Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.4 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 26 \text{,}\) \(\angle B = 40\degree\) en \(\angle C = 80\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {26 ⋅ \sin(80\degree) \over \sin(40\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B ≈ 39{,}8 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 19 \text{,}\) \(\angle L = 47\degree\) en \(\angle M = 106\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L = {K\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle M) \over \sin(\angle L)} = {19 ⋅ \sin(106\degree) \over \sin(47\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L ≈ 25{,}0 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 14 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 22\) en \(\angle B = 27\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms c De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle C) = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C} = {22 ⋅ \sin(27\degree) \over 14} = 0{,}713... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle C ≈ 45{,}5\degree\) of \(\angle C ≈ 134{,}5\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een scherpe hoek is, dus \(\angle C ≈ 45{,}5\degree \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 13 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 17\) en \(\angle B = 43\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle C) = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C} = {17 ⋅ \sin(43\degree) \over 13} = 0{,}891... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle C ≈ 63{,}1\degree\) of \(\angle C ≈ 116{,}9\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een stompe hoek is, dus \(\angle C ≈ 116{,}9\degree \text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 27 \text{,}\) \(\angle B = 52\degree\) en \(\angle A = 44\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle B + \angle C + \angle A = 180\degree\) volgt \(\angle C = 180\degree - \angle B - \angle A = 180\degree - 52\degree - 44\degree = 84\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle C)} = {27 ⋅ \sin(52\degree) \over \sin(84\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C ≈ 21{,}4 \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 41 \text{,}\) \(\angle R = 29\degree\) en \(\angle Q = 56\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 29\degree - 56\degree = 95\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {41 ⋅ \sin(29\degree) \over \sin(95\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q ≈ 20{,}0 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 20 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 31\) en \(\angle A = 82\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 20^{2} + 31^{2} - 2 ⋅ 20 ⋅ 31 ⋅ \cos(82\degree) = 1188{,}425... \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{1188{,}425...} ≈ 34{,}5 \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 24 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 33\) en \(\angle C = 101\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^{2} = B\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle C) \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B^{2} = 24^{2} + 33^{2} - 2 ⋅ 24 ⋅ 33 ⋅ \cos(101\degree) = 1967{,}241... \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B = \sqrt{1967{,}241...} ≈ 44{,}4 \text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 28 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 38\) en \(B\kern{-.8pt}C = 42 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{A} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(42^{2} = 28^{2} + 38^{2} - 2 ⋅ 28 ⋅ 38 ⋅ \cos(\angle A)\) dus \(1\,764 = 2\,228 - 2\,128 ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle A) = {1\,764 - 2\,228 \over -2\,128} = 0{,}218...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle A = \cos^{-1}(0{,}218...) ≈ 77{,}4\degree \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 14 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 14\) en \(B\kern{-.8pt}C = 21 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{A} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(21^{2} = 14^{2} + 14^{2} - 2 ⋅ 14 ⋅ 14 ⋅ \cos(\angle A)\) dus \(441 = 392 - 392 ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle A) = {441 - 392 \over -392} = -0{,}125\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle A = \cos^{-1}(-0{,}125) ≈ 97{,}2\degree \text{.}\) 1p

3.4 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 26 \text{,}\) \(\angle B = 40\degree\) en \(\angle C = 80\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {26 ⋅ \sin(80\degree) \over \sin(40\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B ≈ 39{,}8 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 19 \text{,}\) \(\angle L = 47\degree\) en \(\angle M = 106\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L = {K\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle M) \over \sin(\angle L)} = {19 ⋅ \sin(106\degree) \over \sin(47\degree)} \text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L ≈ 25{,}0 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 14 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 22\) en \(\angle B = 27\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle C) = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C} = {22 ⋅ \sin(27\degree) \over 14} = 0{,}713... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle C ≈ 45{,}5\degree\) of \(\angle C ≈ 134{,}5\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een scherpe hoek is, dus \(\angle C ≈ 45{,}5\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 13 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 17\) en \(\angle B = 43\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle C) = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C} = {17 ⋅ \sin(43\degree) \over 13} = 0{,}891... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle C ≈ 63{,}1\degree\) of \(\angle C ≈ 116{,}9\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een stompe hoek is, dus \(\angle C ≈ 116{,}9\degree \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 27 \text{,}\) \(\angle B = 52\degree\) en \(\angle A = 44\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle B + \angle C + \angle A = 180\degree\) volgt \(\angle C = 180\degree - \angle B - \angle A = 180\degree - 52\degree - 44\degree = 84\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle C)} = {27 ⋅ \sin(52\degree) \over \sin(84\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C ≈ 21{,}4 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 41 \text{,}\) \(\angle R = 29\degree\) en \(\angle Q = 56\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 29\degree - 56\degree = 95\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {41 ⋅ \sin(29\degree) \over \sin(95\degree)} \text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}Q ≈ 20{,}0 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 20 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 31\) en \(\angle A = 82\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 20^{2} + 31^{2} - 2 ⋅ 20 ⋅ 31 ⋅ \cos(82\degree) = 1188{,}425... \text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{1188{,}425...} ≈ 34{,}5 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 24 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 33\) en \(\angle C = 101\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^{2} = B\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle C) \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B^{2} = 24^{2} + 33^{2} - 2 ⋅ 24 ⋅ 33 ⋅ \cos(101\degree) = 1967{,}241... \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B = \sqrt{1967{,}241...} ≈ 44{,}4 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 28 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 38\) en \(B\kern{-.8pt}C = 42 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms

○

Invullen geeft \(42^{2} = 28^{2} + 38^{2} - 2 ⋅ 28 ⋅ 38 ⋅ \cos(\angle A)\)
dus \(1\,764 = 2\,228 - 2\,128 ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle A) = {1\,764 - 2\,228 \over -2\,128} = 0{,}218...\)

○

Hieruit volgt \(\angle A = \cos^{-1}(0{,}218...) ≈ 77{,}4\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 14 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 14\) en \(B\kern{-.8pt}C = 21 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

○

Invullen geeft \(21^{2} = 14^{2} + 14^{2} - 2 ⋅ 14 ⋅ 14 ⋅ \cos(\angle A)\)
dus \(441 = 392 - 392 ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle A) = {441 - 392 \over -392} = -0{,}125\)

○

Hieruit volgt \(\angle A = \cos^{-1}(-0{,}125) ≈ 97{,}2\degree \text{.}\)