Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.2 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (2 , 3)\) en \(B (4 , 5) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (9 , 10)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(x = 9\) geeft \(7 + t = 9\) \(t = 2\) \(t = 2 \text{.}\) 1p ○ \(t = 2\) geeft \(y = 4 + 2 ⋅ 3 = 10 \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\) ligt op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5 x + 5 y = 20 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ Substitutie geeft \(5 (1 - t) + 5 (-5 - 3 t) = 20 \text{.}\) 1p ○ \(5 - 5 t - 25 - 15 t = 20\) \(-20 t - 20 = 20\) \(-20 t = 40\) \(t = -2 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = 1 - 2 ⋅ -1 = 3\) en \(y = -5 - 2 ⋅ -3 = 1\) dus \(S (3 , 1) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (5 , 1)\) en \(B (0 , 6) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -2\end{pmatrix} ∧ -5 ≤ t ≤ 2 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms ○ \(t = -5\) geeft \(x = 5 - 5 ⋅ -2 = 15\) en \(y = 6 - 5 ⋅ -2 = 16 \text{,}\) dus \((15 , 16) \text{.}\) 1p ○ \(t = 2\) geeft \(x = 5 + 2 ⋅ -2 = 1\) en \(y = 6 + 2 ⋅ -2 = 2 \text{,}\) dus \((1 , 2) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (7 , -5) \text{,}\) \(B (-3 , -6)\) en \(C (1 , -4) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}-1 + 2 t = -5 + 2 u \\ 0 - t = -3 + 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2 t - 2 u = -4 \\ -t - 4 u = -3\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}2 t - 2 u = -4 \\ -t - 4 u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 t - 2 u = -4 \\ -2 t - 8 u = -6\end{cases}\) 1p ○ Optellen geeft \(-10 u = -10\) en dus \(u = 1\) 1p ○ \(u = 1\) geeft \(x = -5 + 2 ⋅ 1 = -3\) en \(y = -3 + 4 ⋅ 1 = 1 \text{,}\) dus \(S (-3 , 1) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.2 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (2 , 3)\) en \(B (4 , 5) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (9 , 10)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(x = 9\) geeft
\(7 + t = 9\)
\(t = 2\)
\(t = 2 \text{.}\)

○

\(t = 2\) geeft \(y = 4 + 2 ⋅ 3 = 10 \text{.}\)

○

Dus \(A\) ligt op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5 x + 5 y = 20 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

Substitutie geeft
\(5 (1 - t) + 5 (-5 - 3 t) = 20 \text{.}\)

○

\(5 - 5 t - 25 - 15 t = 20\)
\(-20 t - 20 = 20\)
\(-20 t = 40\)
\(t = -2 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = 1 - 2 ⋅ -1 = 3\)
en
\(y = -5 - 2 ⋅ -3 = 1\)
dus \(S (3 , 1) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (5 , 1)\) en \(B (0 , 6) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -2\end{pmatrix} ∧ -5 ≤ t ≤ 2 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms

○

\(t = -5\) geeft \(x = 5 - 5 ⋅ -2 = 15\) en \(y = 6 - 5 ⋅ -2 = 16 \text{,}\) dus \((15 , 16) \text{.}\)

○

\(t = 2\) geeft \(x = 5 + 2 ⋅ -2 = 1\) en \(y = 6 + 2 ⋅ -2 = 2 \text{,}\) dus \((1 , 2) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (7 , -5) \text{,}\) \(B (-3 , -6)\) en \(C (1 , -4) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-1 + 2 t = -5 + 2 u \\ 0 - t = -3 + 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2 t - 2 u = -4 \\ -t - 4 u = -3\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}2 t - 2 u = -4 \\ -t - 4 u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 t - 2 u = -4 \\ -2 t - 8 u = -6\end{cases}\)

○

Optellen geeft \(-10 u = -10\) en dus \(u = 1\)

○

\(u = 1\) geeft \(x = -5 + 2 ⋅ 1 = -3\) en \(y = -3 + 4 ⋅ 1 = 1 \text{,}\) dus \(S (-3 , 1) \text{.}\)