Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(3, -1)\) en \(B(-2, 0)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(3--2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-5, 5)\) en de lijn \(l{:}\,-4x+2y=-5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+4y=c \\ A(-5, 5)\end{rcases}c=2⋅-5+4⋅5=10\) Dus \(n{:}\,2x+4y=10\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-4x+2y=-5 \\ 2x+4y=10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x+2y=-5 \\ 4x+8y=20\end{cases}\) Optellen geeft \(10y=15\) dus \(y=1\frac{1}{2}\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-4x+2y=-5 \\ y=1\frac{1}{2}\end{rcases}\begin{matrix}-4x+2⋅1\frac{1}{2}=-5 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 1\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-5-2)^2+(5-1\frac{1}{2})^2}=\sqrt{61\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn het punt \(A(3, -2)\) en de lijn \(l{:}\,4x+2y=-2\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(3, -2)\) die de lijn \(l{:}\,4x+2y=-2\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x-4y=c \\ A(3, -2)\end{rcases}c=2⋅3-4⋅-2=14\) Dus \(n{:}\,2x-4y=14\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}4x+2y=-2 \\ 2x-4y=14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x+2y=-2 \\ 4x-8y=28\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10y=-30\) dus \(y=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4x+2y=-2 \\ y=-3\end{rcases}\begin{matrix}4x+2⋅-3=-2 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, -3)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(3-1)^2+(-2--3)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(A(3, -2)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{5}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-3)^2+(y+2)^2=5\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x-8y+7=0\) en het punt \(A(4, 6)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+(y-4)^2=13\) Dus \(M(2, 4)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(2-4)^2+(4-6)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8}<\sqrt{13}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{13}-\sqrt{8}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+3)^2+(y+2)^2=17\) en het punt \(A(-7, -3)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-3, -2)\) en \(r=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-7--3)^2+(-3--2)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p

"