Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde A 9.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(1{,}8\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {1{,}8 \over 100} + 1 = 1{,}018 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}018^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}018^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 38{,}853...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(38{,}9\) minuten.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(1{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = {-1{,}4 \over 100} + 1 = 0{,}986 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}986^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}986^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 49{,}163...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(49{,}2\) seconden.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(12{,}8\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{12{,}8} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{12{,}8}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}055...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}055... - 1) × 100\% = 5{,}6\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(13{,}4\) uur.

3p

Bereken de procentuele afname per uur.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}4} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{13{,}4}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}949...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}949... - 1) × 100\% = -5{,}0\%\) dus een procentuele afname van \(5{,}0\%\) per uur.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(3{,}4\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(78\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = {3{,}4 \over 100} + 1 = 1{,}034 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(78\%\) komt overeen met een factor \({78 \over 100} + 1 = 1{,}78 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}034^{t} = 1{,}78 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}034^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}78\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 17{,}245...\)

1p

○

Dus duurt het \(17{,}2\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(78\% \text{.}\)

1p
"