Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (3 , -4)\) en \(B (6 , -9) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(3 - 6)^{2} + (-4 - -9)^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-4 , 4)\) en de lijn \(l{:}\,3 x + y = 2 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (58ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 3 y = c \\ A (-4 , 4)\end{rcases} c = 1 ⋅ -4 - 3 ⋅ 4 = -16\) Dus \(n{:}\,x - 3 y = -16 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + y = 2 \\ x - 3 y = -16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x + y = 2 \\ 3 x - 9 y = -48\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = 50\) dus \(y = 5 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + y = 2 \\ y = 5\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 1 ⋅ 5 = 2 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , 5) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-4 - -1)^{2} + (4 - 5)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 y + 10 = 0\) en het punt \(A (0 , -5) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 7\) Dus \(M (4 , -1)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (-1 - -5)^{2}} = \sqrt{32} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{32} - \sqrt{7} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 2\) en het punt \(A (-1 , -2) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (1 , -3)\) en \(r = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-1 - 1)^{2} + (-2 - -3)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 20\) en de lijn \(l{:}\,4 x - 3 y = -5 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (58ms) ○ \(M (2 , -4)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3 x - 4 y = c \\ M (2 , -4)\end{rcases} c = -3 ⋅ 2 - 4 ⋅ -4 = 10\) Dus \(n{:}\,-3 x - 4 y = 10 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x - 3 y = -5 \\ -3 x - 4 y = 10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12 x - 9 y = -15 \\ -12 x - 16 y = 40\end{cases}\) Optellen geeft \(-25 y = 25\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x - 3 y = -5 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 3 ⋅ -1 = -5 \\ x = -2\end{matrix}\) Dus \(S (-2 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(2 - -2)^{2} + (-4 - -1)^{2}} = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{25}-\sqrt{20} = 5-2 \sqrt{5} \text{.}\) 1p

"