Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 4)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -8 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -8\)

○

Door \((0 , 4)\) dus \(b = 4 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -8 x + 4\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 7)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 5 x + 9 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 5\)

○

Door \((0 , 7)\) dus \(b = 7 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 5 x + 7\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (7 , 3)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 5 - 4 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -4\)

○

\(\begin{rcases}y = -4 x + b \\ \text{door } A (7 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}-4 ⋅ 7 + b = 3 \\ -28 + b = 3 \\ b = 31\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -4 x + 31\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (9 , 3)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 2 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 2\)

○

\(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (9 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ 9 + b = 3 \\ 18 + b = 3 \\ b = -15\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 2 x - 15\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #120 (2ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , -25) \text{,}\) dus \(b = -25 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {10 \over 15} = \frac{2}{3} \text{.}\)

○

\(y = \frac{2}{3} x - 25 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 13ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 10)\) en \((5 , 0)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {0 - 10 \over 5 - 1} = -2{,}5\)

○

\(\begin{rcases}y = -2{,}5 x + b \\ \text{door } A (1 , 10)\end{rcases} \begin{matrix}-2{,}5 ⋅ 1 + b = 10 \\ -2{,}5 + b = 10 \\ b = 12{,}5\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -2{,}5 x + 12{,}5\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)	\(2\,026\)
\(y\)	\(26{,}64\)	\(24{,}86\)	\(23{,}08\)	\(21{,}30\)	\(19{,}52\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(24{,}86 - 26{,}64 = -1{,}78\)

○

\(23{,}08 - 24{,}86 = -1{,}78\)
\(21{,}30 - 23{,}08 = -1{,}78\)
\(19{,}52 - 21{,}30 = -1{,}78\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -1{,}78\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 26{,}64 \text{.}\)

○

Dus \(y = -1{,}78 x + 26{,}64\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Jasmijn gaat met haar vriendinnen naar een pretpark. Ze betaalt €15 entree. Elke rit in de achtbaan kost €3 extra.

Stel de formule op van de totale kosten \(K\) in euro als functie van het aantal ritjes in de achtbaan \(r \text{.}\)

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms

○

De beginwaarde is \(b = 15 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = 3 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(K = 3 r + 15 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-3 , 18)\) en \(B (1 , 2) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 18 \over 1 - -3} = -4\)

○

\(\begin{rcases}y = -4 x + b \\ \text{door } A (-3 , 18)\end{rcases} \begin{matrix}-4 ⋅ -3 + b = 18 \\ 12 + b = 18 \\ b = 6\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -4 x + 6\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = -4\) is \(y = -22\) en voor \(x = 7\) is \(y = 33 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {33 - -22 \over 7 - -4} = 5\)

○

\(\begin{rcases}y = 5 x + b \\ \text{door } A (-4 , -22)\end{rcases} \begin{matrix}5 ⋅ -4 + b = -22 \\ -20 + b = -22 \\ b = -2\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 5 x - 2\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (6 , 8)\) en \(B (9 , 8) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {8 - 8 \over 9 - 6} = {0 \over 3} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (6 , 8)\end{rcases} \begin{matrix}b = 8\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 8\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (3 , -5)\) en \(B (3 , 8) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-5 - 8 \over 3 - 3} = {-13 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = 3\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (2 , 10)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (2 , 10)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 2 = 10 \\ a = 5\end{matrix}\)
Dus \(y = 5 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 8\) hoort \(y = 16 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (8 , 16)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 8 = 16 \\ a = 2\end{matrix}\)
Dus \(y = 2 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,014\)	\(2\,017\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(31{,}83\)	\(27{,}24\)	\(18{,}06\)	\(16{,}53\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,010 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {27{,}24 - 31{,}83 \over 2\,017 - 2\,014} = -1{,}53\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {18{,}06 - 27{,}24 \over 2\,023 - 2\,017} = -1{,}53\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {16{,}53 - 18{,}06 \over 2\,024 - 2\,023} = -1{,}53\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -1{,}53\)

○

\(\begin{rcases}y = -1{,}53 x + b \\ x = 4 \text{ en } y = 31{,}83\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}53 ⋅ 4 + b = 31{,}83 \\ -6{,}12 + b = 31{,}83 \\ b = 37{,}95\end{matrix}\)

○

Dus \(y = -1{,}53 x + 37{,}95\)