Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

havo wiskunde B	3.2 De sinusregel
Sinus- en cosinusregel (6)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 23 \text{,}\) \(\angle L = 59\degree\) en \(\angle M = 79\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L = {K\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle M) \over \sin(\angle L)} = {23 ⋅ \sin(79\degree) \over \sin(59\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L ≈ 26{,}3 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 30 \text{,}\) \(\angle Q = 36\degree\) en \(\angle R = 116\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {P\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle Q)} = {30 ⋅ \sin(116\degree) \over \sin(36\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q ≈ 45{,}9 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L = 15 \text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M = 24\) en \(\angle M = 27\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{K} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms c De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle K) = {L\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L} = {24 ⋅ \sin(27\degree) \over 15} = 0{,}726... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle K ≈ 46{,}6\degree\) of \(\angle K ≈ 133{,}4\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een scherpe hoek is, dus \(\angle K ≈ 46{,}6\degree \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q = 13 \text{,}\) \(Q\kern{-.8pt}R = 22\) en \(\angle R = 36\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{P} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle P) = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over P\kern{-.8pt}Q} = {22 ⋅ \sin(36\degree) \over 13} = 0{,}994... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle P ≈ 84{,}1\degree\) of \(\angle P ≈ 95{,}9\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle P\) een stompe hoek is, dus \(\angle P ≈ 95{,}9\degree \text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 24 \text{,}\) \(\angle R = 65\degree\) en \(\angle Q = 37\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 65\degree - 37\degree = 78\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {24 ⋅ \sin(65\degree) \over \sin(78\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q ≈ 22{,}2 \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q = 36 \text{,}\) \(\angle Q = 33\degree\) en \(\angle P = 31\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle Q + \angle R + \angle P = 180\degree\) volgt \(\angle R = 180\degree - \angle Q - \angle P = 180\degree - 33\degree - 31\degree = 116\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}R = {P\kern{-.8pt}Q ⋅ \sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)} = {36 ⋅ \sin(33\degree) \over \sin(116\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}R ≈ 21{,}8 \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	3.3 De cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (4)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 19 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 25\) en \(\angle M = 86\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L^{2} = 19^{2} + 25^{2} - 2 ⋅ 19 ⋅ 25 ⋅ \cos(86\degree) = 919{,}731... \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L = \sqrt{919{,}731...} ≈ 30{,}3 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 35 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 27\) en \(\angle A = 121\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 35^{2} + 27^{2} - 2 ⋅ 35 ⋅ 27 ⋅ \cos(121\degree) = 2927{,}421... \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{2927{,}421...} ≈ 54{,}1 \text{.}\) 1p 4p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 16 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L = 15\) en \(L\kern{-.8pt}M = 19 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{K} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms c De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^{2} = K\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}L^{2} - 2 ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}L ⋅ \cos(\angle K) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(19^{2} = 16^{2} + 15^{2} - 2 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ \cos(\angle K)\) dus \(361 = 481 - 480 ⋅ \cos(\angle K) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle K) = {361 - 481 \over -480} = 0{,}25\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle K = \cos^{-1}(0{,}25) ≈ 75{,}5\degree \text{.}\) 1p 4p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 19 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L = 12\) en \(L\kern{-.8pt}M = 24 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{K} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^{2} = K\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}L^{2} - 2 ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}L ⋅ \cos(\angle K) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(24^{2} = 19^{2} + 12^{2} - 2 ⋅ 19 ⋅ 12 ⋅ \cos(\angle K)\) dus \(576 = 505 - 456 ⋅ \cos(\angle K) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle K) = {576 - 505 \over -456} = -0{,}155...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle K = \cos^{-1}(-0{,}155...) ≈ 99{,}0\degree \text{.}\) 1p

"