Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

vwo wiskunde B 6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x - 42 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 3 x^{2} + 12 x - 15\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(3 x^{2} + 12 x - 15 = 0\)
\(x^{2} + 4 x - 5 = 0\)
\((x + 5) (x - 1) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = 1\)

1p

○

Schets:

Oxy-51

1p

○

max. is \(f(-5) = 58\) en min. is \(f(1) = -50 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 16 x^{3} - 18 x^{2} - 45 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = -12 x^{3} - 48 x^{2} - 36 x\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-12 x^{3} - 48 x^{2} - 36 x = 0\)
\(x^{3} + 4 x^{2} + 3 x = 0\)
\(x (x + 3) (x + 1) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = -1\)

1p

○

Schets:

Oxy-3-10

1p

○

max. is \(f(-3) = -18 \text{,}\) min. is \(f(-1) = -50\) en max. is \(f(0) = -45 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{3}{5} x^{5} - 2\frac{1}{3} x^{3} + 2 x \text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms

○

\(f'(x) = 3 x^{4} - 7 x^{2} + 2\)

1p

○

\(f'(\sqrt{2}) = 3 (\sqrt{2})^{4} - 7 (\sqrt{2})^{2} + 2 = 0\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{2}{5} x - \sqrt{4 x + 3} \text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 3ms - data pool: #142 (2ms)

a

\(f(x) = \frac{2}{5} x - \sqrt{4 x + 3} = \frac{2}{5} x - (4 x + 3)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} ⋅ (4 x + 3)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 4 = \frac{2}{5} - {2 \over \sqrt{4 x + 3}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{2}{5} - {2 \over \sqrt{4 x + 3}} = 0\)
\(-{2 \over \sqrt{4 x + 3}} = -\frac{2}{5}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{4 x + 3} = 10\)
\(\sqrt{4 x + 3} = 5\)

1p

○

Kwadrateren geeft
\(4 x + 3 = 25\)
\(x = 5\frac{1}{2}\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(5\frac{1}{2}) = -2\frac{4}{5} \text{.}\)

1p

b

\(4 x + 3 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-\frac{3}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

○

min. is \(f(5\frac{1}{2}) = -2\frac{4}{5} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-2\frac{4}{5} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {3 x^{2} + 48 \over 5 x} \text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {3 x^{2} + 48 \over 5 x} = {3 x^{2} \over 5 x} + {48 \over 5 x} = \frac{3}{5} x + \frac{48}{5} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{3}{5} + \frac{48}{5} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{3}{5} - {48 \over 5 x^{2}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{3}{5} - {48 \over 5 x^{2}} = 0\)
\(\frac{3}{5} = {48 \over 5 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(15 x^{2} = 240\)
\(x^{2} = 16\)
\(x = \sqrt{16} = 4 ∨ x = -\sqrt{16} = -4\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(-4) = -4\frac{4}{5}\) en max. is \(f(4) = 4\frac{4}{5} \text{.}\)

1p
"