Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-5, 3)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+5)^2+(y-3)^2=16\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-3, 1)\) en \(A(-5, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-3--5)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y-1)^2=5\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-7, 6)\) en \(B(0, 4)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-7+0), {1 \over 2}(6+4))=M(-3\frac{1}{2}, 5)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-3\frac{1}{2}--7)^2+(5-6)^2}=\sqrt{13\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3\frac{1}{2})^2+(y-5)^2=13\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(3, 1)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=1\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-3)^2+(y-1)^2=1\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(-3, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+3)^2+y^2=49\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12x+2y+12=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+12x+2y+12=0\) \((x+6)^2-36+(y+1)^2-1+12=0\) \((x+6)^2+(y+1)^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-6, -1)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-5y+16=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-10x-5y+16=0\) \((x-5)^2-25+(y-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+16=0\) \((x-5)^2+(y-2\frac{1}{2})^2=15\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(5, 2\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{15\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10y-24=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-10y-24=0\) \(x^2+(y-5)^2-25-24=0\) \(x^2+(y-5)^2=49\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, 5)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-21=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=2\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=2\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(2^2+y^2+4⋅2-21=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2-9=0\) \((y+3)(y-3)=0\) \(y=-3∨y=3\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(2, 3)\) en \(B(2, -3)\text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M(0, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y-2)^2=9\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+y^2-4y+4=9\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-4y-5=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+5\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(y_M=2\) of \(y_M=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=4x+5 \\ y_M=2\end{rcases}\text{ geeft }4x+5=2\text{ dus }x_M=-\frac{3}{4}\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(-\frac{3}{4}, 2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x+\frac{3}{4})^2+(y-2)^2=4\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=4x+5 \\ y_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }4x+5=-2\text{ dus }x_M=-1\frac{3}{4}\) Middelpunt \(M_2(-1\frac{3}{4}, -2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+1\frac{3}{4})^2+(y+2)^2=4\) 1p

havo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (11)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(-5, 3)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-3)^2=16\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(-3, 1)\) en \(A(-5, 2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-3--5)^2+(1-2)^2}=\sqrt{5}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y-1)^2=5\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-7, 6)\) en \(B(0, 4)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-7+0), {1 \over 2}(6+4))=M(-3\frac{1}{2}, 5)\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-3\frac{1}{2}--7)^2+(5-6)^2}=\sqrt{13\frac{1}{4}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+3\frac{1}{2})^2+(y-5)^2=13\frac{1}{4}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(3, 1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=1\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-3)^2+(y-1)^2=1\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(-3, 0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x+3)^2+y^2=49\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12x+2y+12=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+12x+2y+12=0\)
\((x+6)^2-36+(y+1)^2-1+12=0\)
\((x+6)^2+(y+1)^2=25\text{.}\)

○

Dus \(M(-6, -1)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-5y+16=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10x-5y+16=0\)
\((x-5)^2-25+(y-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+16=0\)
\((x-5)^2+(y-2\frac{1}{2})^2=15\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(5, 2\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{15\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10y-24=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10y-24=0\)
\(x^2+(y-5)^2-25-24=0\)
\(x^2+(y-5)^2=49\text{.}\)

○

Dus \(M(0, 5)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-21=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=2\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)

Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\)

PuntenMetGegevenCoordinaat

00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(x=2\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\(2^2+y^2+4⋅2-21=0\text{.}\)

○

De vergelijking oplossen geeft
\(y^2-9=0\)
\((y+3)(y-3)=0\)
\(y=-3∨y=3\)
\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(2, 3)\) en \(B(2, -3)\text{.}\)

opgave 10

Gegeven is het punt \(M(0, 2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,x^2+(y-2)^2=9\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+y^2-4y+4=9\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2-4y-5=0\text{.}\)

opgave 11

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+5\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(y_M=2\) of \(y_M=-2\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=4x+5 \\ y_M=2\end{rcases}\text{ geeft }4x+5=2\text{ dus }x_M=-\frac{3}{4}\)

○

Middelpunt \(M_1(-\frac{3}{4}, 2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x+\frac{3}{4})^2+(y-2)^2=4\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=4x+5 \\ y_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }4x+5=-2\text{ dus }x_M=-1\frac{3}{4}\)
Middelpunt \(M_2(-1\frac{3}{4}, -2)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+1\frac{3}{4})^2+(y+2)^2=4\)