Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(3, -1)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-3)^2+(y+1)^2=36\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-3, -1)\) en \(A(-1, -5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-3--1)^2+(-1--5)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y+1)^2=20\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(4, 5)\) en \(B(-1, 6)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(4+-1), {1 \over 2}(5+6))=M(1\frac{1}{2}, 5\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(1\frac{1}{2}-4)^2+(5\frac{1}{2}-5)^2}=\sqrt{6\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-1\frac{1}{2})^2+(y-5\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-3, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=9\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(0, -4)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y+4)^2=49\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+14y+65=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+10x+14y+65=0\) \((x+5)^2-25+(y+7)^2-49+65=0\) \((x+5)^2+(y+7)^2=9\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-5, -7)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+7x-2y=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+7x-2y=0\) \((x+3\frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y-1)^2-1+0=0\) \((x+3\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=13\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-3\frac{1}{2}, 1)\) en \(r=\sqrt{13\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-20=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8x-20=0\) \((x-4)^2-16+y^2-20=0\) \((x-4)^2+y^2=36\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(4, 0)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+8y+36=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=7\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=7\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(7^2+y^2-10⋅7+8y+36=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+8y+15=0\) \((y+5)(y+3)=0\) \(y=-5∨y=-3\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(7, -3)\) en \(B(7, -5)\text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M(1, 6)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-1)^2+(y-6)^2=25\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-2x+1+y^2-12y+36=25\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-2x-12y+12=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅5+2=7\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(5, 7)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-7)^2=25\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-5+2=-3\) Middelpunt \(M_2(-5, -3)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+3)^2=25\) 1p

havo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (11)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(3, -1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(c{:}\,(x-3)^2+(y+1)^2=36\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(-3, -1)\) en \(A(-1, -5)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-3--1)^2+(-1--5)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y+1)^2=20\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(4, 5)\) en \(B(-1, 6)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(4+-1), {1 \over 2}(5+6))=M(1\frac{1}{2}, 5\frac{1}{2})\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(1\frac{1}{2}-4)^2+(5\frac{1}{2}-5)^2}=\sqrt{6\frac{1}{2}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-1\frac{1}{2})^2+(y-5\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{2}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(-3, 2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y-2)^2=9\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(0, -4)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,x^2+(y+4)^2=49\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+14y+65=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+10x+14y+65=0\)
\((x+5)^2-25+(y+7)^2-49+65=0\)
\((x+5)^2+(y+7)^2=9\text{.}\)

○

Dus \(M(-5, -7)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+7x-2y=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+7x-2y=0\)
\((x+3\frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y-1)^2-1+0=0\)
\((x+3\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=13\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(-3\frac{1}{2}, 1)\) en \(r=\sqrt{13\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-20=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-8x-20=0\)
\((x-4)^2-16+y^2-20=0\)
\((x-4)^2+y^2=36\text{.}\)

○

Dus \(M(4, 0)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+8y+36=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=7\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

PuntenMetGegevenCoordinaat

00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(x=7\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(7^2+y^2-10⋅7+8y+36=0\text{.}\)

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2+8y+15=0\)
\((y+5)(y+3)=0\)
\(y=-5∨y=-3\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(7, -3)\) en \(B(7, -5)\text{.}\)

opgave 10

Gegeven is het punt \(M(1, 6)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x-1)^2+(y-6)^2=25\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2-2x+1+y^2-12y+36=25\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-2x-12y+12=0\text{.}\)

opgave 11

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(x_M=5\) of \(x_M=-5\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅5+2=7\)

○

Middelpunt \(M_1(5, 7)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-5)^2+(y-7)^2=25\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-5+2=-3\)
Middelpunt \(M_2(-5, -3)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+5)^2+(y+3)^2=25\)