Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B
'Extremen met een parameter'.
| vwo wiskunde B | 1.3 Werken met parameters |
opgave 1Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking 4p a \(5 x^{2} + 2 x + p = -6\) geen oplossingen heeft. Vergelijking (1) 00sx - Extremen met een parameter - basis - 1ms a Geen oplossingen betekent \(D < 0 \text{.}\) 1p ○ \(5 x^{2} + 2 x + p = -6\) 1p ○ \(D = 4 - 20 (p + 6)\) 1p ○ (\(D < 0\) geeft) 1p 3p b \(-3 x^{2} + p x - 2 = -5\) twee oplossingen heeft. Vergelijking (2) 00sy - Extremen met een parameter - basis - 0ms b Twee oplossingen betekent \(D > 0 \text{.}\) 1p ○ \(-3 x^{2} + p x - 2 = -5\) 1p ○ (\(D > 0\) geeft) 1p 4p c \(p x^{2} - x - 7 = -2\) één oplossing heeft. Vergelijking (3) 00sz - Extremen met een parameter - basis - 0ms c Als \(p ≠ 0\) dan heeft de vergelijking één oplossing als \(D = 0 \text{.}\) 1p ○ \(p x^{2} - x - 7 = -2\) 1p ○ (\(D = 0\) geeft) 1p ○ Als \(p = 0\) dan geeft wordt de vergelijking \(-x - 7 = 0\) en deze heeft één oplossing. 1p opgave 2Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -4 x^{2} + p x + 7 \text{.}\) 3p Bereken exact voor welke \(p\) het maximum \(8\) is. TopVanParabool (1) 00sr - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #306 (2ms) ○ \(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -4} = \frac{1}{8} p\) 1p ○ \(y_{\text{top}} = f_{p} (\frac{1}{8} p)\) 1p ○ (Het maximum is \(8\) geeft) 1p opgave 3Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -\frac{1}{4} x^{2} + p x + 3 \text{.}\) 4p Bereken exact voor welke \(p\) de top van de grafiek van \(f_{p}\) op de lijn \(y = 2 x + 3\) ligt. TopVanParabool (2) 00ss - Extremen met een parameter - basis - 17ms - data pool: #2639 (17ms) ○ \(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -\frac{1}{4}} = 2 p\) 1p ○ \(y_{\text{top}} = f_{p} (2 p)\) 1p ○ \(\begin{rcases}(2 p , p^{2} + 3) \\ y = 2 x + 3\end{rcases} \begin{matrix}p^{2} + 3 = 2 ⋅ 2 p + 3\end{matrix}\) 1p ○ \(p^{2} - 4 p = 0\) 1p opgave 4Van de functie \(f_{p} (x) = p x^{2} - 2 x + 3\) is de extreme waarde \(4 \text{.}\) 3p a Bereken exact de waarde van \(p \text{.}\) 1p b Is de extreme waarde een maximum of een minimum? Licht toe. TopVanParabool (3) 00st - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #364 (2ms) a \(x_{\text{top}} = {2 \over 2 ⋅ p} = {1 \over p}\) 1p ○ \(y_{\text{top}} = f_{p} ({1 \over p})\) 1p ○ (De extreme waarde is \(4\) geeft) 1p b \(f_{-1} (x) = -x^{2} - 2 x + 3\) 1p opgave 5Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -5 x^{2} + p x - 7 \text{.}\) 3p a Bereken exact voor welke \(p\) het maximum van \(f_{p}\) negatief is. 3p b Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen. KrommeDoorTop (1) 00sv - Extremen met een parameter - basis - 1ms a Voor elke \(p\) is de grafiek van \(f_{p}\) een bergparabool, dus \(D < 0\) (want voor een negatief maximum moet een bergparabool geen snijpunten hebben met de \(x \text{-}\)as). 1p ○ \(D = p^{2} - 4 ⋅ -5 ⋅ -7 = p^{2} - 140\) 1p ○ (\(D < 0\) geeft) 1p b \(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -5} = {p \over 10}\) 1p ○ Hieruit volgt \(p = 10 x\) 1p ○ (Substitutie van \(p = 10 x\) in \(y = -5 x^{2} + p x - 7\) geeft) 1p opgave 6Voor elke waarde van \(p ≠ 0\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = p x^{2} - 6 x - 5 \text{.}\) 3p a Bereken exact voor welke \(p\) de grafiek van \(f_{p}\) twee snijpunten met de \(x \text{-}\)as heeft. 3p b Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen. KrommeDoorTop (2) 00sw - Extremen met een parameter - basis - 0ms a Twee snijpunten met de \(x \text{-}\)as betekent \(D > 0 \text{.}\) 1p ○ \(D = (-6)^{2} - 4 ⋅ p ⋅ -5 = 36 + 20 p\) 1p ○ (\(D > 0\) geeft) 1p b \(x_{\text{top}} = {6 \over 2 p} = {3 \over p}\) 1p ○ Hieruit volgt \(p = {3 \over x}\) 1p ○ (Substitutie van \(p = {3 \over x}\) in \(y = p x^{2} - 6 x - 5\) geeft) 1p |