Betrouwbaarheidsintervallen
In een steekproef blijken \(77\) van de \(205\) deelnemers verkouden.
5p
Bereken het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van de populatieproportie.
○
De steekproefproportie is \(\hat{p} = {77 \over 205} = 0{,}375...\)
1p
○
\(\sigma = \sqrt{{\hat{p} (1 - \hat{p}) \over n}} = \sqrt{{0{,}375... ⋅ 0{,}624... \over 205}} = 0{,}033...\)
1p
○
\(\hat{p} - 2 \sigma = 0{,}375... - 2 ⋅ 0{,}033... ≈ 0{,}308 \text{.}\)
1p
○
\(\hat{p} + 2 \sigma = 0{,}375... + 2 ⋅ 0{,}033... ≈ 0{,}443 \text{.}\)
1p
○
Het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([0{,}308 ; 0{,}443] \text{.}\)
1p
In een steekproef geeft \(16\%\) van de \(103\) deelnemers aan dat ze een huisdier hebben.
5p
Bereken het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het percentage van de gehele populatie.
○
De steekproefproportie is \(\hat{p} = 16\% = 0{,}16 \text{.}\)
1p
○
\(\sigma = \sqrt{{\hat{p} (1 - \hat{p}) \over n}} = \sqrt{{0{,}16 ⋅ 0{,}84 \over 103}} = 0{,}0361...\)
1p
○
\(\hat{p} - 2 \sigma = 0{,}16 - 2 ⋅ 0{,}0361... ≈ 0{,}088 \text{.}\)
1p
○
\(\hat{p} + 2 \sigma = 0{,}16 + 2 ⋅ 0{,}0361... ≈ 0{,}232 \text{.}\)
1p
○
Het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([8{,}8\% ; 23{,}2\%] \text{.}\)
1p
In een steekproef onder \(179\) deelnemers blijkt het gemiddelde gelijk te zijn aan \(\bar{X} = 14{,}4 \text{.}\) De bijbehorende standaardafwijking is \(S = 4{,}6 \text{.}\)
3p
Bereken het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde in 1 decimaal nauwkeurig.
○
\(\bar{X} - 2 ⋅ {S \over \sqrt{n}} = 14{,}4 - 2 ⋅ {4{,}6 \over \sqrt{179}} ≈ 13{,}7 \text{.}\)
1p
○
\(\bar{X} + 2 ⋅ {S \over \sqrt{n}} = 14{,}4 + 2 ⋅ {4{,}6 \over \sqrt{179}} ≈ 15{,}1 \text{.}\)
1p
○
Het \(95\% \text{-}\)betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is \([13{,}7 ; 15{,}1] \text{.}\)
1p
Het populatiegemiddelde ligt met \(95\%\) zekerheid in \([3{,}58 ; 3{,}74] \text{.}\)
4p
Bereken de steekproefomvang als gegeven is dat \(S = 0{,}49 \text{.}\)
○
\(S = 0{,}49\) en \(\text{breedte} = 3{,}74 - 3{,}58 = 0{,}16 \text{.}\)
1p
○
Los op \(4 ⋅ {0{,}49 \over \sqrt{n}} = 0{,}16 \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = 4 ⋅ {0{,}49 \over \sqrt{x}}\)
\(y_{2} = 0{,}16\)
Optie 'intersect' geeft \(x = 150{,}062...\)
1p
○
De steekproefomvang is dus \(150 \text{.}\)
1p
De populatieproportie ligt met \(95\%\) zekerheid in \([0{,}328 ; 0{,}492] \text{.}\)
4p
Bereken de steekproefomvang.
○
\(\hat{p} = {0{,}328 + 0{,}492 \over 2} = 0{,}41\) en \(\text{breedte} = 0{,}492 - 0{,}328 = 0{,}164 \text{.}\)
1p
○
Los op \(4 ⋅ \sqrt{{0{,}41 ⋅ 0{,}59 \over n}} = 0{,}164 \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = 4 ⋅ \sqrt{{0{,}41 ⋅ 0{,}59 \over x}}\)
\(y_{2} = 0{,}164\)
Optie 'intersect' geeft \(x = 143{,}902...\)
1p
○
De steekproefomvang is dus \(144 \text{.}\)
1p