Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-2y-12=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(-1, 5)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+2)^2+(y-1)^2=17\)
Dus \(M(-2, 1)\) en \(r=\sqrt{17}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={1-5 \over -2--1}=4\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=4\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }A(-1, 5)\end{rcases}\begin{matrix}5=-\frac{1}{4}⋅-1+b \\ 5=\frac{1}{4}+b \\ b=4\frac{3}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{4}x+4\frac{3}{4}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-2y-8=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=0\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2+6x-2y-8=0 \\ x=0\end{rcases}\) geeft
\(0^2+y^2+6⋅0-2y-8=0\)
\(y^2-2y-8=0\)
\((y+2)(y-4)=0\)
\(y=-2∨y=4\)

1p

○

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(0, 4)\) en \(B(0, -2)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x+3)^2-9+(y-1)^2-1-8=0\)
\((x+3)^2+(y-1)^2=18\)
Dus \(M(-3, 1)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={1-4 \over -3-0}=1\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=1\end{rcases}\text{rc}_l=-1\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y=-x+b \\ \text{door }A(0, 4)\end{rcases}\begin{matrix}4=-1⋅0+b \\ 4=0+b \\ b=4\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-x+4\text{.}\)

1p
"