Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(3\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal} = \binom{6}{3} = 20\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(4\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal} = \binom{2 + 4}{2} = 15\) 1p 1p c Beertje Pol eet \(5\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal} = 2^{5} = 32\) 1p 2p d Sara maakt een letterrijtje van \(4\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met hoogstens \(2\) B's? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1\) of \(2 \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 11\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(7\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal} = \binom{10}{7} = 120\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{7}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{7}{2} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{7}{3} ⋅ \binom{7}{2} = 735\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{5} ⋅ \binom{13}{7} \text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{21}{12} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{21}{12} - \binom{8}{5} ⋅ \binom{13}{7} = 197\,834\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(3\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal} = \binom{6}{3} = 20\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(4\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = \binom{2 + 4}{2} = 15\)

Beertje Pol eet \(5\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = 2^{5} = 32\)

Sara maakt een letterrijtje van \(4\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met hoogstens \(2\) B's?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1\) of \(2 \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 11\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(7\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal} = \binom{10}{7} = 120\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{7}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{7}{2} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{7}{3} ⋅ \binom{7}{2} = 735\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{5} ⋅ \binom{13}{7} \text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{21}{12} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{21}{12} - \binom{8}{5} ⋅ \binom{13}{7} = 197\,834\)