Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 5 x + 1 \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(3 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 5 x + 1\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 2 x - 5 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = 3\) geeft \(x^{2} + 2 x - 5 = 3\) \(x^{2} + 2 x - 8 = 0\) \((x + 4) (x - 2) = 0\) \(x = -4 ∨ x = 2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-4) = 15\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(A (-4 , 15\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = -2\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (2 , -2\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-4 \over 3 x - 8}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 4 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 23ms - data pool: #536 (23ms) ○ \(f(4) = -1 \text{,}\) dus \(A (4 , -1)\) 1p ○ \(f(x) = {-4 \over 3 x - 8} = -4 (3 x - 8)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -4 ⋅ -1 ⋅ (3 x - 8)^{-2} ⋅ 3 = {12 \over (3 x - 8)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(4) = \frac{3}{4}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{4}{3} \text{,}\) dus \(y = -1\frac{1}{3} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (4 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}-1\frac{1}{3} ⋅ 4 + b = -1 \\ -5\frac{1}{3} + b = -1 \\ b = 4\frac{1}{3}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{3} x + 4\frac{1}{3} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 4\frac{1}{3})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - x - 1\) en \(g(x) = -x^{2} + x + 3 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 15ms - data pool: #503 (15ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - x - 1 = -x^{2} + x + 3\) \(2 x^{2} - 2 x - 4 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-2)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -4 = 36\) geeft \(x = {2 - \sqrt{36} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {2 + \sqrt{36} \over 2 ⋅ 2} = 2\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 1\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -1 + b = 1 \\ -3 + b = 1 \\ b = 4\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 3 x + 4 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - x - 1 = 3 x + 4\) \(x^{2} - 4 x - 5 = 0\) \((x + 1) (x - 5) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 5\) 1p ○ \(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 19\) en \(C (5 , 19) \text{.}\) 1p

"