Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

havo wiskunde B 8.4 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\sin(4x+\frac{1}{2}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 41ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(4x+\frac{1}{2}\pi =k⋅\pi \)

1p

○

\(4x=-\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)
\(x=-\frac{1}{8}\pi +k⋅\frac{1}{4}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{8}\pi ∨x=\frac{3}{8}\pi ∨x=\frac{5}{8}\pi ∨x=\frac{7}{8}\pi ∨x=1\frac{1}{8}\pi ∨x=1\frac{3}{8}\pi ∨x=1\frac{5}{8}\pi ∨x=1\frac{7}{8}\pi \)

1p

4p

b

\(5\cos(2x-\frac{1}{6}\pi )=-2\frac{1}{2}\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\cos(2x-\frac{1}{6}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{1}{6}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨2x-\frac{1}{6}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi ∨2x=-\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{5}{12}\pi +k⋅\pi ∨x=-\frac{1}{4}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{5}{12}\pi ∨x=1\frac{5}{12}\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi ∨x=1\frac{3}{4}\pi \)

1p

4p

c

\(3\cos(\frac{3}{4}\pi x-\frac{1}{4}\pi )=-1\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{3}{4}\pi x-\frac{1}{4}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}\pi x-\frac{1}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}\pi x-\frac{1}{4}\pi =1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}\pi x=\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}\pi x=1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=1\frac{1}{3}+k⋅2\frac{2}{3}∨x=2+k⋅2\frac{2}{3}\)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{1}{3}∨x=4∨x=2∨x=4\frac{2}{3}\)

1p

4p

d

\(-2\sin(\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\pi )=-\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}x+\frac{1}{6}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{3}x=\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{2}\pi +k⋅6\pi ∨x=1\frac{1}{2}\pi +k⋅6\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{2}\pi ∨x=1\frac{1}{2}\pi \)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-4+3\sin(2x+\frac{1}{2}\pi )=-1\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(3\sin(2x+\frac{1}{2}\pi )=3\) dus \(\sin(2x+\frac{1}{2}\pi )=1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x+\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=k⋅2\pi \)
\(x=k⋅\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=0∨x=\pi ∨x=2\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\sin^2(2x+\frac{3}{4}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\sin(2x+\frac{3}{4}\pi )=1∨\sin(2x+\frac{3}{4}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x+\frac{3}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨2x+\frac{3}{4}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=-\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨2x=\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{1}{8}\pi +k⋅\pi ∨x=\frac{3}{8}\pi +k⋅\pi \)

1p

3p

b

\(\frac{7}{9}\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}\pi )\cos(3x+\frac{5}{6}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}\pi )=0∨\cos(3x+\frac{5}{6}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(1\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}\pi =k⋅\pi ∨3x+\frac{5}{6}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(1\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}\pi +k⋅\pi ∨3x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{8}{15}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=-\frac{1}{9}\pi +k⋅\frac{1}{3}\pi \)

1p
"