Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x - 12 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (4 , 2) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 1)^{2} + y^{2} = 13\)
Dus \(M (1 , 0)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {0 - 2 \over 1 - 4} = \frac{2}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{2}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (4 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}2 = -1\frac{1}{2} ⋅ 4 + b \\ 2 = -6 + b \\ b = 8\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{2} x + 8 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y - 33 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 2\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y - 33 = 0 \\ x = 2\end{rcases}\) geeft
\(2^{2} + y^{2} - 2 ⋅ 2 - 8 y - 33 = 0\)
\(1 y^{2} + -8 y + -33 = 0\)
\((y + 3) (y + -11) = 0\)
\(y = -3 ∨ y = 11\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (2 , 11)\) en \(B (2 , -3) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x - 1)^{2} - 1 + (y - 4)^{2} - 16 - 33 = 0\)
\((x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 50\)
Dus \(M (1 , 4) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - -3 \over 1 - 2} = -7 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = -7\end{rcases} \text{rc}_{l} = \frac{1}{7}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = \frac{1}{7} x + b \\ \text{door } B (2 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}-3 = \frac{1}{7} ⋅ 2 + b \\ -3 = \frac{2}{7} + b \\ b = -3\frac{2}{7}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{7} x - 3\frac{2}{7} \text{.}\)

1p
"