Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

havo wiskunde B 3.2 De sinusregel

Sinus- en cosinusregel (6)

opgave 1

3p

a

P65°Q53°R19?Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=19\text{,}\) \(\angle P=65\degree\) en \(\angle Q=53\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




SinusregelZijdeInScherp
007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

a

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\)

1p

○

Dus \(P\kern{-.8pt}R={Q\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle P)}={19⋅\sin(53\degree) \over \sin(65\degree)}\text{.}\)

1p

○

\(P\kern{-.8pt}R≈16{,}7\text{.}\)

1p

3p

b

A33°B96°C10?Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=10\text{,}\) \(\angle A=33\degree\) en \(\angle B=96\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




SinusregelZijdeInStomp
007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

b

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={10⋅\sin(96\degree) \over \sin(33\degree)}\text{.}\)

1p

○

\(A\kern{-.8pt}C≈18{,}3\text{.}\)

1p

3p

c

R34°P?Q1626Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=16\text{,}\) \(Q\kern{-.8pt}R=26\) en \(\angle R=34\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{P}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




SinusregelHoekInScherp
007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

c

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\)

1p

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle P)={Q\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle R) \over P\kern{-.8pt}Q}={26⋅\sin(34\degree) \over 16}=0{,}908...\text{.}\)

1p

○

Dit geeft \(\angle P≈65{,}3\degree\) of \(\angle P≈114{,}7\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle P\) een scherpe hoek is, dus \(\angle P≈65{,}3\degree\text{.}\)

1p

3p

d

Q29°R?P814Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=8\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=14\) en \(\angle Q=29\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




SinusregelHoekInStomp
007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

d

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

1p

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle R)={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over P\kern{-.8pt}R}={14⋅\sin(29\degree) \over 8}=0{,}848...\text{.}\)

1p

○

Dit geeft \(\angle R≈58{,}0\degree\) of \(\angle R≈122{,}0\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle R\) een stompe hoek is, dus \(\angle R≈122{,}0\degree\text{.}\)

1p

opgave 2

4p

a

C65°AB56°?23Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=23\text{,}\) \(\angle C=65\degree\) en \(\angle B=56\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




SinusregelZijdeNaHoekInScherp
007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

a

Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-65\degree-56\degree=59\degree\text{.}\)

1p

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={23⋅\sin(65\degree) \over \sin(59\degree)}\text{.}\)

1p

○

\(A\kern{-.8pt}B≈24{,}3\text{.}\)

1p

4p

b

Q56°RP32°?45Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=45\text{,}\) \(\angle Q=56\degree\) en \(\angle P=32\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




SinusregelZijdeNaHoekInStomp
007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

b

Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-56\degree-32\degree=92\degree\text{.}\)

1p

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

1p

○

Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={45⋅\sin(56\degree) \over \sin(92\degree)}\text{.}\)

1p

○

\(P\kern{-.8pt}R≈37{,}3\text{.}\)

1p
havo wiskunde B 3.3 De cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (4)

opgave 1

3p

a

RP81°Q2740?Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=27\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=40\) en \(\angle P=81\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




CosinusregelZijdeInScherp
007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

a

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}Q^2-2⋅P\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}Q⋅\cos(\angle P)\text{.}\)

1p

○

Dus \(Q\kern{-.8pt}R^2=27^2+40^2-2⋅27⋅40⋅\cos(81\degree)=1991{,}101...\text{.}\)

1p

○

\(Q\kern{-.8pt}R=\sqrt{1991{,}101...}≈44{,}6\text{.}\)

1p

3p

b

KL104°M2925?Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=29\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=25\) en \(\angle L=104\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




CosinusregelZijdeInStomp
007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

b

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

1p

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M^2=29^2+25^2-2⋅29⋅25⋅\cos(104\degree)=1816{,}786...\text{.}\)

1p

○

\(K\kern{-.8pt}M=\sqrt{1816{,}786...}≈42{,}6\text{.}\)

1p

4p

c

MK?L303434Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=30\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L=34\) en \(L\kern{-.8pt}M=34\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




CosinusregelHoekInScherp
007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

c

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}L^2-2⋅K\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}L⋅\cos(\angle K)\text{.}\)

1p

○

Invullen geeft \(34^2=30^2+34^2-2⋅30⋅34⋅\cos(\angle K)\)
dus \(1\,156=2\,056-2\,040⋅\cos(\angle K)\text{.}\)

1p

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle K)={1\,156-2\,056 \over -2\,040}=0{,}441...\)

1p

○

Hieruit volgt \(\angle K=\cos^{-1}(0{,}441...)≈63{,}8\degree\text{.}\)

1p

4p

d

KL?M512963Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=51\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=29\) en \(K\kern{-.8pt}M=63\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.




CosinusregelHoekInStomp
007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

d

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

1p

○

Invullen geeft \(63^2=51^2+29^2-2⋅51⋅29⋅\cos(\angle L)\)
dus \(3\,969=3\,442-2\,958⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

1p

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle L)={3\,969-3\,442 \over -2\,958}=-0{,}178...\)

1p

○

Hieruit volgt \(\angle L=\cos^{-1}(-0{,}178...)≈100{,}3\degree\text{.}\)

1p
"