Afstand tussen punten, lijnen en cirkels

\(M(2, -2)\) en \(r=\sqrt{5}\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,3x+y=c \\ M(2, -2)\end{rcases}c=3⋅2+1⋅-2=4\)
Dus \(n{:}\,3x+y=4\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}-x+3y=2 \\ 3x+y=4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x+9y=6 \\ 3x+y=4\end{cases}\)
Optellen geeft \(10y=10\) dus \(y=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}-x+3y=2 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x+3⋅1=2 \\ x=1\end{matrix}\)
Dus \(S(1, 1)\text{.}\)

\(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(2-1)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{10}\text{.}\)

\(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{10}-\sqrt{5}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+(y-1)^2=9\)
Dus \(M(5, 1)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\)

\(d(M, A)=\sqrt{(5-4)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}\text{.}\)

Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{9}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus
\(d(c, A)=r-d(M, A)=3-\sqrt{2}\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x-2y=c \\ A(-3, -5)\end{rcases}c=1⋅-3-2⋅-5=7\)
Dus \(n{:}\,x-2y=7\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}2x+y=-1 \\ x-2y=7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x+y=-1 \\ 2x-4y=14\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5y=-15\) dus \(y=-3\text{.}\)

\(\begin{rcases}2x+y=-1 \\ y=-3\end{rcases}\begin{matrix}2x+1⋅-3=-1 \\ x=1\end{matrix}\)
Dus \(S(1, -3)\text{.}\)

\(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3-1)^2+(-5--3)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+9)^2+(y-4)^2=12\)
Dus \(M_1(-9, 4)\) en \(r_1=\sqrt{12}\text{.}\)

Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-2, -2)\text{,}\) dus
\(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-9--2)^2+(4--2)^2}=\sqrt{85}\text{.}\)

Er geldt \(r_2=\sqrt{8}\text{,}\) dus
\(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{85}-\sqrt{12}-\sqrt{8}\text{.}\)

\(d(A, B)=\sqrt{(-3--1)^2+(1--2)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\text{.}\)

\(M(4, 2)\) en \(r=\sqrt{24}\text{.}\)

\(d(M, A)=\sqrt{(8-4)^2+(0-2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

\(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\)

De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-4x-2y=c \\ M(-5, 2)\end{rcases}c=-4⋅-5-2⋅2=16\)
Dus \(n{:}\,-4x-2y=16\text{.}\)

\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\)
\(\begin{cases}2x-4y=-3 \\ -4x-2y=16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-8y=-6 \\ -4x-2y=16\end{cases}\)
Optellen geeft \(-10y=10\) dus \(y=-1\text{.}\)

\(\begin{rcases}2x-4y=-3 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}2x-4⋅-1=-3 \\ x=-3\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(S(-3\frac{1}{2}, -1)\text{.}\)

\(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-5--3\frac{1}{2})^2+(2--1)^2}=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{.}\)

\(M(-5, 2)\) en \(r=d(M, l)=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{,}\) dus
\(c{:}\,(x+5)^2+(y-2)^2=11\frac{1}{4}\text{.}\)