Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (3 , 5) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 3)^{2} + (1 - 5)^{2}} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-5 , -4)\) en de lijn \(l{:}\,x - 3 y = -3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (51ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3 x - y = c \\ A (-5 , -4)\end{rcases} c = -3 ⋅ -5 - 1 ⋅ -4 = 19\) Dus \(n{:}\,-3 x - y = 19 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 3 y = -3 \\ -3 x - y = 19\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x - 9 y = -9 \\ -3 x - y = 19\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 10\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 3 y = -3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x - 3 ⋅ -1 = -3 \\ x = -6\end{matrix}\) Dus \(S (-6 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-5 - -6)^{2} + (-4 - -1)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 4 y + 10 = 0\) en het punt \(A (4 , 3) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 3\) Dus \(M (3 , 2)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(3 - 4)^{2} + (2 - 3)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{3} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{3} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 15\) en het punt \(A (-2 , -3) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (1 , -4)\) en \(r = \sqrt{15} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-2 - 1)^{2} + (-3 - -4)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 16\) en de lijn \(l{:}\,4 x - y = 5 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (51ms) ○ \(M (5 , -2)\) en \(r = 4 \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x - 4 y = c \\ M (5 , -2)\end{rcases} c = -1 ⋅ 5 - 4 ⋅ -2 = 3\) Dus \(n{:}\,-x - 4 y = 3 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x - y = 5 \\ -x - 4 y = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - y = 5 \\ -4 x - 16 y = 12\end{cases}\) Optellen geeft \(-17 y = 17\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x - y = 5 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 1 ⋅ -1 = 5 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{17} - 4 \text{.}\) 1p

"