Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

havo wiskunde A 9.4 Herleiden en redeneren

Redeneren met grenswaarden (4)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {510 \over 21 + 16 ⋅ 1{,}74^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}74^{x}\) heel groot (want \(1{,}74 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(16 ⋅ 1{,}74^{x}\) heel groot
en dus wordt \(21 + 16 ⋅ 1{,}74^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({510 \over 21 + 16 ⋅ 1{,}74^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,377 \over 17 + 9 ⋅ 0{,}65^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}65^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}65 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(9 ⋅ 0{,}65^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(17 + 9 ⋅ 0{,}65^{x}\) naar \(17 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,377 \over 17 + 9 ⋅ 0{,}65^{x}}\) naar \({1\,377 \over 17} = 81\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(81 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 16 (1 - 0{,}57^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}57^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}57 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(1 - 0{,}57^{x}\) naar \(1 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(16 (1 - 0{,}57^{x})\) naar \(16 ⋅ 1 = 16\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(16 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 61 - {33 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({33 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(61 - {33 \over e^{x}}\) naar \(61\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(61 \text{.}\)

1p
"