Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een slinger bestaat uit \(6\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode vlaggetjes? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms a \(\text{aantal}=\binom{6}{3}=20\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(3\) korte en \(4\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{3+4}{3}=35\) 1p 1p c Beertje Pol eet \(4\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^4=16\) 1p 2p d Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(10\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B minstens \(8\) keer scoorde? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(8\) wil zeggen \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=56\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(5\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{8}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{7}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{8}{6}⋅\binom{11}{7}=9\,240\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{7}{4}⋅\binom{8}{6}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{15}{10}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{15}{10}-\binom{7}{4}⋅\binom{8}{6}=2\,023\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een slinger bestaat uit \(6\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode vlaggetjes?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms

\(\text{aantal}=\binom{6}{3}=20\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(3\) korte en \(4\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{3+4}{3}=35\)

Beertje Pol eet \(4\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^4=16\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(10\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B minstens \(8\) keer scoorde?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(8\) wil zeggen \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=56\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(5\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{8}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{7}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{8}{6}⋅\binom{11}{7}=9\,240\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{7}{4}⋅\binom{8}{6}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{15}{10}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{15}{10}-\binom{7}{4}⋅\binom{8}{6}=2\,023\)