Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 3\frac{1}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-3 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 3\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 6 x + 5 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -3\) geeft \(x^{2} + 6 x + 5 = -3\) \(x^{2} + 6 x + 8 = 0\) \((x + 4) (x + 2) = 0\) \(x = -4 ∨ x = -2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-4) = 10 \text{,}\) dus \(A (-4 , 10) \text{.}\) 1p ○ \(f(-2) = 2\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (-2 , 2\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {8 \over x - 3}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 5 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 31ms - data pool: #536 (30ms) ○ \(f(5) = 4 \text{,}\) dus \(A (5 , 4)\) 1p ○ \(f(x) = {8 \over x - 3} = 8 (x - 3)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 8 ⋅ -1 ⋅ (x - 3)^{-2} ⋅ 1 = {-8 \over (x - 3)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(5) = -2\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (5 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{2} ⋅ 5 + b = 4 \\ 2\frac{1}{2} + b = 4 \\ b = 1\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{2} x + 1\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 1\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 2 x - 4\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x + 2 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 20ms - data pool: #503 (20ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - 2 x - 4 = -x^{2} - 3 x + 2\) \(2 x^{2} + x - 6 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 1^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -6 = 49\) geeft \(x = {-1 - \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-1 + \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = 1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = 4\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 3\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = x + b \\ \text{door } A (-2 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}1 ⋅ -2 + b = 4 \\ -2 + b = 4 \\ b = 6\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = x + 6 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - 2 x - 4 = x + 6\) \(x^{2} - 3 x - 10 = 0\) \((x + 2) (x - 5) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 5\) 1p ○ \(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 11\) en \(C (5 , 11) \text{.}\) 1p

"