Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-4, -3)\) en \(B(-8, -6)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-4--8)^2+(-3--6)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-3, 4)\) en de lijn \(l{:}\,x-3y=5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3x-y=c \\ A(-3, 4)\end{rcases}c=-3⋅-3-1⋅4=5\) Dus \(n{:}\,-3x-y=5\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-3y=5 \\ -3x-y=5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3x-9y=15 \\ -3x-y=5\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=20\) dus \(y=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-3y=5 \\ y=-2\end{rcases}\begin{matrix}x-3⋅-2=5 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, -2)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3--1)^2+(4--2)^2}=\sqrt{40}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-4y+4=0\) en het punt \(A(5, 4)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y-2)^2=9\) Dus \(M(3, 2)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(3-5)^2+(2-4)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8}<\sqrt{9}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=3-\sqrt{8}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-3)^2+(y+4)^2=41\) en het punt \(A(-2, -8)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(3, -4)\) en \(r=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-2-3)^2+(-8--4)^2}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+3)^2+(y-3)^2=2\) en de lijn \(l{:}\,2x-y=1\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (127ms) ○ \(M(-3, 3)\) en \(r=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-2y=c \\ M(-3, 3)\end{rcases}c=-1⋅-3-2⋅3=-3\) Dus \(n{:}\,-x-2y=-3\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-y=1 \\ -x-2y=-3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-y=1 \\ -2x-4y=-6\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=-5\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-y=1 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}2x-1⋅1=1 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{20}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p

"