Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(3\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{6}{3}=20\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(4\) korte en \(3\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\) 1p 1p c Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(5\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^5=32\) 1p 2p d Sara maakt een letterrijtje van \(10\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met minstens \(8\) B's? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(8\) wil zeggen \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=56\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(7\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{13}{7}=1\,716\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{9}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{2}⋅\binom{9}{6}=3\,024\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{6}⋅\binom{9}{7}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{13}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{19}{13}-\binom{10}{6}⋅\binom{9}{7}=19\,572\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(3\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{6}{3}=20\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(4\) korte en \(3\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(5\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^5=32\)

Sara maakt een letterrijtje van \(10\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met minstens \(8\) B's?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(8\) wil zeggen \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=56\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(7\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{13}{7}=1\,716\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{9}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{2}⋅\binom{9}{6}=3\,024\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{6}⋅\binom{9}{7}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{13}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{19}{13}-\binom{10}{6}⋅\binom{9}{7}=19\,572\)