Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (11)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-7, 6)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+7)^2+(y-6)^2=4\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(3, -4)\) en \(A(1, -7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(3-1)^2+(-4--7)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-3)^2+(y+4)^2=13\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(0, 4)\) en \(B(3, 5)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(0+3), {1 \over 2}(4+5))=M(1\frac{1}{2}, 4\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(1\frac{1}{2}-0)^2+(4\frac{1}{2}-4)^2}=\sqrt{2\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-1\frac{1}{2})^2+(y-4\frac{1}{2})^2=2\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-6, 7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=6\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+6)^2+(y-7)^2=36\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(6, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-6)^2+y^2=16\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-12x+8y+48=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-12x+8y+48=0\) \((x-6)^2-36+(y+4)^2-16+48=0\) \((x-6)^2+(y+4)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(6, -4)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x-3y-9=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-2x-3y-9=0\) \((x-1)^2-1+(y-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}-9=0\) \((x-1)^2+(y-1\frac{1}{2})^2=12\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(1, 1\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{12\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12y+11=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+12y+11=0\) \(x^2+(y+6)^2-36+11=0\) \(x^2+(y+6)^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, -6)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven zijn het punt \(A(5, -3)\) en de lijn \(l{:}\,-x+2y=-1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(5, -3)\) die de lijn \(l{:}\,-x+2y=-1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - De vergelijking van een cirkel - basis - 127ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+y=c \\ A(5, -3)\end{rcases}c=2⋅5+1⋅-3=7\) Dus \(n{:}\,2x+y=7\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x+2y=-1 \\ 2x+y=7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x+4y=-2 \\ 2x+y=7\end{cases}\) Optellen geeft \(5y=5\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x+2y=-1 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x+2⋅1=-1 \\ x=3\end{matrix}\) Dus \(S(3, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-3)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(A(5, -3)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{20}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-5)^2+(y+3)^2=20\text{.}\) 1p opgave 10 Gegeven is het punt \(M(5, 0)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-5)^2+y^2=16\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-10x+25+y^2=16\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-10x+9=0\text{.}\) 1p opgave 11 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+5\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(x_M=4\) of \(x_M=-4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅4+5=9\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(4, 9)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-4)^2+(y-9)^2=16\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=x+5 \\ x_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-4+5=1\) Middelpunt \(M_2(-4, 1)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+4)^2+(y-1)^2=16\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (1)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+8y+28=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-3\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) GegevenRaakpunt (2) 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=-3\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \((-3)^2+y^2+10⋅-3+8y+28=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+8y+7=0\) \((y+7)(y+1)=0\) \(y=-7∨y=-1\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-3, -1)\) en \(B(-3, -7)\text{.}\) 1p

"