Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\cos(\frac{3}{4}x-\frac{3}{5}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 41ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}x-\frac{3}{5}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}x=1\frac{1}{10}\pi +k⋅\pi \)
\(x=1\frac{7}{15}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{7}{15}\pi ∨x=\frac{2}{15}\pi \)

1p

4p

b

\(-2\cos(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi )=1\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}x=\frac{5}{12}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}x=-\frac{11}{12}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{5}{8}\pi +k⋅3\pi ∨x=-1\frac{3}{8}\pi +k⋅3\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{5}{8}\pi ∨x=1\frac{5}{8}\pi \)

1p

4p

c

\(4\cos(1\frac{1}{2}q+\frac{1}{2}\pi )=2\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\cos(1\frac{1}{2}q+\frac{1}{2}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(1\frac{1}{2}q+\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}q+\frac{1}{2}\pi =1\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(1\frac{1}{2}q=-\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}q=1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(q=-\frac{1}{6}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi ∨q=\frac{5}{6}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=1\frac{1}{6}\pi ∨q=\frac{5}{6}\pi \)

1p

4p

d

\(3\sin(\frac{1}{3}\pi t-\frac{1}{2}\pi )=1\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{1}{3}\pi t-\frac{1}{2}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{3}\pi t-\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}\pi t-\frac{1}{2}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{3}\pi t=\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}\pi t=1\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=2\frac{1}{2}+k⋅6∨t=3\frac{1}{2}+k⋅6\)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=2\frac{1}{2}∨t=3\frac{1}{2}\)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-5-2\cos(2x-\frac{4}{5}\pi )=-3\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(-2\cos(2x-\frac{4}{5}\pi )=2\) dus \(\cos(2x-\frac{4}{5}\pi )=-1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{4}{5}\pi =\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=1\frac{4}{5}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{9}{10}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{9}{10}\pi ∨x=1\frac{9}{10}\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\sin^2(3x+\frac{3}{4}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\sin(3x+\frac{3}{4}\pi )=1∨\sin(3x+\frac{3}{4}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x+\frac{3}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨3x+\frac{3}{4}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=-\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨3x=\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{1}{12}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=\frac{1}{4}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

3p

b

\(1\frac{1}{5}\sin(\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\pi )\cos(\frac{3}{4}x)=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\sin(\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\pi )=0∨\cos(\frac{3}{4}x)=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\pi =k⋅\pi ∨\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅\pi ∨\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)
\(x=-\frac{8}{9}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi ∨x=\frac{2}{3}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p
"