Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-3 , -4)\) en \(B (-4 , -9) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-3 - -4)^{2} + (-4 - -9)^{2}} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (3 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,x + 2 y = 3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2 x - y = c \\ A (3 , -5)\end{rcases} c = 2 ⋅ 3 - 1 ⋅ -5 = 11\) Dus \(n{:}\,2 x - y = 11 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x + 2 y = 3 \\ 2 x - y = 11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + 4 y = 6 \\ 2 x - y = 11\end{cases}\) Aftrekken geeft \(5 y = -5\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x + 2 y = 3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x + 2 ⋅ -1 = 3 \\ x = 5\end{matrix}\) Dus \(S (5 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(3 - 5)^{2} + (-5 - -1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 = 0\) en het punt \(A (-5 , -4) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 1)^{2} + y^{2} = 7\) Dus \(M (-1 , 0)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-1 - -5)^{2} + (0 - -4)^{2}} = \sqrt{32} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{32} - \sqrt{7} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 17\) en het punt \(A (-1 , 2) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M (3 , 4)\) en \(r = \sqrt{17} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-1 - 3)^{2} + (2 - 4)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 2\) en de lijn \(l{:}\,4 x - 2 y = 2 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (57ms) ○ \(M (4 , 2)\) en \(r = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - 4 y = c \\ M (4 , 2)\end{rcases} c = -2 ⋅ 4 - 4 ⋅ 2 = -16\) Dus \(n{:}\,-2 x - 4 y = -16 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x - 2 y = 2 \\ -2 x - 4 y = -16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 2 y = 2 \\ -4 x - 8 y = -32\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = -30\) dus \(y = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x - 2 y = 2 \\ y = 3\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 2 ⋅ 3 = 2 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , 3) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (2 - 3)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{5} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p

"