Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.4 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=22\text{,}\) \(\angle L=50\degree\) en \(\angle M=74\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle L)}={22⋅\sin(74\degree) \over \sin(50\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L≈27{,}6\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(\angle A=27\degree\) en \(\angle B=115\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={19⋅\sin(115\degree) \over \sin(27\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C≈37{,}9\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=13\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=30\) en \(\angle M=25\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms c De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={30⋅\sin(25\degree) \over 13}=0{,}975...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle K≈77{,}2\degree\) of \(\angle K≈102{,}8\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een scherpe hoek is, dus \(\angle K≈77{,}2\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=23\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=29\) en \(\angle K=51\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle L)={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle K) \over L\kern{-.8pt}M}={29⋅\sin(51\degree) \over 23}=0{,}979...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle L≈78{,}5\degree\) of \(\angle L≈101{,}5\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle L\) een stompe hoek is, dus \(\angle L≈101{,}5\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=23\text{,}\) \(\angle Q=54\degree\) en \(\angle P=48\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-54\degree-48\degree=78\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={23⋅\sin(54\degree) \over \sin(78\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}R≈19{,}0\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=17\text{,}\) \(\angle C=39\degree\) en \(\angle B=42\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-39\degree-42\degree=99\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={17⋅\sin(39\degree) \over \sin(99\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B≈10{,}8\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=18\) en \(\angle P=86\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms c De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}Q^2-2⋅P\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}Q⋅\cos(\angle P)\text{.}\) 1p ○ Dus \(Q\kern{-.8pt}R^2=16^2+18^2-2⋅16⋅18⋅\cos(86\degree)=539{,}820...\text{.}\) 1p ○ \(Q\kern{-.8pt}R=\sqrt{539{,}820...}≈23{,}2\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=24\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=32\) en \(\angle A=97\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^2=24^2+32^2-2⋅24⋅32⋅\cos(97\degree)=1787{,}191...\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C=\sqrt{1787{,}191...}≈42{,}3\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=12\) en \(P\kern{-.8pt}Q=18\text{.}\) Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms a De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(18^2=16^2+12^2-2⋅16⋅12⋅\cos(\angle R)\) dus \(324=400-384⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle R)={324-400 \over -384}=0{,}197...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle R=\cos^{-1}(0{,}197...)≈78{,}6\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=25\text{,}\) \(Q\kern{-.8pt}R=29\) en \(P\kern{-.8pt}R=43\text{.}\) Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}Q^2+Q\kern{-.8pt}R^2-2⋅P\kern{-.8pt}Q⋅Q\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle Q)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(43^2=25^2+29^2-2⋅25⋅29⋅\cos(\angle Q)\) dus \(1\,849=1\,466-1\,450⋅\cos(\angle Q)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle Q)={1\,849-1\,466 \over -1\,450}=-0{,}264...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle Q=\cos^{-1}(-0{,}264...)≈105{,}3\degree\text{.}\) 1p

3.4 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=22\text{,}\) \(\angle L=50\degree\) en \(\angle M=74\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle L)}={22⋅\sin(74\degree) \over \sin(50\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L≈27{,}6\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(\angle A=27\degree\) en \(\angle B=115\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={19⋅\sin(115\degree) \over \sin(27\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C≈37{,}9\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=13\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=30\) en \(\angle M=25\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={30⋅\sin(25\degree) \over 13}=0{,}975...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle K≈77{,}2\degree\) of \(\angle K≈102{,}8\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een scherpe hoek is, dus \(\angle K≈77{,}2\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=23\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=29\) en \(\angle K=51\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle L)={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle K) \over L\kern{-.8pt}M}={29⋅\sin(51\degree) \over 23}=0{,}979...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle L≈78{,}5\degree\) of \(\angle L≈101{,}5\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle L\) een stompe hoek is, dus \(\angle L≈101{,}5\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=23\text{,}\) \(\angle Q=54\degree\) en \(\angle P=48\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-54\degree-48\degree=78\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={23⋅\sin(54\degree) \over \sin(78\degree)}\text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}R≈19{,}0\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=17\text{,}\) \(\angle C=39\degree\) en \(\angle B=42\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-39\degree-42\degree=99\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={17⋅\sin(39\degree) \over \sin(99\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B≈10{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=18\) en \(\angle P=86\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}Q^2-2⋅P\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}Q⋅\cos(\angle P)\text{.}\)

○

Dus \(Q\kern{-.8pt}R^2=16^2+18^2-2⋅16⋅18⋅\cos(86\degree)=539{,}820...\text{.}\)

○

\(Q\kern{-.8pt}R=\sqrt{539{,}820...}≈23{,}2\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=24\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=32\) en \(\angle A=97\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C^2=24^2+32^2-2⋅24⋅32⋅\cos(97\degree)=1787{,}191...\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C=\sqrt{1787{,}191...}≈42{,}3\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=12\) en \(P\kern{-.8pt}Q=18\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(18^2=16^2+12^2-2⋅16⋅12⋅\cos(\angle R)\)
dus \(324=400-384⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle R)={324-400 \over -384}=0{,}197...\)

○

Hieruit volgt \(\angle R=\cos^{-1}(0{,}197...)≈78{,}6\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=25\text{,}\) \(Q\kern{-.8pt}R=29\) en \(P\kern{-.8pt}R=43\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}Q^2+Q\kern{-.8pt}R^2-2⋅P\kern{-.8pt}Q⋅Q\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle Q)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(43^2=25^2+29^2-2⋅25⋅29⋅\cos(\angle Q)\)
dus \(1\,849=1\,466-1\,450⋅\cos(\angle Q)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle Q)={1\,849-1\,466 \over -1\,450}=-0{,}264...\)

○

Hieruit volgt \(\angle Q=\cos^{-1}(-0{,}264...)≈105{,}3\degree\text{.}\)