Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Gelijkvormige driehoeken'.

vwo wiskunde B	3.1 Berekeningen in driehoeken
Gelijkvormige driehoeken (6)	opgave 1 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 4 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 1\) en \(B\kern{-.8pt}C = 7 \text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Gelijkvormigheid (1) 00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (2ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ \({4 \over 5} = {D\kern{-.8pt}E \over 7} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E = {4 ⋅ 7 \over 5} = 5\frac{3}{5}\) 1p opgave 2 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 5 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 9\) en \(C\kern{-.8pt}E = 7 \text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}F \text{.}\) Gelijkvormigheid (3) 00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms ○ \(B\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - C\kern{-.8pt}E = 9 - 7 = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F} = {C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({5 \over B\kern{-.8pt}F} = {7 \over 2} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}F = {5 ⋅ 2 \over 7} = 1\frac{3}{7}\) 1p opgave 3 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 3 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 5\) en \(B\kern{-.8pt}F = 4 \text{.}\) 4p Bereken \(C\kern{-.8pt}E \text{.}\) Gelijkvormigheid (4) 00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) 1p ○ \({4 \over 7} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over 5}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}E = {4 ⋅ 5 \over 7} = 2\frac{6}{7}\) 1p ○ \(C\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - B\kern{-.8pt}E = 5 - 2\frac{6}{7} = 2\frac{1}{7} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 9 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 9\) en \(D\kern{-.8pt}E = 3 \text{.}\) 4p Bereken \(A\kern{-.8pt}D \text{.}\) GelijkvormigheidMetX (1) 00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 4ms - data pool: #113 (3ms) ○ \(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ Neem \(A\kern{-.8pt}D = x \text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B = x + 9\) en dus \({x \over x + 9} = {A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {3 \over 9}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(9 x = 3 (x + 9)\) 1p ○ \(9 x = 3 x + 27\) \(6 x = 27\) \(x = {27 \over 6} = 4\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D = 4\frac{1}{2} \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 12 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 6 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 12\) en \(B\kern{-.8pt}E = 9 \text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Gelijkvormigheid (2) 00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 14ms - data pool: #201 (13ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C ∼ \triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E} = {B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D} = {A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({18 \over 9} = {12 \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E = {9 ⋅ 12 \over 18} = 6\) 1p opgave 6 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 5 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 3 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 5\) en \(C\kern{-.8pt}E = 2 \text{.}\) 5p Bereken \(B\kern{-.8pt}E \text{.}\) GelijkvormigheidMetX (2) 00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 13ms - data pool: #201 (13ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C ∼ \triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E} = {B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D} = {A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ Neem \(B\kern{-.8pt}E = x \text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C = x + 2\) en dus \({8 \over x} = {x + 2 \over 3}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(x (x + 2) = 24\) 1p ○ \(x^{2} + 2 x - 24 = 0\) \((x - 4) (x + 6) = 0\) \(x = 4 ∨ x = -6\) 1p ○ [Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E = 4 \text{.}\) 1p

3.1 Berekeningen in driehoeken

Gelijkvormige driehoeken (6)

opgave 1

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 4 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 1\) en \(B\kern{-.8pt}C = 7 \text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\)

Gelijkvormigheid (1)

00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (2ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

\({4 \over 5} = {D\kern{-.8pt}E \over 7} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E = {4 ⋅ 7 \over 5} = 5\frac{3}{5}\)

opgave 2

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 5 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 9\) en \(C\kern{-.8pt}E = 7 \text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}F \text{.}\)

Gelijkvormigheid (3)

00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms

○

\(B\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - C\kern{-.8pt}E = 9 - 7 = 2 \text{.}\)

○

\(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F} = {C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

\({5 \over B\kern{-.8pt}F} = {7 \over 2} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}F = {5 ⋅ 2 \over 7} = 1\frac{3}{7}\)

opgave 3

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 3 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 5\) en \(B\kern{-.8pt}F = 4 \text{.}\)

Bereken \(C\kern{-.8pt}E \text{.}\)

Gelijkvormigheid (4)

00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\)

○

\({4 \over 7} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over 5}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}E = {4 ⋅ 5 \over 7} = 2\frac{6}{7}\)

○

\(C\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - B\kern{-.8pt}E = 5 - 2\frac{6}{7} = 2\frac{1}{7} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 9 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 9\) en \(D\kern{-.8pt}E = 3 \text{.}\)

Bereken \(A\kern{-.8pt}D \text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (1)

00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 4ms - data pool: #113 (3ms)

○

\(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\)

○

Neem \(A\kern{-.8pt}D = x \text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B = x + 9\) en dus
\({x \over x + 9} = {A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {3 \over 9}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(9 x = 3 (x + 9)\)

○

\(9 x = 3 x + 27\)
\(6 x = 27\)
\(x = {27 \over 6} = 4\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D = 4\frac{1}{2} \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 12 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 6 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 12\) en \(B\kern{-.8pt}E = 9 \text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\)

Gelijkvormigheid (2)

00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 14ms - data pool: #201 (13ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C ∼ \triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E} = {B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D} = {A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

\({18 \over 9} = {12 \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E = {9 ⋅ 12 \over 18} = 6\)

opgave 6

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 5 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 3 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 5\) en \(C\kern{-.8pt}E = 2 \text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}E \text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (2)

00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 13ms - data pool: #201 (13ms)

○

Neem \(B\kern{-.8pt}E = x \text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C = x + 2\) en dus
\({8 \over x} = {x + 2 \over 3}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(x (x + 2) = 24\)

○

\(x^{2} + 2 x - 24 = 0\)
\((x - 4) (x + 6) = 0\)
\(x = 4 ∨ x = -6\)

○

[Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E = 4 \text{.}\)