Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(5\) borden waarvan \(4\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{5}{4}=5\) 1p 1p b Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(2\) rode en \(2\) blauwe vlaggetjes? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{2+2}{2}=6\) 1p 1p c Willem gooit \(10\) keer met een muntstuk. Hoeveel verschillende rijtjes van kop en munt kan hij gooien? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^{10}=1\,024\) 1p 2p d Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(6\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B hoogstens \(2\) keer scoorde? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}=22\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(5\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{4}⋅\binom{8}{6}=3\,528\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{11}{5}⋅\binom{5}{3}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{16}{8}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{16}{8}-\binom{11}{5}⋅\binom{5}{3}=8\,250\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(5\) borden waarvan \(4\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{5}{4}=5\)

Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(2\) rode en \(2\) blauwe vlaggetjes?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{2+2}{2}=6\)

Willem gooit \(10\) keer met een muntstuk. Hoeveel verschillende rijtjes van kop en munt kan hij gooien?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^{10}=1\,024\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(6\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B hoogstens \(2\) keer scoorde?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}=22\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(5\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{4}⋅\binom{8}{6}=3\,528\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{11}{5}⋅\binom{5}{3}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{16}{8}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{16}{8}-\binom{11}{5}⋅\binom{5}{3}=8\,250\)