Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3\frac{1}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 3\frac{1}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 5 x + 2 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -4\) geeft \(x^{2} + 5 x + 2 = -4\) \(x^{2} + 5 x + 6 = 0\) \((x + 3) (x + 2) = 0\) \(x = -3 ∨ x = -2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = 10\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(A (-3 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(-2) = 6\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B (-2 , 6\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {8 \over 2 x - 8}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 5 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 23ms - data pool: #536 (23ms) ○ \(f(5) = 4 \text{,}\) dus \(A (5 , 4)\) 1p ○ \(f(x) = {8 \over 2 x - 8} = 8 (2 x - 8)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 8 ⋅ -1 ⋅ (2 x - 8)^{-2} ⋅ 2 = {-16 \over (2 x - 8)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(5) = -4\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{4} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (5 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{4} ⋅ 5 + b = 4 \\ 1\frac{1}{4} + b = 4 \\ b = 2\frac{3}{4}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{4} x + 2\frac{3}{4} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 2\frac{3}{4})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 3 x + 2\) en \(g(x) = -x^{2} - 2 x + 5 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 15ms - data pool: #503 (15ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 3 x + 2 = -x^{2} - 2 x + 5\) \(2 x^{2} + 5 x - 3 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 5^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -3 = 49\) geeft \(x = {-5 - \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = -3 ∨ x = {-5 + \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -3 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-3) = 2\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 2\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-3) = 4 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 4 x + b \\ \text{door } A (-3 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}4 ⋅ -3 + b = 2 \\ -12 + b = 2 \\ b = 14\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 4 x + 14 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 3 x + 2 = 4 x + 14\) \(x^{2} - x - 12 = 0\) \((x + 3) (x - 4) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 4\) 1p ○ \(x_{C} = 4 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(4) = 30\) en \(C (4 , 30) \text{.}\) 1p

"