Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 2 y + 13 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (8 , 3) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 13\)
Dus \(M (5 , 1)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {1 - 3 \over 5 - 8} = \frac{2}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{2}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (8 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}3 = -1\frac{1}{2} ⋅ 8 + b \\ 3 = -12 + b \\ b = 15\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + 15 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 40 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 7\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y - 40 = 0 \\ x = 7\end{rcases}\) geeft
\(7^{2} + y^{2} - 6 ⋅ 7 - 8 y - 40 = 0\)
\(1 y^{2} + -8 y + -33 = 0\)
\((y + 3) (y + -11) = 0\)
\(y = -3 ∨ y = 11\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (7 , 11)\) en \(B (7 , -3) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x - 3)^{2} - 9 + (y - 4)^{2} - 16 - 40 = 0\)
\((x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 65\)
Dus \(M (3 , 4) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 11 \over 3 - 7} = 1\frac{3}{4} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = 1\frac{3}{4}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{4}{7}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{4}{7} x + b \\ \text{door } A (7 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = -\frac{4}{7} ⋅ 7 + b \\ 11 = -4 + b \\ b = 15\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{4}{7} x + 15 \text{.}\)

1p
"