Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Bij een wedstrijd zijn in totaal \(5\) doelpunten gemaakt, waarvan team A \(3\) keer scoorde. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms a \(\text{aantal}=\binom{5}{3}=10\) 1p 1p b Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(5\) keer kop en \(5\) keer munt te gooien? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{5+5}{5}=252\) 1p 1p c Sara maakt een letterrijtje van \(6\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^6=64\) 1p 2p d Een slinger bestaat uit \(10\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken met minstens \(8\) rode vlaggetjes? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(8\) wil zeggen \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=56\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(5\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{11}{6}=462\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{12}{5}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{6}⋅\binom{12}{5}=66\,528\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{6}⋅\binom{9}{5}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{17}{11}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{17}{11}-\binom{8}{6}⋅\binom{9}{5}=8\,848\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Bij een wedstrijd zijn in totaal \(5\) doelpunten gemaakt, waarvan team A \(3\) keer scoorde. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms

\(\text{aantal}=\binom{5}{3}=10\)

Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(5\) keer kop en \(5\) keer munt te gooien?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{5+5}{5}=252\)

Sara maakt een letterrijtje van \(6\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^6=64\)

Een slinger bestaat uit \(10\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken met minstens \(8\) rode vlaggetjes?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(8\) wil zeggen \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=56\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(5\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{11}{6}=462\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{12}{5}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{6}⋅\binom{12}{5}=66\,528\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{6}⋅\binom{9}{5}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{17}{11}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{17}{11}-\binom{8}{6}⋅\binom{9}{5}=8\,848\)