Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(5\) borden waarvan \(4\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{5}{4}=5\) 1p 1p b Bij een wedstrijd tussen teams A en B was de eindstand \(3\) - \(2\text{.}\) Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{3+2}{3}=10\) 1p 1p c Een slinger bestaat uit \(10\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^{10}=1\,024\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(10\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er minstens \(7\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms d Minstens \(7\) wil zeggen \(7\text{,}\) \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{7}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=176\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(5\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{11}{6}=462\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{8}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{12}{7}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{8}{2}⋅\binom{12}{7}=22\,176\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7}⋅\binom{5}{2}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{9}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{18}{9}-\binom{13}{7}⋅\binom{5}{2}=31\,460\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(5\) borden waarvan \(4\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{5}{4}=5\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B was de eindstand \(3\) - \(2\text{.}\) Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{3+2}{3}=10\)

Een slinger bestaat uit \(10\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^{10}=1\,024\)

Beertje Pol eet \(10\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er minstens \(7\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms

Minstens \(7\) wil zeggen \(7\text{,}\) \(8\text{,}\) \(9\) of \(10\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{7}+\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}=176\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(5\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{11}{6}=462\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{8}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{12}{7}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{8}{2}⋅\binom{12}{7}=22\,176\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7}⋅\binom{5}{2}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{9}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{18}{9}-\binom{13}{7}⋅\binom{5}{2}=31\,460\)