Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(4\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{6}{4}=15\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(4\) korte en \(5\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+5}{4}=126\) 1p 1p c Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(4\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^4=16\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(8\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(2\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=37\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{13}{6}=1\,716\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{11}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{5}{2}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{11}{4}⋅\binom{5}{2}=3\,300\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{2}⋅\binom{11}{4}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{19}{6}-\binom{8}{2}⋅\binom{11}{4}=17\,892\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(4\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{6}{4}=15\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(4\) korte en \(5\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+5}{4}=126\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(4\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^4=16\)

Beertje Pol eet \(8\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(2\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}=37\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{13}{6}=1\,716\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{11}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{5}{2}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{11}{4}⋅\binom{5}{2}=3\,300\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{2}⋅\binom{11}{4}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{19}{6}-\binom{8}{2}⋅\binom{11}{4}=17\,892\)