Afstand tussen punten, lijnen en cirkels
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 4)^{2} = 26\) en de lijn \(l{:}\,x + 2 y = 2 \text{.}\)
6p
Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\)
○
\(M (-5 , -4)\) en \(r = \sqrt{26} \text{.}\)
1p
○
De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,2 x - y = c \\ M (-5 , -4)\end{rcases} c = 2 ⋅ -5 - 1 ⋅ -4 = -6\)
Dus \(n{:}\,2 x - y = -6 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x + 2 y = 2 \\ 2 x - y = -6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + 4 y = 4 \\ 2 x - y = -6\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = 10\) dus \(y = 2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x + 2 y = 2 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}x + 2 ⋅ 2 = 2 \\ x = -2\end{matrix}\)
Dus \(S (-2 , 2) \text{.}\)
1p
○
\(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-5 - -2)^{2} + (-4 - 2)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\)
1p
○
\(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{45} - \sqrt{26} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 10 y + 21 = 0\) en het punt \(A (1 , -7) \text{.}\)
3p
Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 13\)
Dus \(M (3 , -5)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (-5 - -7)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \(\sqrt{8} < \sqrt{13} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus
\(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{13} - \sqrt{8} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (2 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,x + 4 y = -1 \text{.}\)
4p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\)
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,4 x - y = c \\ A (2 , -5)\end{rcases} c = 4 ⋅ 2 - 1 ⋅ -5 = 13\)
Dus \(n{:}\,4 x - y = 13 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x + 4 y = -1 \\ 4 x - y = 13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 16 y = -4 \\ 4 x - y = 13\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(17 y = -17\) dus \(y = -1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x + 4 y = -1 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x + 4 ⋅ -1 = -1 \\ x = 3\end{matrix}\)
Dus \(S (3 , -1) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(2 - 3)^{2} + (-5 - -1)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\)
1p
Hieronder zijn de cirkel \(c \text{: } (x - 2)^{2} + (y + 10)^{2} = 12 \text{,}\) de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -5\) en het punt \(A (-1 , -3)\) getekend.
8p
Bepaal op algebraïsche wijze of \(A\) dichter bij \(c\) of dichter bij \(l\) ligt.
○
\(M (2 , -10)\) en \(r = \sqrt{12} \text{.}\)
1p
○
\(d(A , M) = \sqrt{(-1 - 2)^{2} + (-3 - -10)^{2}} = \sqrt{58}\)
1p
○
\(d(A , c) = d(A , M) - r = \sqrt{58} - \sqrt{12} = 4{,}151...\)
1p
○
(lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{)}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (-1 , -3)\end{rcases} c = -2 ⋅ -1 - 1 ⋅ -3 = 5\)
1p
○
(\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{)}\)
\(\begin{cases}x - 2 y = -5 \\ -2 x - y = 5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = -10 \\ -2 x - y = 5\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5 y = -5\) dus \(y = 1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x - 2 y = -5 \\ y = 1\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 1 = -5 \\ x = -3\end{matrix}\)
Dus \(S (-3 , 1) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-1 - -3)^{2} + (-3 - 1)^{2}} = \sqrt{20} = 4{,}472...\)
1p
○
\(d(A , c) < d(A , l) \text{,}\) dus \(A\) ligt dichter bij \(c\) dan bij \(l \text{.}\)
1p
Hieronder zijn de cirkel \(c \text{: } x^{2} + y^{2} + 24 x + 6 y + 97 = 0 \text{,}\) de lijn \(l{:}\,9 x + 3 y = -4\) en het punt \(A (-3 , 1)\) getekend.
9p
Bepaal op algebraïsche wijze of \(A\) dichter bij \(c\) of dichter bij \(l\) ligt.
○
\(x^{2} + y^{2} + 24 x + 6 y + 97 = 0\)
\((x + 12)^{2} - 144 + (y + 3)^{2} - 9 + 97 = 0\)
\((x + 12)^{2} + (y + 3)^{2} = 56\)
1p
○
\(M (-12 , -3)\) en \(r = \sqrt{56} \text{.}\)
1p
○
\(d(A , M) = \sqrt{(-3 - -12)^{2} + (1 - -3)^{2}} = \sqrt{97}\)
1p
○
\(d(A , c) = d(A , M) - r = \sqrt{97} - \sqrt{56} = 2{,}365...\)
1p
○
(lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{)}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,3 x - 9 y = c \\ A (-3 , 1)\end{rcases} c = 3 ⋅ -3 - 9 ⋅ 1 = -18\)
1p
○
(\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{)}\)
\(\begin{cases}9 x + 3 y = -4 \\ 3 x - 9 y = -18\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}9 x + 3 y = -4 \\ 9 x - 27 y = -54\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(30 y = 50\) dus \(y = 1\frac{2}{3} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}9 x + 3 y = -4 \\ y = 1\frac{2}{3}\end{rcases} \begin{matrix}9 x + 3 ⋅ 1\frac{2}{3} = -4 \\ x = -1\end{matrix}\)
Dus \(S (-1 , 1\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-3 - -1)^{2} + (1 - 1\frac{2}{3})^{2}} = \sqrt{4\frac{4}{9}} = 2{,}108...\)
1p
○
\(d(A , c) > d(A , l) \text{,}\) dus \(A\) ligt dichter bij \(l\) dan bij \(c \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 y + 15 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 11 \text{.}\)
3p
Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 5\)
Dus \(M_{1} (-4 , -2)\) en \(r_{1} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (4 , 5) \text{,}\) dus
\(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-4 - 4)^{2} + (-2 - 5)^{2}} = \sqrt{113} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \(r_{2} = \sqrt{11} \text{,}\) dus
\(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{113} - \sqrt{5} - \sqrt{11} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-1 , 2)\) en \(B (-6 , 0) \text{.}\)
1p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(d(A , B) = \sqrt{(-1 - -6)^{2} + (2 - 0)^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 18\) en het punt \(A (3 , 0) \text{.}\)
3p
Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt.
○
\(M (1 , 4)\) en \(r = \sqrt{18} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (0 - 4)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\)
1p