6\text{,}\) dus snijpunt \((2, 6)\text{.}\)
Invullen van \(x=0\) geeft \(y=-2\text{,}\) dus snijpunt \((0, -2)\text{.}\)

1p
00ba 00bb 00bc 00b7 00b6 00b5 00b9 00bx 00es 00b8 00br 00by