Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Coëfficiënten in kwadratische formules'.

havo wiskunde B 4.2 De formule y=ax²+bx+c

Coëfficiënten in kwadratische formules (7)

opgave 1

Gegeven is de parabool \(f(x) = a x^{2} + 4 x - 2 \text{.}\)

2p

Voor welke \(a\) gaat \(f\) door het punt \(A (-3 , -5) \text{?}\)

GegevenPunt (1)
00nz - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 1ms

○

\(\begin{rcases}a x^{2} + 4 x - 2 \\ \text{door } A (-3 , -5)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ (-3)^{2} + 4 ⋅ -3 - 2 = -5\end{matrix}\)

1p

○

\(9 a - 14 = -5\)
\(9 a = 9\)
\(a = 1 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de parabool \(f(x) = 2 x^{2} + b x - 4 \text{.}\)

2p

Voor welke \(b\) gaat \(f\) door het punt \(A (3 , -10) \text{?}\)

GegevenPunt (2)
00o0 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 0ms

○

\(\begin{rcases}2 x^{2} + b x - 4 \\ \text{door } A (3 , -10)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ 3^{2} + b ⋅ 3 - 4 = -10\end{matrix}\)

1p

○

\(3 b + 14 = -10\)
\(3 b = -24\)
\(b = -8 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de parabool \(f(x) = -x^{2} + 4 x + c \text{.}\)

2p

Voor welke \(c\) gaat \(f\) door het punt \(A (-2 , -9) \text{?}\)

GegevenPunt (3)
00o1 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 0ms

○

\(\begin{rcases}-x^{2} + 4 x + c \\ \text{door } A (-2 , -9)\end{rcases} \begin{matrix}-1 ⋅ (-2)^{2} + 4 ⋅ -2 + c = -9\end{matrix}\)

1p

○

\(-12 + c = -9\)
\(c = 3 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de parabool \(f(x) = \frac{1}{4} x^{2} - 5 x + c \text{.}\)

3p

Bereken de waarde van \(c\) waarvoor geldt dat \(y_{\text{top}} = -26 \text{.}\)

GegevenTop (1)
00o2 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 5ms - data pool: #1080 (5ms)

○

\(x_{\text{top}} = {5 \over 2 ⋅ \frac{1}{4}} = 10\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f(10) = \frac{1}{4} ⋅ 10^{2} - 5 ⋅ 10 + c = -26\)

1p

○

\(-25 + c = -26\)
\(c = -1 \text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de parabool \(f(x) = -\frac{1}{4} x^{2} + b x + 9 \text{.}\)

4p

Bereken de waarde van \(b\) waarvoor geldt dat \(y_{\text{top}} = 10 \text{.}\)

GegevenTop (2)
00o3 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 4ms - data pool: #310 (4ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-b \over 2 ⋅ -\frac{1}{4}} = 2 b\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f(2 b) = -\frac{1}{4} ⋅ (2 b)^{2} + b ⋅ 2 b + 9 = 10\)

1p

○

\(b^{2} + 9 = 10\)
\(b^{2} = 1\)

1p

○

\(b = 1 ∨ b = -1 \text{.}\)

1p

opgave 6

De parabool \(f(x) = a x^{2} + x + c\) gaat door de punten \((-4 , 57)\) en \((2 , 15) \text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch \(a\) en \(c \text{.}\)

WiskundigModel (1)
00o4 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 2ms

○

\(f(-4) = a ⋅ (-4)^{2} - 4 + c = 57\)
\(16 a - 4 + c = 57\)
\(16 a + c = 61\)

1p

○

\(f(2) = a ⋅ 2^{2} + 2 + c = 15\)
\(4 a + 2 + c = 15\)
\(4 a + c = 13\)

1p

○

\(\begin{cases}16 a + c = 61 \\ 4 a + c = 13\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(12 a = 48 \text{,}\) dus \(a = 4 \text{.}\)

1p

○

Invullen geeft \(c = 61 - 16 ⋅ 4 = -3 \text{.}\)

1p

opgave 7

De parabool \(f(x) = a x^{2} + b x - 5\) gaat door de punten \((-2 , 7)\) en \((3 , 37) \text{.}\)

5p

Bereken algebraïsch \(a\) en \(b \text{.}\)

WiskundigModel (2)
00o5 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 1ms

○

\(f(-2) = a ⋅ (-2)^{2} + b ⋅ -2 - 5 = 7\)
\(4 a - 2 b - 5 = 7\)
\(4 a - 2 b = 12\)

1p

○

\(f(3) = a ⋅ 3^{2} + b ⋅ 3 - 5 = 37\)
\(9 a + 3 b - 5 = 37\)
\(9 a + 3 b = 42\)

1p

○

\(\begin{cases}4 a - 2 b = 12 \\ 9 a + 3 b = 42\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft

1p

○

\(\begin{cases}12 a - 6 b = 36 \\ 18 a + 6 b = 84\end{cases}\)
Optellen geeft \(30 a = 120 \text{,}\) dus \(a = 4 \text{.}\)

1p

○

Invullen geeft \(4 ⋅ 4 - 2 b = 12\)
\(-2 b = -4\)
\(b = 2 \text{.}\)

1p
"