De vergelijking van een cirkel

\(x=4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(4^2+y^2+0⋅4+10y+5=0\text{.}\)

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+10y+21=0\)
\((y+7)(y+3)=0\)
\(y=-7∨y=-3\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(4, -3)\) en \(B(4, -7)\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10x+6y-15=0\)
\((x-5)^2-25+(y+3)^2-9-15=0\)
\((x-5)^2+(y+3)^2=49\text{.}\)

Dus \(M(5, -3)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-9x-4y+17=0\)
\((x-4\frac{1}{2})^2-20\frac{1}{4}+(y-2)^2-4+17=0\)
\((x-4\frac{1}{2})^2+(y-2)^2=7\frac{1}{4}\text{.}\)

Dus \(M(4\frac{1}{2}, 2)\) en \(r=\sqrt{7\frac{1}{4}}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12y+11=0\)
\(x^2+(y+6)^2-36+11=0\)
\(x^2+(y+6)^2=25\text{.}\)

Dus \(M(0, -6)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(5+4), {1 \over 2}(-7+-3))=M(4\frac{1}{2}, -5)\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4\frac{1}{2}-5)^2+(-5--7)^2}=\sqrt{4\frac{1}{4}}\text{.}\)

\(c{:}\,(x-4\frac{1}{2})^2+(y+5)^2=4\frac{1}{4}\text{.}\)

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-4-0)^2+(3-2)^2}=\sqrt{17}\text{.}\)

\(c{:}\,(x+4)^2+(y-3)^2=17\text{.}\)

\(c{:}\,(x+4)^2+(y+5)^2=4\text{.}\)

\(c{:}\,(x+3)^2+y^2=36\text{.}\)

\(c{:}\,(x+5)^2+(y+6)^2=9\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+10x+25+y^2+12y+36=9\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+10x+12y+52=0\text{.}\)

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(x_M=4\) of \(x_M=-4\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅4+2=6\)

Middelpunt \(M_1(4, 6)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-4)^2+(y-6)^2=16\)

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-4+2=-2\)
Middelpunt \(M_2(-4, -2)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+4)^2+(y+2)^2=16\)

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=5\text{.}\)

\(c{:}\,(x+2)^2+(y-5)^2=25\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-3x-4y=c \\ A(-2, 4)\end{rcases}c=-3⋅-2-4⋅4=-10\)
Dus \(n{:}\,-3x-4y=-10\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}4x-3y=5 \\ -3x-4y=-10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12x-9y=15 \\ -12x-16y=-40\end{cases}\)
Optellen geeft \(-25y=-25\) dus \(y=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}4x-3y=5 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}4x-3⋅1=5 \\ x=2\end{matrix}\)
Dus \(S(2, 1)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-2-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25}=5\text{.}\)

\(A(-2, 4)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{25}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+2)^2+(y-4)^2=25\text{.}\)

Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-3x+3\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x-8y+15=0\) geeft
\(x^2+(-3x+3)^2+4x-8(-3x+3)+15=0\text{.}\)

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+9x^2-18x+9+4x+24x-24+15=0\)
\(10x^2+10x=0\text{.}\)

Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^2+x=0\)
\((x+1)x=0\)
Dus \(x=-1∨x=0\text{.}\)

Invullen van \(x=-1\) in \(y=-3x+3\) geeft \(y=6\text{,}\) dus snijpunt \((-1, 6)\text{.}\)
Invullen van \(x=0\) geeft \(y=3\text{,}\) dus snijpunt \((0, 3)\text{.}\)