Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2-6x+1\frac{2}{3}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(4\text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+1\frac{1}{2}x^2-6x+1\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+3x-6\text{.}\) 1p ○ \(f'(x)=4\) geeft \(x^2+3x-6=4\) \(x^2+3x-10=0\) \((x+5)(x-2)=0\) \(x=-5∨x=2\text{.}\) 1p ○ \(f(-5)=27\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(A(-5, 27\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(f(2)=-1\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(B(2, -1\frac{2}{3})\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)={8 \over 2x-6}\) en het punt \(A\) met \(x_A=4\text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 48ms - data pool: #536 (48ms) ○ \(f(4)=4\text{,}\) dus \(A(4, 4)\) 1p ○ \(f(x)={8 \over 2x-6}=8(2x-6)^{-1}\) geeft \(f'(x)=8⋅-1⋅(2x-6)^{-2}⋅2={-16 \over (2x-6)^2}\) 2p ○ \(\text{rc}_k=f'(4)=-4\) 1p ○ \(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{1}{4}\text{,}\) dus \(y=\frac{1}{4}x+b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }A(4, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{4}⋅4+b=4 \\ 1+b=4 \\ b=3\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=\frac{1}{4}x+3\text{.}\) 1p ○ \(B(0, 3)\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2+3x-2\) en \(g(x)=-x^2-2x+1\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #503 (23ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^2+3x-2=-x^2-2x+1\) \(2x^2+5x-3=0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=5^2-4⋅2⋅-3=49\) geeft \(x={-5-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-3∨x={-5+\sqrt{49} \over 2⋅2}=\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_A=-3\text{,}\) dus \(y_A=g(-3)=-2\) 1p ○ \(g'(x)=-2x-2\) 1p ○ \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-3)=4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=4x+b \\ \text{door }A(-3, -2)\end{rcases}\begin{matrix}4⋅-3+b=-2 \\ -12+b=-2 \\ b=10\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=4x+10\text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^2+3x-2=4x+10\) \(x^2-x-12=0\) \((x+3)(x-4)=0\) \(x=-3∨x=4\) 1p ○ \(x_C=4\text{,}\) dus \(y_C=f(4)=26\) en \(C(4, 26)\text{.}\) 1p

"