Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (4)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-2 , -1)\) en \(B (3 , -2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-2 - 3)^{2} + (-1 - -2)^{2}} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-7 , 5)\) en de lijn \(l{:}\,6 x + 8 y = 9 \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn (2) 00t0 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A , l) = \frac{\vert 6 \cdot -7+40-9 \vert}{\sqrt{6^{2}+8^{2}}} = \frac{11}{\sqrt{100}} = 1\frac{1}{10}\) 1p opgave 3 Gegeven is de lijn \(l{:}\,8 x + 6 y = 6 \text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van de punten \(P\) op de lijn \(y = 2\) die op afstand \(5\) van \(l\) liggen. PuntenOpGegevenAfstandVanLijn 00t1 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ \(P (p , 2)\) is een punt op de lijn \(y = 2 \text{.}\) \(d(P , l) = \frac{\vert 8 p+6 \cdot 2-6 \vert}{8^{2}+6^{2}} = {\vert 8 p+6 \vert \over 10}\) 1p ○ \(d(P , l) = 5\) geeft \({\vert 8 p+6 \vert \over 10} = 5\) \(\vert 8 p+6 \vert = 50\) 1p ○ \(8 p + 6 = 50 ∨ 8 p + 6 = -50\) \(8 p = 44 ∨ 8 p = -56\) \(p = 5\frac{1}{2} ∨ p = -7\) 1p ○ Dus \(P_{1} (5\frac{1}{2} , 2)\) en \(P_{2} (-7 , 2) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met de hoekpunten \(A (4 , 1) \text{,}\) \(B (-6 , -8)\) en \(C (5 , -3) \text{.}\) 6p Bereken exact de oppervlakte van \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C \text{.}\) OppervlakteVanDriehoek 00t3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-6-4)^{2}+(-8-1)^{2}} = \sqrt{181}\) 1p ○ Lijn \(l\) door \(A\) en \(B\) heeft \(\text{rc}_{l} = {\Delta y \over \Delta x} = {-8 - 1 \over -6 - 4} = \frac{9}{10}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{9}{10} x + b \\ \text{door } A (4 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{9}{10} ⋅ 4 + b = 1 \\ 3\frac{3}{5} + b = 1 \\ b = -2\frac{3}{5}\end{matrix}\) 1p ○ \(y = {9 \over 10} x-2\frac{3}{5}\) geeft \({9 \over 10} x-y-2\frac{3}{5} = 0\) oftewel \(9 x-10 y-26 = 0\) 1p ○ \(d(l , C) = \frac{\vert 9 \cdot 5-10 \cdot -3-26 \vert}{\sqrt{9^{2}+(-10)^{2}}} = \frac{49}{\sqrt{181}}\) 1p ○ \(O(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C) = {1 \over 2} \sqrt{181} \cdot \frac{49}{\sqrt{181}} = 24\frac{1}{2} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 2 = 0\) en het punt \(A (0 , 1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 7\) Dus \(M (-2 , -1)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-2 - 0)^{2} + (-1 - 1)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{8} - \sqrt{7} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 19\) en het punt \(A (-1 , -3) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (3 , -1)\) en \(r = \sqrt{19} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-1 - 3)^{2} + (-3 - -1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x + 12 y + 37 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 7)^{2} + (y - 1)^{2} = 5 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y + 6)^{2} = 8\) Dus \(M_{1} (-3 , -6)\) en \(r_{1} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (7 , 1) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-3 - 7)^{2} + (-6 - 1)^{2}} = \sqrt{149} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{5} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{149}-\sqrt{8}-\sqrt{5} = \sqrt{149}-\sqrt{5}-2 \sqrt{2} \text{.}\) 1p

"