Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 4 t \\ y(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} - 10 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 3 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 416ms ○ \(x'(t) = 3 t^{2} - 4\) \(y'(t) = 5 t - 10\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (3) = \begin{pmatrix}x'(3) \\ y'(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}23 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (3)\end{vmatrix} = \sqrt{23^{2} + 5^{2}} = \sqrt{554} \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 2 t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 9 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -2 t - 2\) \(y'(t) = t^{2} - 9\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-2 t - 2)^{2} + (t^{2} - 9)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(-2 x - 2)^{2} + (x^{2} - 9)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = -2{,}778...\) en \(y = 3{,}780...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(3{,}78\) voor \(t = -2{,}78 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = t^{2} - 2 t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 12 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 4 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 2 t - 2\) \(y'(t) = t^{2} - 12\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(2 t - 2)^{2} + (t^{2} - 12)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{t^{4} - 20 t^{2} - 8 t + 148} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{t^{4} - 20 t^{2} - 8 t + 148}} ⋅ (4 t^{3} - 40 t - 8)\) \(\text{} = {2 t^{3} - 20 t - 4 \over \sqrt{t^{4} - 20 t^{2} - 8 t + 148}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = 4\) geeft] \(a(4) = {44 \over \sqrt{52}} ≈ 6{,}10\) 1p

10.4 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 4 t \\ y(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} - 10 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 3 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 416ms

○

\(x'(t) = 3 t^{2} - 4\)
\(y'(t) = 5 t - 10\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (3) = \begin{pmatrix}x'(3) \\ y'(3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}23 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (3)\end{vmatrix} = \sqrt{23^{2} + 5^{2}} = \sqrt{554} \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 2 t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -2 t - 2\)
\(y'(t) = t^{2} - 9\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t - 2)^{2} + (t^{2} - 9)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-2 x - 2)^{2} + (x^{2} - 9)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -2{,}778...\) en \(y = 3{,}780...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(3{,}78\) voor \(t = -2{,}78 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{2} - 2 t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 4 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 2 t - 2\)
\(y'(t) = t^{2} - 12\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(2 t - 2)^{2} + (t^{2} - 12)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{t^{4} - 20 t^{2} - 8 t + 148} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{t^{4} - 20 t^{2} - 8 t + 148}} ⋅ (4 t^{3} - 40 t - 8)\)
\(\text{} = {2 t^{3} - 20 t - 4 \over \sqrt{t^{4} - 20 t^{2} - 8 t + 148}}\)

○

[Invullen van \(t = 4\) geeft]
\(a(4) = {44 \over \sqrt{52}} ≈ 6{,}10\)