Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(2, 3)\) en \(B(-3, 4)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(2--3)^2+(3-4)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, 2)\) en de lijn \(l{:}\,2x+4y=-2\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (97ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,4x-2y=c \\ A(5, 2)\end{rcases}c=4⋅5-2⋅2=16\) Dus \(n{:}\,4x-2y=16\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x+4y=-2 \\ 4x-2y=16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x+8y=-4 \\ 4x-2y=16\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10y=-20\) dus \(y=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x+4y=-2 \\ y=-2\end{rcases}\begin{matrix}2x+4⋅-2=-2 \\ x=3\end{matrix}\) Dus \(S(3, -2)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-3)^2+(2--2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (3)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+6y+6=0\) en het punt \(A(1, -1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+1)^2+(y+3)^2=4\) Dus \(M(-1, -3)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-1-1)^2+(-3--1)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{8}-2\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y+3)^2=6\) en het punt \(A(0, -2)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-2, -3)\) en \(r=\sqrt{6}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(0--2)^2+(-2--3)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+4)^2+(y+5)^2=3\) en de lijn \(l{:}\,x-2y=1\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms - data pool: #788 (97ms) ○ \(M(-4, -5)\) en \(r=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ M(-4, -5)\end{rcases}c=-2⋅-4-1⋅-5=13\) Dus \(n{:}\,-2x-y=13\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-2y=1 \\ -2x-y=13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=2 \\ -2x-y=13\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=15\) dus \(y=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-2y=1 \\ y=-3\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅-3=1 \\ x=-5\end{matrix}\) Dus \(S(-5, -3)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-4--5)^2+(-5--3)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{5}-\sqrt{3}\text{.}\) 1p

"