Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{2}x^2+17x+\frac{2}{3}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(5\text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3\frac{1}{2}x^2+17x+\frac{2}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+7x+17\text{.}\) 1p ○ \(f'(x)=5\) geeft \(x^2+7x+17=5\) \(x^2+7x+12=0\) \((x+4)(x+3)=0\) \(x=-4∨x=-3\text{.}\) 1p ○ \(f(-4)=-32\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(A(-4, -32\frac{2}{3})\text{.}\) 1p ○ \(f(-3)=-27\frac{5}{6}\text{,}\) dus \(B(-3, -27\frac{5}{6})\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)={-10 \over 5x-10}\) en het punt \(A\) met \(x_A=3\text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 48ms - data pool: #536 (48ms) ○ \(f(3)=-2\text{,}\) dus \(A(3, -2)\) 1p ○ \(f(x)={-10 \over 5x-10}=-10(5x-10)^{-1}\) geeft \(f'(x)=-10⋅-1⋅(5x-10)^{-2}⋅5={50 \over (5x-10)^2}\) 2p ○ \(\text{rc}_k=f'(3)=2\) 1p ○ \(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{2}x+b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(3, -2)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{2}⋅3+b=-2 \\ -1\frac{1}{2}+b=-2 \\ b=-\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\text{.}\) 1p ○ \(B(0, -\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2-x-1\) en \(g(x)=-x^2-2x+5\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #503 (23ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^2-x-1=-x^2-2x+5\) \(2x^2+x-6=0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=1^2-4⋅2⋅-6=49\) geeft \(x={-1-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-2∨x={-1+\sqrt{49} \over 2⋅2}=1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=5\) 1p ○ \(g'(x)=-2x-2\) 1p ○ \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=2x+b \\ \text{door }A(-2, 5)\end{rcases}\begin{matrix}2⋅-2+b=5 \\ -4+b=5 \\ b=9\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=2x+9\text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^2-x-1=2x+9\) \(x^2-3x-10=0\) \((x+2)(x-5)=0\) \(x=-2∨x=5\) 1p ○ \(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=19\) en \(C(5, 19)\text{.}\) 1p

"