Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(9\) borden waarvan \(5\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\) 1p 1p b Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(3\) keer kop en \(2\) keer munt te gooien? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{3+2}{3}=10\) 1p 1p c Sara maakt een letterrijtje van \(6\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^6=64\) 1p 2p d Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(8\) signalen zijn er mogelijk met minstens \(6\) lange signalen? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\) of \(8\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=37\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{9}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{4}⋅\binom{9}{6}=10\,584\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{2}⋅\binom{10}{7}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{9}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{18}{9}-\binom{8}{2}⋅\binom{10}{7}=45\,260\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(9\) borden waarvan \(5\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\)

Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(3\) keer kop en \(2\) keer munt te gooien?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{3+2}{3}=10\)

Sara maakt een letterrijtje van \(6\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^6=64\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(8\) signalen zijn er mogelijk met minstens \(6\) lange signalen?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\) of \(8\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=37\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{9}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{4}⋅\binom{9}{6}=10\,584\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{2}⋅\binom{10}{7}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{9}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{18}{9}-\binom{8}{2}⋅\binom{10}{7}=45\,260\)