Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.1 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 3)\) en \(B (4 , 2) \text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 42ms ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(C\) zijn dus \((3 , -2) \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 2)\) en \(C (4 , 3) \text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((1\frac{1}{2} , 4\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \(A (1 , 2)\) en \(B (4 , 6) \text{.}\) Op lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(C\) en \(D\) met \(A\kern{-.8pt}C = C\kern{-.8pt}D = D\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Het punt \(G\) is het midden van diagonaal \(C\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\frac{1}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\frac{1}{3}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AC}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{3} \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\frac{1}{3} \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{3} \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{f}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 3\frac{1}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{1}{3} \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}\frac{5}{6} \\ 3\frac{1}{6}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((\frac{5}{6} , 3\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p opgave 4Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 6)\) en \(B (7 , 3) \text{.}\) Het punt \(E\) is het midden van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}E\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G \text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 3\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-3 \\ -7\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 \\ -7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}E \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{e}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}6\frac{1}{4} \\ 1\frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\frac{1}{4} \\ 1\frac{1}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3}{4} \\ 1\frac{3}{4}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1\frac{3}{4} \\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}6\frac{1}{4} \\ 1\frac{1}{4}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\frac{3}{4} \\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((8 , \frac{1}{2}) \text{.}\) 1p opgave 5Gegeven zijn de punten \(A (3 , 4)\) en \(B (7 , 1) \text{.}\) Op lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(C\) en \(D\) met \(A\kern{-.8pt}C = C\kern{-.8pt}D = D\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}D\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zijde \(B\kern{-.8pt}F\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{2}{3} \\ 2\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}5\frac{2}{3} \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{3} \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BD}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BD}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}F \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{f}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ -\frac{1}{3}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}6\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}6\frac{1}{2} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((5\frac{5}{6} , \frac{5}{6}) \text{.}\) 1p |