Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (5)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{3} + 12 x + 11 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = -3 x^{2} + 12\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-3 x^{2} + 12 = 0\) \(x^{2} - 4 = 0\) \((x + 2) (x - 2) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 2\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-2) = -5\) en max. is \(f(2) = 27 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 32 x^{3} - 90 x^{2} + 21 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = -12 x^{3} - 96 x^{2} - 180 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-12 x^{3} - 96 x^{2} - 180 x = 0\) \(x^{3} + 8 x^{2} + 15 x = 0\) \(x (x + 5) (x + 3) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = -3\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-5) = -104 \text{,}\) min. is \(f(-3) = -168\) en max. is \(f(0) = 21 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{2}{5} x^{5} - 1\frac{2}{3} x^{3} - 3 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 2 x^{4} - 5 x^{2} - 3\) 1p ○ \(f'(\sqrt{3}) = 2 (\sqrt{3})^{4} - 5 (\sqrt{3})^{2} - 3 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{2 x - 5} \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms) a \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{2 x - 5} = \frac{1}{2} x - (2 x - 5)^{\frac{1}{2}}\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ⋅ (2 x - 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 2 = \frac{1}{2} - {1 \over \sqrt{2 x - 5}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{1}{2} - {1 \over \sqrt{2 x - 5}} = 0\) \(-{1 \over \sqrt{2 x - 5}} = -\frac{1}{2}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(\sqrt{2 x - 5} = 2\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(2 x - 5 = 4\) \(x = 4\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(4\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \text{.}\) 1p b \(2 x - 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ 2\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(D_{f} = [2\frac{1}{2} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ min. is \(f(4\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 10 x + 9 \over 7 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + 10 x + 9 \over 7 x} = {4 x^{2} \over 7 x} + {10 x \over 7 x} + {9 \over 7 x} = \frac{4}{7} x + \frac{10}{7} + \frac{9}{7} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{4}{7} + \frac{9}{7} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{7} - {9 \over 7 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{4}{7} - {9 \over 7 x^{2}} = 0\) \(\frac{4}{7} = {9 \over 7 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(28 x^{2} = 63\) \(x^{2} = \frac{9}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -1\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-1\frac{1}{2}) = -\frac{2}{7}\) en max. is \(f(1\frac{1}{2}) = 3\frac{1}{7} \text{.}\) 1p

havo wiskunde B

6.1 Raaklijnen en toppen

Extreme waarden bepalen (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{3} + 12 x + 11 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)

00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = -3 x^{2} + 12\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-3 x^{2} + 12 = 0\)
\(x^{2} - 4 = 0\)
\((x + 2) (x - 2) = 0\)
\(x = -2 ∨ x = 2\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-2) = -5\) en max. is \(f(2) = 27 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 32 x^{3} - 90 x^{2} + 21 \text{.}\)

Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)

00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms

○

\(f'(x) = -12 x^{3} - 96 x^{2} - 180 x\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(-12 x^{3} - 96 x^{2} - 180 x = 0\)
\(x^{3} + 8 x^{2} + 15 x = 0\)
\(x (x + 5) (x + 3) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -5 ∨ x = -3\)

○

Schets:

○

max. is \(f(-5) = -104 \text{,}\) min. is \(f(-3) = -168\) en max. is \(f(0) = 21 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{2}{5} x^{5} - 1\frac{2}{3} x^{3} - 3 x \text{.}\)

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen

00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

\(f'(x) = 2 x^{4} - 5 x^{2} - 3\)

○

\(f'(\sqrt{3}) = 2 (\sqrt{3})^{4} - 5 (\sqrt{3})^{2} - 3 = 0\)

○

Schets:

○

\(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{2 x - 5} \text{.}\)

Bereken exact de top van \(f \text{.}\)

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)

00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms)

\(f(x) = \frac{1}{2} x - \sqrt{2 x - 5} = \frac{1}{2} x - (2 x - 5)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} ⋅ (2 x - 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 2 = \frac{1}{2} - {1 \over \sqrt{2 x - 5}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{2} - {1 \over \sqrt{2 x - 5}} = 0\)
\(-{1 \over \sqrt{2 x - 5}} = -\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{2 x - 5} = 2\)

○

Kwadrateren geeft
\(2 x - 5 = 4\)
\(x = 4\frac{1}{2}\)

○

Schets:

○

min. is \(f(4\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \text{.}\)

\(2 x - 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ 2\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(D_{f} = [2\frac{1}{2} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

○

min. is \(f(4\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 10 x + 9 \over 7 x} \text{.}\)

Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)

00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms

○

Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 10 x + 9 \over 7 x} = {4 x^{2} \over 7 x} + {10 x \over 7 x} + {9 \over 7 x} = \frac{4}{7} x + \frac{10}{7} + \frac{9}{7} x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{4}{7} + \frac{9}{7} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{7} - {9 \over 7 x^{2}} \text{.}\)

○

\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{4}{7} - {9 \over 7 x^{2}} = 0\)
\(\frac{4}{7} = {9 \over 7 x^{2}}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(28 x^{2} = 63\)
\(x^{2} = \frac{9}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -1\frac{1}{2}\)

○

Schets:

○

min. is \(f(-1\frac{1}{2}) = -\frac{2}{7}\) en max. is \(f(1\frac{1}{2}) = 3\frac{1}{7} \text{.}\)