Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 19 x + \frac{5}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 19 x + \frac{5}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 2 x - 19 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -4\) geeft \(x^{2} + 2 x - 19 = -4\) \(x^{2} + 2 x - 15 = 0\) \((x + 5) (x - 3) = 0\) \(x = -5 ∨ x = 3 \text{.}\) 1p ○ \(f(-5) = 79\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(A (-5 , 79\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = -38\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(B (3 , -38\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {3 \over x + 6}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -5 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms) ○ \(f(-5) = 3 \text{,}\) dus \(A (-5 , 3)\) 1p ○ \(f(x) = {3 \over x + 6} = 3 (x + 6)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 3 ⋅ -1 ⋅ (x + 6)^{-2} ⋅ 1 = {-3 \over (x + 6)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-5) = -3\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{3} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{3} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (-5 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{3} ⋅ -5 + b = 3 \\ -1\frac{2}{3} + b = 3 \\ b = 4\frac{2}{3}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{3} x + 4\frac{2}{3} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 4\frac{2}{3})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 2 x + 4\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x + 5 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - 2 x + 4 = -x^{2} - 3 x + 5\) \(2 x^{2} + x - 1 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 1^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -1 = 9\) geeft \(x = {-1 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {-1 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 7\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 3\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -x + b \\ \text{door } A (-1 , 7)\end{rcases} \begin{matrix}-1 ⋅ -1 + b = 7 \\ 1 + b = 7 \\ b = 6\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -x + 6 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - 2 x + 4 = -x + 6\) \(x^{2} - x - 2 = 0\) \((x + 1) (x - 2) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 2\) 1p ○ \(x_{C} = 2 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(2) = 4\) en \(C (2 , 4) \text{.}\) 1p

"