Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde C

'Formule van een lijn opstellen'.

2 vwo

3.2 De formule van een lijn opstellen

Formule van een lijn opstellen (5)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 6)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = -5 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetBeginpunt

000y - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = -5\)

○

Door \((0 , 6)\) dus \(b = 6 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = -5 x + 6\)

opgave 2

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (0 , 4)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 7 x + 3 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetBeginpunt

000z - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = 7\)

○

Door \((0 , 4)\) dus \(b = 4 \text{,}\) en dus \(l{:}\,y = 7 x + 4\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (5 , 4)\) en is evenwijdig met de lijn \(m{:}\,y = 2 - 3 x \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

EvenwijdigMetPunt

0010 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = \text{rc}_{m} = -3\)

○

\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } A (5 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}-3 ⋅ 5 + b = 4 \\ -15 + b = 4 \\ b = 19\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -3 x + 19\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (9 , 5)\) en heeft \(\text{rc}_{l} = 6 \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

GegevenRcMetPunt

0011 - Formule van een lijn opstellen - basis - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = \text{rc}_{l} = 6\)

○

\(\begin{rcases}y = 6 x + b \\ \text{door } A (9 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}6 ⋅ 9 + b = 5 \\ 54 + b = 5 \\ b = -49\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = 6 x - 49\)

opgave 5

Stel de formule op van de lijn.

Grafiek (1)

00my - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #120 (2ms) - dynamic variables

○

\(y = a x + b \text{.}\)

○

Door \((0 , 20) \text{,}\) dus \(b = 20 \text{.}\)

○

\(a = {\text{verticaal} \over \text{horizontaal}} = {-10 \over 15} = -\frac{2}{3} \text{.}\)

○

\(y = -\frac{2}{3} x + 20 \text{.}\)

3 vwo

1.2 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x + b \text{.}\)

Grafiek (2)

008t - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 26ms - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 5)\) en \((5 , 20)\) aflezen.

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {20 - 5 \over 5 - 1} = 3{,}75\)

○

\(\begin{rcases}y = 3{,}75 x + b \\ \text{door } A (1 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}3{,}75 ⋅ 1 + b = 5 \\ 3{,}75 + b = 5 \\ b = 1{,}25\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 3{,}75 x + 1{,}25\)

3 vwo

8.2 Tabellen en groei

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(19{,}97\)	\(19{,}90\)	\(19{,}83\)	\(19{,}76\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (1)

00jz - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\(19{,}90 - 19{,}97 = -0{,}07\)

○

\(19{,}83 - 19{,}90 = -0{,}07\)
\(19{,}76 - 19{,}83 = -0{,}07\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}07\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}97 \text{.}\)

○

Dus \(y = -0{,}07 x + 19{,}97\)

vwo wiskunde A

1.1 Lineaire formules

Formule van een lijn opstellen (1)

opgave 1

Het water in de vijver is 50 cm diep en stijgt elke dag 3 cm.

Stel de formule op van de hoogte van het water \(h\) in cm als functie van de tijd \(r\) in dagen.

Contextueel

00n9 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 6ms

○

De beginwaarde is \(b = 50 \text{.}\)

○

De verandering is \(a = 3 \text{.}\)

○

De gevraagde formule is dus \(h = 3 r + 50 \text{.}\)

vwo wiskunde A

1.2 Een lijn door twee gegeven punten

Formule van een lijn opstellen (4)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-5 , 16)\) en \(B (7 , -8) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePunten (1)

0012 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 1ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-8 - 16 \over 7 - -5} = -2\)

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (-5 , 16)\end{rcases} \begin{matrix}-2 ⋅ -5 + b = 16 \\ 10 + b = 16 \\ b = 6\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -2 x + 6\)

opgave 2

\(y\) is een lineaire functie van \(x \text{.}\)
Voor \(x = 2\) is \(y = 7\) en voor \(x = 4\) is \(y = 17 \text{.}\)

Druk \(y\) uit in \(x \text{.}\)

TweePunten (2)

0013 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

○

\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {17 - 7 \over 4 - 2} = 5\)

○

\(\begin{rcases}y = 5 x + b \\ \text{door } A (2 , 7)\end{rcases} \begin{matrix}5 ⋅ 2 + b = 7 \\ 10 + b = 7 \\ b = -3\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 5 x - 3\)

opgave 3

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (-4 , -6)\) en \(B (2 , -6) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenHorizontaal

0014 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {-6 - -6 \over 2 - -4} = {0 \over 6} = 0\)

○

\(\begin{rcases}y = b \\ \text{door } A (-4 , -6)\end{rcases} \begin{matrix}b = -6\end{matrix}\)

○

Dus \(l{:}\,y = -6\)

opgave 4

De lijn \(l\) gaat door de punten \(A (2 , 7)\) en \(B (2 , 8) \text{.}\)

Stel de formule van \(l\) op.

TweePuntenVerticaal

0015 - Formule van een lijn opstellen - pro - 0ms

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {7 - 8 \over 2 - 2} = {-1 \over 0}\)

○

Delen door 0 is niet gedefinieerd, het is dus een verticale lijn.

○

Dus een verticale lijn met vergelijking \(l{:}\,x = 2\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule van een lijn opstellen (3)

opgave 1

De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (2 , 10)\) en door de oorsprong.

Stel de formule van \(l\) op.

Evenredig (1)

0017 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Door de oorsprong betekent dat \(b = 0 \text{,}\) dus \(l{:}\,y = a x\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (2 , 10)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 2 = 10 \\ a = 5\end{matrix}\)
Dus \(y = 5 x \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is dat \(y\) evenredig is met \(x \text{.}\) Bij \(x = 9\) hoort \(y = 18 \text{.}\)

Stel de formule van \(y\) op.

Evenredig (2)

008s - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms

○

Evenredig betekent \(y = a x \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = a x \\ \text{door } A (9 , 18)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 9 = 18 \\ a = 2\end{matrix}\)
Dus \(y = 2 x \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(1\)	\(5\)	\(11\)	\(13\)	\(18\)
\(y\)	\(14{,}27\)	\(20{,}07\)	\(28{,}77\)	\(31{,}67\)	\(38{,}92\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

UitTabel (2)

00k0 - Formule van een lijn opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x} = {20{,}07 - 14{,}27 \over 5 - 1} = 1{,}45\)

○

\({\Delta y \over \Delta x} = {28{,}77 - 20{,}07 \over 11 - 5} = 1{,}45\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {31{,}67 - 28{,}77 \over 13 - 11} = 1{,}45\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {38{,}92 - 31{,}67 \over 18 - 13} = 1{,}45\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}45\)

○

\(\begin{rcases}y = 1{,}45 x + b \\ x = 1 \text{ en } y = 14{,}27\end{rcases} \begin{matrix}1{,}45 ⋅ 1 + b = 14{,}27 \\ 1{,}45 + b = 14{,}27 \\ b = 12{,}82\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 1{,}45 x + 12{,}82\)