Getal & Ruimte (13e editie) - vwo wiskunde A

'Formule bij tabellen opstellen'.

8.2 Tabellen en groei

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(15{,}01\)	\(14{,}63\)	\(14{,}25\)	\(13{,}87\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (1)

00jz - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(14{,}63-15{,}01=-0{,}38\)

○

\(14{,}25-14{,}63=-0{,}38\)
\(13{,}87-14{,}25=-0{,}38\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-0{,}38\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=15{,}01\text{.}\)

○

Dus \(y=-0{,}38x+15{,}01\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(2\,019\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)
\(N\)	\(18{,}77\)	\(24{,}21\)	\(31{,}24\)	\(40{,}29\)	\(51{,}98\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Neem \(t=0\) in \(2\,019\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (1)

00k1 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\({24{,}21 \over 18{,}77}≈1{,}29\)

○

\({31{,}24 \over 24{,}21}≈1{,}29\)
\({40{,}29 \over 31{,}24}≈1{,}29\)
\({51{,}98 \over 40{,}29}≈1{,}29\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(N=b⋅g^t\) met \(g=1{,}29\)

○

\(b\) is de waarde bij \(t=0\text{,}\) dus \(b=18{,}77\text{.}\)

○

Dus \(N=18{,}77⋅1{,}29^t\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(68{,}38\)	\(49{,}92\)	\(36{,}44\)	\(26{,}60\)	\(19{,}42\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,021\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (1)

00k3 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({49{,}92 \over 68{,}38}≈0{,}73\)

○

\({36{,}44 \over 49{,}92}≈0{,}73\)
\({26{,}60 \over 36{,}44}≈0{,}73\)
\({19{,}42 \over 26{,}60}≈0{,}73\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}73\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=68{,}38\text{.}\)

○

Dus \(y=68{,}38⋅0{,}73^x\text{.}\)

vwo wiskunde A

1.3 Interpoleren, extrapoleren en evenredigheid

Formule bij tabellen opstellen (4)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(4\)	\(9\)	\(12\)	\(18\)	\(20\)
\(N\)	\(23{,}03\)	\(19{,}73\)	\(17{,}75\)	\(13{,}79\)	\(12{,}47\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (2)

00k0 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta N \over \Delta t}={19{,}73-23{,}03 \over 9-4}=-0{,}66\)

○

\({\Delta N \over \Delta t}={17{,}75-19{,}73 \over 12-9}=-0{,}66\)
\({\Delta N \over \Delta t}={13{,}79-17{,}75 \over 18-12}=-0{,}66\)
\({\Delta N \over \Delta t}={12{,}47-13{,}79 \over 20-18}=-0{,}66\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(N=at+b\) met \(a=-0{,}66\)

○

\(\begin{rcases}N=-0{,}66t+b \\ t=4\text{ en }N=23{,}03\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}66⋅4+b=23{,}03 \\ -2{,}64+b=23{,}03 \\ b=25{,}67\end{matrix}\)

○

Dus \(N=-0{,}66t+25{,}67\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(2\)	\(5\)	\(10\)	\(14\)
\(N\)	\(15{,}16\)	\(37{,}90\)	\(75{,}80\)	\(106{,}12\)

Toon aan dat de tabel bij een recht evenredig verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Evenredig

00k5 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\({N \over t}={15{,}16 \over 2}=7{,}58\)

○

\({N \over t}={37{,}90 \over 5}=7{,}58\)
\({N \over t}={75{,}80 \over 10}=7{,}58\)
\({N \over t}={106{,}12 \over 14}=7{,}58\)

○

De verhoudingen zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een recht evenredig verband.

\(N=at\)

○

\(a=7{,}58\)

○

\(N=7{,}58t\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(12\)	\(15\)
\(N\)	\(23{,}10\)	\(11{,}55\)	\(7{,}70\)	\(3{,}85\)	\(3{,}08\)

Toon aan dat de tabel bij een omgekeerd evenredig verband hoort.

Stel de formule op van \(N\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

OmgekeerdEvenredig

00k6 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

\(t⋅N=2⋅23{,}10=46{,}20\)

○

\(t⋅N=4⋅11{,}55=46{,}20\)
\(t⋅N=6⋅7{,}70=46{,}20\)
\(t⋅N=12⋅3{,}85=46{,}20\)
\(t⋅N=15⋅3{,}08=46{,}20\)

○

De producten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een omgekeerd evenredig verband.

\(N={a \over t}\)

○

\(a=46{,}2\)

○

\(N={46{,}2 \over t}\)

opgave 4

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(4\)	\(9\)	\(10\)	\(13\)
\(K\)	\(32{,}12\)	\(72{,}27\)	\(80{,}30\)	\(104{,}39\)

Onderzoek of bij de tabel bij een recht evenredig of een omgekeerd evenredig verband hoort.

Stel de formule op van \(K\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

RechtOfOmgekeerdEvenredig

00k7 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({K \over q}={32{,}12 \over 4}=8{,}03\)

○

\({K \over q}={72{,}27 \over 9}=8{,}03\)
\({K \over q}={80{,}30 \over 10}=8{,}03\)
\({K \over q}={104{,}39 \over 13}=8{,}03\)

○

De verhoudingen zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een recht evenredig verband.

\(K=aq\)

○

\(a=8{,}03\)

○

\(K=8{,}03q\)