Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (2)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10y=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(3, -1)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y+5)^2=25\)
Dus \(M(0, -5)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-5--1 \over 0-3}=1\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=1\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{3}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{3}{4}x+b \\ \text{door }A(3, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=-\frac{3}{4}⋅3+b \\ -1=-2\frac{1}{4}+b \\ b=1\frac{1}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{3}{4}x+1\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-4=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-1\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2+6x-4=0 \\ x=-1\end{rcases}\) geeft
\((-1)^2+y^2+6⋅-1-4=0\)
\(y^2-9=0\)
\(y^2=9\)
\(y=-3∨y=3\)

1p

○

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-1, 3)\) en \(B(-1, -3)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x+3)^2-9+y^2-4=0\)
\((x+3)^2+y^2=13\)
Dus \(M(-3, 0)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={0-3 \over -3--1}=1\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp k\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_k=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=1\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_k=-\frac{2}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y=-\frac{2}{3}x+b \\ \text{door }A(-1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=-\frac{2}{3}⋅-1+b \\ 3=\frac{2}{3}+b \\ b=2\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y=-\frac{2}{3}x+2\frac{1}{3}\text{.}\)

1p
"