Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 17 x + 2\frac{1}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 17 x + 2\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + x - 17 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -5\) geeft \(x^{2} + x - 17 = -5\) \(x^{2} + x - 12 = 0\) \((x + 4) (x - 3) = 0\) \(x = -4 ∨ x = 3 \text{.}\) 1p ○ \(f(-4) = 57 \text{,}\) dus \(A (-4 , 57) \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = -35\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(B (3 , -35\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-9 \over 4 x + 9}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #536 (24ms) ○ \(f(-3) = 3 \text{,}\) dus \(A (-3 , 3)\) 1p ○ \(f(x) = {-9 \over 4 x + 9} = -9 (4 x + 9)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -9 ⋅ -1 ⋅ (4 x + 9)^{-2} ⋅ 4 = {36 \over (4 x + 9)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-3) = 4\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (-3 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{4} ⋅ -3 + b = 3 \\ \frac{3}{4} + b = 3 \\ b = 2\frac{1}{4}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{4} x + 2\frac{1}{4} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 2\frac{1}{4})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 4 x + 4\) en \(g(x) = -x^{2} - x + 2 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 17ms - data pool: #503 (16ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 4 x + 4 = -x^{2} - x + 2\) \(2 x^{2} + 5 x + 2 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 5^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9\) geeft \(x = {-5 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-5 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = 0\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 1\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-2 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -2 + b = 0 \\ -6 + b = 0 \\ b = 6\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 3 x + 6 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 4 x + 4 = 3 x + 6\) \(x^{2} + x - 2 = 0\) \((x + 2) (x - 1) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 1\) 1p ○ \(x_{C} = 1 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(1) = 9\) en \(C (1 , 9) \text{.}\) 1p

"