Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 1\frac{1}{2} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 1\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 5 x + 10 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = 4\) geeft \(x^{2} + 5 x + 10 = 4\) \(x^{2} + 5 x + 6 = 0\) \((x + 3) (x + 2) = 0\) \(x = -3 ∨ x = -2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = -15 \text{,}\) dus \(A (-3 , -15) \text{.}\) 1p ○ \(f(-2) = -11\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(B (-2 , -11\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {9 \over 2 x - 9}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms) ○ \(f(3) = -3 \text{,}\) dus \(A (3 , -3)\) 1p ○ \(f(x) = {9 \over 2 x - 9} = 9 (2 x - 9)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 9 ⋅ -1 ⋅ (2 x - 9)^{-2} ⋅ 2 = {-18 \over (2 x - 9)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(3) = -2\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (3 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{2} ⋅ 3 + b = -3 \\ 1\frac{1}{2} + b = -3 \\ b = -4\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{2} x - 4\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -4\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 3 x - 5\) en \(g(x) = -x^{2} + 4 x - 2 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 3 x - 5 = -x^{2} + 4 x - 2\) \(2 x^{2} - x - 3 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-1)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -3 = 25\) geeft \(x = {1 - \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {1 + \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = 1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = -7\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 4\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 6 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 6 x + b \\ \text{door } A (-1 , -7)\end{rcases} \begin{matrix}6 ⋅ -1 + b = -7 \\ -6 + b = -7 \\ b = -1\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 6 x - 1 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 3 x - 5 = 6 x - 1\) \(x^{2} - 3 x - 4 = 0\) \((x + 1) (x - 4) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 4\) 1p ○ \(x_{C} = 4 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(4) = 23\) en \(C (4 , 23) \text{.}\) 1p

"