Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(y\)

\(14{,}96\)

\(18{,}55\)

\(23{,}00\)

\(28{,}52\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({18{,}55 \over 14{,}96} ≈ 1{,}24\)

1p

○

\({23{,}00 \over 18{,}55} ≈ 1{,}24\)
\({28{,}52 \over 23{,}00} ≈ 1{,}24\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}24\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 14{,}96 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 14{,}96 ⋅ 1{,}24^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(15{,}80\)

\(15{,}37\)

\(14{,}94\)

\(14{,}51\)

\(14{,}08\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\(15{,}37 - 15{,}80 = -0{,}43\)

1p

○

\(14{,}94 - 15{,}37 = -0{,}43\)
\(14{,}51 - 14{,}94 = -0{,}43\)
\(14{,}08 - 14{,}51 = -0{,}43\)

1p

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}43\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 15{,}8 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = -0{,}43 x + 15{,}8\)

1p
vwo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}3\%\) per uur. Op \(x = 0\) is \(y = 296 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{uur}} = 1 - {2{,}3 \over 100} = 0{,}977 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 296 \text{.}\)

1p

○

\(y = 296 ⋅ 0{,}977^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 394\) en bij \(x = 6\) is \(y = 423 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({423 \over 394})^{{1 \over 6 - 4}} = 1{,}036...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}036...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 394\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}036...^{4} = 394 \\ b = {394 \over 1{,}036...^{4}} ≈ 342\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 342 ⋅ 1{,}036^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 236\) en bij \(x = 5\) is \(y = 211 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({211 \over 236})^{{1 \over 5 - 2}} = 0{,}963...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}963...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 236\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}963...^{2} = 236 \\ b = {236 \over 0{,}963...^{2}} ≈ 254\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 254 ⋅ 0{,}963^{x} \text{.}\)

1p
"