Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde A 9.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per uur met \(5{,}8\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}} = 1 + {5{,}8 \over 100} = 1{,}058 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}058^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}058^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 12{,}294...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(12{,}3\) uur.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(1{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {1{,}9 \over 100} = 0{,}981 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}981^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}981^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 36{,}133...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(36{,}1\) kwartier.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(15{,}7\) uur.

3p

Bereken de procentuele toename per uur.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{15{,}7} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{15{,}7}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}045...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}045... - 1) × 100\% = 4{,}5\%\) per uur.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(15{,}8\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele afname per kwartier.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{15{,}8} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{15{,}8}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}957...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}957... - 1) × 100\% = -4{,}3\%\) dus een procentuele afname van \(4{,}3\%\) per kwartier.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(1{,}9\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(69\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = 1 + {1{,}9 \over 100} = 1{,}019 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(69\%\) komt overeen met een factor \(1 + {69 \over 100} = 1{,}69 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}019^{t} = 1{,}69 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}019^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}69\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 27{,}878...\)

1p

○

Dus duurt het \(27{,}9\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(69\% \text{.}\)

1p
"