Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-1, 4)\) en \(B(1, 0)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-1-1)^2+(4-0)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(4, 2)\) en de lijn \(l{:}\,-3x+2y=5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+3y=c \\ A(4, 2)\end{rcases}c=2⋅4+3⋅2=14\) Dus \(n{:}\,2x+3y=14\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-3x+2y=5 \\ 2x+3y=14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-6x+4y=10 \\ 6x+9y=42\end{cases}\) Optellen geeft \(13y=52\) dus \(y=4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-3x+2y=5 \\ y=4\end{rcases}\begin{matrix}-3x+2⋅4=5 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 4)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(4-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn het punt \(A(-5, -2)\) en de lijn \(l{:}\,-x-2y=-1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(-5, -2)\) die de lijn \(l{:}\,-x-2y=-1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 141ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2x+y=c \\ A(-5, -2)\end{rcases}c=-2⋅-5+1⋅-2=8\) Dus \(n{:}\,-2x+y=8\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x-2y=-1 \\ -2x+y=8\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x-4y=-2 \\ -2x+y=8\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-5y=-10\) dus \(y=2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x-2y=-1 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}-x-2⋅2=-1 \\ x=-3\end{matrix}\) Dus \(S(-3, 2)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-5--3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(A(-5, -2)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{20}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x+5)^2+(y+2)^2=20\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+6y+4=0\) en het punt \(A(-3, -7)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y+3)^2=6\) Dus \(M(1, -3)\) en \(r=\sqrt{6}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(1--3)^2+(-3--7)^2}=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-\sqrt{6}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+4)^2+(y+3)^2=16\) en het punt \(A(-2, -6)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-4, -3)\) en \(r=4\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-2--4)^2+(-6--3)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p

"