Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B 6.1 Raaklijnen en toppen

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 36 x + 20 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = 6 x^{2} - 30 x + 36\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(6 x^{2} - 30 x + 36 = 0\)
\(x^{2} - 5 x + 6 = 0\)
\((x - 2) (x - 3) = 0\)
\(x = 2 ∨ x = 3\)

1p

○

Schets:

Oxy23

1p

○

max. is \(f(2) = 48\) en min. is \(f(3) = 47 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 60 x^{2} + 27 \text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = 12 x^{3} + 36 x^{2} - 120 x\)

1p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} + 36 x^{2} - 120 x = 0\)
\(x^{3} + 3 x^{2} - 10 x = 0\)
\(x (x + 5) (x - 2) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = 2\)

1p

○

Schets:

Oxy-502

1p

○

min. is \(f(-5) = -1\,098 \text{,}\) max. is \(f(0) = 27\) en min. is \(f(2) = -69 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{5} x^{5} + x^{3} - 10 x \text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = x^{4} + 3 x^{2} - 10\)

1p

○

\(f'(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{4} + 3 (\sqrt{2})^{2} - 10 = 0\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

\(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x - \sqrt{x} \text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms)

a

\(f(x) = \frac{1}{3} x - \sqrt{x} = \frac{1}{3} x - x^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} ⋅ x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} - {1 \over 2 \sqrt{x}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{3} - {1 \over 2 \sqrt{x}} = 0\)
\(-{1 \over 2 \sqrt{x}} = -\frac{1}{3}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{x} = 3\)
\(\sqrt{x} = 1\frac{1}{2}\)

1p

○

Kwadrateren geeft
\(x = 2\frac{1}{4}\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(2\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4} \text{.}\)

1p

b

\(x ≥ 0\) geeft \(x ≥ 0 \text{,}\) dus \(D_{f} = [0 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

○

min. is \(f(2\frac{1}{4}) = -\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-\frac{3}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 25 \over 6 x} \text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 3 x + 25 \over 6 x} = {4 x^{2} \over 6 x} + {3 x \over 6 x} + {25 \over 6 x} = \frac{2}{3} x + \frac{1}{2} + \frac{25}{6} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{2}{3} + \frac{25}{6} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{2}{3} - {25 \over 6 x^{2}} \text{.}\)

2p

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{2}{3} - {25 \over 6 x^{2}} = 0\)
\(\frac{2}{3} = {25 \over 6 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(12 x^{2} = 75\)
\(x^{2} = \frac{25}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{25}{4}} = 2\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -2\frac{1}{2}\)

1p

○

Schets:

Oxy

1p

○

min. is \(f(-2\frac{1}{2}) = -2\frac{5}{6}\) en max. is \(f(2\frac{1}{2}) = 3\frac{5}{6} \text{.}\)

1p
"