Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y - 5 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (1 , 8) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 25\)
Dus \(M (-2 , 4)\) en \(r = \sqrt{25} = 5 \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 8 \over -2 - 1} = 1\frac{1}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 1\frac{1}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{3}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -\frac{3}{4} x + b \\ \text{door } A (1 , 8)\end{rcases} \begin{matrix}8 = -\frac{3}{4} ⋅ 1 + b \\ 8 = -\frac{3}{4} + b \\ b = 8\frac{3}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{3}{4} x + 8\frac{3}{4} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 7 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 7\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 7 = 0 \\ x = 7\end{rcases}\) geeft
\(7^{2} + y^{2} - 8 ⋅ 7 + 4 y + 7 = 0\)
\(y^{2} + 4 y = 0\)
\(y (y + 4) = 0\)
\(y = 0 ∨ y = -4\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (7 , 0)\) en \(B (7 , -4) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x - 4)^{2} - 16 + (y + 2)^{2} - 4 + 7 = 0\)
\((x - 4)^{2} + (y + 2)^{2} = 13\)
Dus \(M (4 , -2) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-2 - 0 \over 4 - 7} = \frac{2}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp k \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{k} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = \frac{2}{3}\end{rcases} \text{rc}_{k} = -1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (7 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}0 = -1\frac{1}{2} ⋅ 7 + b \\ 0 = -10\frac{1}{2} + b \\ b = 10\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + 10\frac{1}{2} \text{.}\)

1p
"