Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (2 , 4)\) en \(B (-1 , 2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(2 - -1)^{2} + (4 - 2)^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (4 , 2)\) en de lijn \(l{:}\,3 x + y = 4 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (49ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 3 y = c \\ A (4 , 2)\end{rcases} c = 1 ⋅ 4 - 3 ⋅ 2 = -2\) Dus \(n{:}\,x - 3 y = -2 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + y = 4 \\ x - 3 y = -2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x + y = 4 \\ 3 x - 9 y = -6\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = 10\) dus \(y = 1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + y = 4 \\ y = 1\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 1 ⋅ 1 = 4 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , 1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y + 38 = 0\) en het punt \(A (-6 , 3) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 3\) Dus \(M (-4 , 5)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -6)^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{8} - \sqrt{3} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 45\) en het punt \(A (7 , 1) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (3 , -4)\) en \(r = \sqrt{45} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(7 - 3)^{2} + (1 - -4)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 3\) en de lijn \(l{:}\,x - 2 y = 3 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (49ms) ○ \(M (4 , 3)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ M (4 , 3)\end{rcases} c = -2 ⋅ 4 - 1 ⋅ 3 = -11\) Dus \(n{:}\,-2 x - y = -11 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 2 y = 3 \\ -2 x - y = -11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = 6 \\ -2 x - y = -11\end{cases}\) Optellen geeft \(-5 y = -5\) dus \(y = 1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 2 y = 3 \\ y = 1\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 1 = 3 \\ x = 5\end{matrix}\) Dus \(S (5 , 1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(4 - 5)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{5} - \sqrt{3} \text{.}\) 1p

"