Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een slinger bestaat uit \(6\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(2\) rode vlaggetjes? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal} = \binom{6}{2} = 15\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(5\) korte en \(2\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal} = \binom{5 + 2}{5} = 21\) 1p 1p c Sara maakt een letterrijtje van \(9\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal} = 2^{9} = 512\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(7\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er minstens \(5\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(5\) wil zeggen \(5 \text{,}\) \(6\) of \(7 \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{7}{5} + \binom{7}{6} + \binom{7}{7} = 29\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(3\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal} = \binom{7}{3} = 35\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{7}{2} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{9}{6} ⋅ \binom{7}{2} = 1\,764\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{4} ⋅ \binom{13}{7} \text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{22}{11} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{22}{11} - \binom{9}{4} ⋅ \binom{13}{7} = 489\,216\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een slinger bestaat uit \(6\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(2\) rode vlaggetjes?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal} = \binom{6}{2} = 15\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(5\) korte en \(2\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = \binom{5 + 2}{5} = 21\)

Sara maakt een letterrijtje van \(9\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = 2^{9} = 512\)

Beertje Pol eet \(7\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er minstens \(5\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(5\) wil zeggen \(5 \text{,}\) \(6\) of \(7 \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{7}{5} + \binom{7}{6} + \binom{7}{7} = 29\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(3\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal} = \binom{7}{3} = 35\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{7}{2} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{9}{6} ⋅ \binom{7}{2} = 1\,764\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{4} ⋅ \binom{13}{7} \text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{22}{11} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{22}{11} - \binom{9}{4} ⋅ \binom{13}{7} = 489\,216\)