Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

vwo wiskunde B 6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} - 9 x^{2} + 24 x + 20 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = -6 x^{2} - 18 x + 24\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-6 x^{2} - 18 x + 24 = 0\)
\(x^{2} + 3 x - 4 = 0\)
\((x + 4) (x - 1) = 0\)
\(x = -4 ∨ x = 1\)

1p

○

Schets:

Oxy-41

1p

○

min. is \(f(-4) = -92\) en max. is \(f(1) = 33 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 12 x^{3} - 60 x^{2} + 41 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = 12 x^{3} - 36 x^{2} - 120 x\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} - 36 x^{2} - 120 x = 0\)
\(x^{3} - 3 x^{2} - 10 x = 0\)
\(x (x + 2) (x - 5) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -2 ∨ x = 5\)

1p

○

Schets:

Oxy-205

1p

○

min. is \(f(-2) = -55 \text{,}\) max. is \(f(0) = 41\) en min. is \(f(5) = -1\,084 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{5} + 6\frac{2}{3} x^{3} - 15 x \text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = -5 x^{4} + 20 x^{2} - 15\)

1p

○

\(f'(\sqrt{3}) = -5 (\sqrt{3})^{4} + 20 (\sqrt{3})^{2} - 15 = 0\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

\(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{4} x \text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms)

a

\(f(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{4} x = x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} x\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} = {1 \over 2 \sqrt{x}} - \frac{1}{4} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\({1 \over 2 \sqrt{x}} - \frac{1}{4} = 0\)
\({1 \over 2 \sqrt{x}} = \frac{1}{4}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{x} = 4\)
\(\sqrt{x} = 2\)

1p

○

Kwadrateren geeft
\(x = 4\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

max. is \(f(4) = 1 \text{.}\)

1p

b

\(x ≥ 0\) geeft \(x ≥ 0 \text{,}\) dus \(D_{f} = [0 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

○

max. is \(f(4) = 1 \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 1] \text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 8 x + 81 \over 2 x} \text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 8 x + 81 \over 2 x} = {4 x^{2} \over 2 x} + {8 x \over 2 x} + {81 \over 2 x} = 2 x + 4 + \frac{81}{2} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = 2 + \frac{81}{2} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = 2 - {81 \over 2 x^{2}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(2 - {81 \over 2 x^{2}} = 0\)
\(\frac{2}{1} = {81 \over 2 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(4 x^{2} = 81\)
\(x^{2} = \frac{81}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{81}{4}} = 4\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{81}{4}} = -4\frac{1}{2}\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(-4\frac{1}{2}) = -14\) en max. is \(f(4\frac{1}{2}) = 22 \text{.}\)

1p
"