Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x + \frac{5}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 10 x + \frac{5}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + x - 10 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -4\) geeft \(x^{2} + x - 10 = -4\) \(x^{2} + x - 6 = 0\) \((x + 3) (x - 2) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = 26\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(A (-3 , 26\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = -14\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B (2 , -14\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-9 \over 6 x + 9}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #536 (24ms) ○ \(f(-3) = 1 \text{,}\) dus \(A (-3 , 1)\) 1p ○ \(f(x) = {-9 \over 6 x + 9} = -9 (6 x + 9)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -9 ⋅ -1 ⋅ (6 x + 9)^{-2} ⋅ 6 = {54 \over (6 x + 9)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-3) = \frac{2}{3}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{3}{2} \text{,}\) dus \(y = -1\frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (-3 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}-1\frac{1}{2} ⋅ -3 + b = 1 \\ 4\frac{1}{2} + b = 1 \\ b = -3\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{2} x - 3\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -3\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + x - 2\) en \(g(x) = -x^{2} + 2 x + 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 17ms - data pool: #503 (16ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + x - 2 = -x^{2} + 2 x + 1\) \(2 x^{2} - x - 3 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-1)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -3 = 25\) geeft \(x = {1 - \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {1 + \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = 1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = -2\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 2\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 4 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 4 x + b \\ \text{door } A (-1 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}4 ⋅ -1 + b = -2 \\ -4 + b = -2 \\ b = 2\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 4 x + 2 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + x - 2 = 4 x + 2\) \(x^{2} - 3 x - 4 = 0\) \((x + 1) (x - 4) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 4\) 1p ○ \(x_{C} = 4 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(4) = 18\) en \(C (4 , 18) \text{.}\) 1p

"