Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 7 x + 3\frac{2}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 7 x + 3\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - x - 7 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = 5\) geeft \(x^{2} - x - 7 = 5\) \(x^{2} - x - 12 = 0\) \((x + 3) (x - 4) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 4 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = 11\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(A (-3 , 11\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(4) = -11 \text{,}\) dus \(B (4 , -11) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over 4 x - 7}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 2 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 31ms - data pool: #536 (30ms) ○ \(f(2) = 1 \text{,}\) dus \(A (2 , 1)\) 1p ○ \(f(x) = {1 \over 4 x - 7} = 1 (4 x - 7)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 1 ⋅ -1 ⋅ (4 x - 7)^{-2} ⋅ 4 = {-4 \over (4 x - 7)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(2) = -4\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{4} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{4} ⋅ 2 + b = 1 \\ \frac{2}{4} + b = 1 \\ b = \frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , \frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 5 x + 5\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x - 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 20ms - data pool: #503 (20ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 5 x + 5 = -x^{2} - 3 x - 1\) \(2 x^{2} + 8 x + 6 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 8^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 16\) geeft \(x = {-8 - \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = -3 ∨ x = {-8 + \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = -1\) 1p ○ \(x_{A} = -3 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-3) = -1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 3\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-3) = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-3 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -3 + b = -1 \\ -9 + b = -1 \\ b = 8\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 3 x + 8 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 5 x + 5 = 3 x + 8\) \(x^{2} + 2 x - 3 = 0\) \((x + 3) (x - 1) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 1\) 1p ○ \(x_{C} = 1 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(1) = 11\) en \(C (1 , 11) \text{.}\) 1p

"