Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

vwo wiskunde B	2.5 Afgeleide, raaklijn en snelheid
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2\frac{1}{2} x^{2} + x + 1\frac{1}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2\frac{1}{2} x^{2} + x + 1\frac{1}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 5 x + 1 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -5\) geeft \(x^{2} - 5 x + 1 = -5\) \(x^{2} - 5 x + 6 = 0\) \((x - 2) (x - 3) = 0\) \(x = 2 ∨ x = 3 \text{.}\) 1p ○ \(f(2) = -4\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(A (2 , -4\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = -9\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (3 , -9\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {10 \over x + 3}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 2 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms) ○ \(f(2) = 2 \text{,}\) dus \(A (2 , 2)\) 1p ○ \(f(x) = {10 \over x + 3} = 10 (x + 3)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 10 ⋅ -1 ⋅ (x + 3)^{-2} ⋅ 1 = {-10 \over (x + 3)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(2) = -\frac{2}{5}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{5}{2} \text{,}\) dus \(y = 2\frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 2\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (2 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}2\frac{1}{2} ⋅ 2 + b = 2 \\ 5 + b = 2 \\ b = -3\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2\frac{1}{2} x - 3 \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -3)\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 4 x - 3\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x + 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 4 x - 3 = -x^{2} - 3 x + 1\) \(2 x^{2} + 7 x - 4 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 7^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -4 = 81\) geeft \(x = {-7 - \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = -4 ∨ x = {-7 + \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -4 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-4) = -3\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 3\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-4) = 5 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 5 x + b \\ \text{door } A (-4 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}5 ⋅ -4 + b = -3 \\ -20 + b = -3 \\ b = 17\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 5 x + 17 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 4 x - 3 = 5 x + 17\) \(x^{2} - x - 20 = 0\) \((x + 4) (x - 5) = 0\) \(x = -4 ∨ x = 5\) 1p ○ \(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 42\) en \(C (5 , 42) \text{.}\) 1p

"