Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Sara maakt een letterrijtje van \(8\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(4\) A's? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{8}{4}=70\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(3\) korte en \(3\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{3+3}{3}=20\) 1p 1p c Op een aanrecht staat een stapel van \(5\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^5=32\) 1p 2p d Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(9\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B minstens \(6\) keer scoorde? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\text{,}\) \(8\) of \(9\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{6}+\binom{9}{7}+\binom{9}{8}+\binom{9}{9}=130\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(7\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{10}{7}=120\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{11}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{5}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{11}{4}⋅\binom{8}{5}=18\,480\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{12}{7}⋅\binom{6}{4}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{11}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{18}{11}-\binom{12}{7}⋅\binom{6}{4}=19\,944\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Sara maakt een letterrijtje van \(8\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(4\) A's?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{8}{4}=70\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(3\) korte en \(3\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{3+3}{3}=20\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(5\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^5=32\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(9\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B minstens \(6\) keer scoorde?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\text{,}\) \(8\) of \(9\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{6}+\binom{9}{7}+\binom{9}{8}+\binom{9}{9}=130\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(7\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{10}{7}=120\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{11}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{5}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{11}{4}⋅\binom{8}{5}=18\,480\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{12}{7}⋅\binom{6}{4}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{11}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{18}{11}-\binom{12}{7}⋅\binom{6}{4}=19\,944\)