Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

havo wiskunde A 9.4 Herleiden en redeneren

Redeneren met grenswaarden (4)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {510 \over 2 + 16 ⋅ 1{,}85^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}85^{x}\) heel groot (want \(1{,}85 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(16 ⋅ 1{,}85^{x}\) heel groot
en dus wordt \(2 + 16 ⋅ 1{,}85^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({510 \over 2 + 16 ⋅ 1{,}85^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {30 \over 3 - 20 ⋅ 0{,}45^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}45^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}45 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-20 ⋅ 0{,}45^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(3 - 20 ⋅ 0{,}45^{x}\) naar \(3 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({30 \over 3 - 20 ⋅ 0{,}45^{x}}\) naar \({30 \over 3} = 10\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 13 (4 + 0{,}69^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}69^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}69 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4 + 0{,}69^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(13 (4 + 0{,}69^{x})\) naar \(13 ⋅ 4 = 52\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(52 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 49 + {44 \over 1{,}65^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}65^{x}\) heel groot (want \(1{,}65 > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({44 \over 1{,}65^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(49 + {44 \over 1{,}65^{x}}\) naar \(49\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(49 \text{.}\)

1p
"