Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 10 y + 21 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (6 , 7) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 13\)
Dus \(M (3 , 5)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 7 \over 3 - 6} = \frac{2}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{2}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (6 , 7)\end{rcases} \begin{matrix}7 = -1\frac{1}{2} ⋅ 6 + b \\ 7 = -9 + b \\ b = 16\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + 16 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 y - 8 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 4\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 y - 8 = 0 \\ x = 4\end{rcases}\) geeft
\(4^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 4 - 6 y - 8 = 0\)
\(1 y^{2} + -6 y + 8 = 0\)
\((y + -2) (y + -4) = 0\)
\(y = 2 ∨ y = 4\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (4 , 4)\) en \(B (4 , 2) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^{2} + (y - 3)^{2} - 9 - 8 = 0\)
\(x^{2} + (y - 3)^{2} = 17\)
Dus \(M (0 , 3) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 2 \over 0 - 4} = -\frac{1}{4} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = -\frac{1}{4}\end{rcases} \text{rc}_{l} = 4\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = 4 x + b \\ \text{door } B (4 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}2 = 4 ⋅ 4 + b \\ 2 = 16 + b \\ b = -14\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 4 x - 14 \text{.}\)

1p
"