Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

vwo wiskunde B	6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken
Extreme waarden bepalen (5)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 50 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = 3 x^{2} + 18 x + 15\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(3 x^{2} + 18 x + 15 = 0\) \(x^{2} + 6 x + 5 = 0\) \((x + 5) (x + 1) = 0\) \(x = -5 ∨ x = -1\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-5) = 75\) en min. is \(f(-1) = 43 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 32 x^{3} + 90 x^{2} - 16 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = 12 x^{3} - 96 x^{2} + 180 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(12 x^{3} - 96 x^{2} + 180 x = 0\) \(x^{3} - 8 x^{2} + 15 x = 0\) \(x (x - 3) (x - 5) = 0\) \(x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = 5\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(0) = -16 \text{,}\) max. is \(f(3) = 173\) en min. is \(f(5) = 109 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{4}{5} x^{5} - 1\frac{2}{3} x^{3} - 6 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 4 x^{4} - 5 x^{2} - 6\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 4 (\sqrt{2})^{4} - 5 (\sqrt{2})^{2} - 6 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{4 x + 2} \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms - data pool: #142 (1ms) a \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{4 x + 2} = \frac{1}{2} x - (4 x + 2)^{\frac{1}{2}}\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ⋅ (4 x + 2)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 4 = \frac{1}{2} - {2 \over \sqrt{4 x + 2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{1}{2} - {2 \over \sqrt{4 x + 2}} = 0\) \(-{2 \over \sqrt{4 x + 2}} = -\frac{1}{2}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(\sqrt{4 x + 2} = 4\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(4 x + 2 = 16\) \(x = 3\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(3\frac{1}{2}) = -2\frac{1}{4} \text{.}\) 1p b \(4 x + 2 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-\frac{1}{2} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ min. is \(f(3\frac{1}{2}) = -2\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-2\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is de functie \(f(x) = {5 x^{2} + 9 x + 80 \over 9 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {5 x^{2} + 9 x + 80 \over 9 x} = {5 x^{2} \over 9 x} + {9 x \over 9 x} + {80 \over 9 x} = \frac{5}{9} x + 1 + \frac{80}{9} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{5}{9} + \frac{80}{9} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{5}{9} - {80 \over 9 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{5}{9} - {80 \over 9 x^{2}} = 0\) \(\frac{5}{9} = {80 \over 9 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(45 x^{2} = 720\) \(x^{2} = 16\) \(x = \sqrt{16} = 4 ∨ x = -\sqrt{16} = -4\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-4) = -3\frac{4}{9}\) en max. is \(f(4) = 5\frac{4}{9} \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

6.4 Raaklijnen, toppen, rakende en loodrecht snijdende grafieken

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 50 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)

00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = 3 x^{2} + 18 x + 15\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(3 x^{2} + 18 x + 15 = 0\)
\(x^{2} + 6 x + 5 = 0\)
\((x + 5) (x + 1) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = -1\)

○

Schets:

○

max. is \(f(-5) = 75\) en min. is \(f(-1) = 43 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} - 32 x^{3} + 90 x^{2} - 16 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)

00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = 12 x^{3} - 96 x^{2} + 180 x\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} - 96 x^{2} + 180 x = 0\)
\(x^{3} - 8 x^{2} + 15 x = 0\)
\(x (x - 3) (x - 5) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = 3 ∨ x = 5\)

○

Schets:

○

min. is \(f(0) = -16 \text{,}\) max. is \(f(3) = 173\) en min. is \(f(5) = 109 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{4}{5} x^{5} - 1\frac{2}{3} x^{3} - 6 x \text{.}\)

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen

00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 4 x^{4} - 5 x^{2} - 6\)

○

\(f'(\sqrt{2}) = 4 (\sqrt{2})^{4} - 5 (\sqrt{2})^{2} - 6 = 0\)

○

Schets:

○

\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{4 x + 2} \text{.}\)

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)

00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms - data pool: #142 (1ms)

\(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{4 x + 2} = \frac{1}{2} x - (4 x + 2)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ⋅ (4 x + 2)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 4 = \frac{1}{2} - {2 \over \sqrt{4 x + 2}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {2 \over \sqrt{4 x + 2}} = 0\)
\(-{2 \over \sqrt{4 x + 2}} = -\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4 x + 2} = 4\)

○

Kwadrateren geeft
\(4 x + 2 = 16\)
\(x = 3\frac{1}{2}\)

○

Schets:

○

min. is \(f(3\frac{1}{2}) = -2\frac{1}{4} \text{.}\)

\(4 x + 2 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-\frac{1}{2} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

○

min. is \(f(3\frac{1}{2}) = -2\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-2\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {5 x^{2} + 9 x + 80 \over 9 x} \text{.}\)

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)

00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {5 x^{2} + 9 x + 80 \over 9 x} = {5 x^{2} \over 9 x} + {9 x \over 9 x} + {80 \over 9 x} = \frac{5}{9} x + 1 + \frac{80}{9} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{5}{9} + \frac{80}{9} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{5}{9} - {80 \over 9 x^{2}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{5}{9} - {80 \over 9 x^{2}} = 0\)
\(\frac{5}{9} = {80 \over 9 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(45 x^{2} = 720\)
\(x^{2} = 16\)
\(x = \sqrt{16} = 4 ∨ x = -\sqrt{16} = -4\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-4) = -3\frac{4}{9}\) en max. is \(f(4) = 5\frac{4}{9} \text{.}\)