Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}6\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 275 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {2{,}6 \over 100} = 0{,}974 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 275 \text{.}\) 1p ○ \(y = 275 ⋅ 0{,}974^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.2 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 248\) en bij \(x = 5\) is \(y = 270 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({270 \over 248})^{{1 \over 5 - 3}} = 1{,}043...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}043...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 248\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}043...^{3} = 248 \\ b = {248 \over 1{,}043...^{3}} ≈ 218\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 218 ⋅ 1{,}043^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 312\) en bij \(x = 5\) is \(y = 271 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({271 \over 312})^{{1 \over 5 - 2}} = 0{,}954...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}954...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 312\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}954...^{2} = 312 \\ b = {312 \over 0{,}954...^{2}} ≈ 343\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 343 ⋅ 0{,}954^{x} \text{.}\) 1p opgave 24p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((2 , 40\,000)\) en \((8 , 800)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({800 \over 40\,000})^{{1 \over 8 - 2}} = 0{,}521...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}521...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 40\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}521...^{2} = 40\,000{,}00 \\ b = {40\,000{,}00 \over 0{,}521...^{2}} \\ b = 147361{,}259...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 147\,361 ⋅ 0{,}521^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Exponentiële en lineaire groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({15{,}02 \over 14{,}17} ≈ 1{,}06\) 1p ○ \({15{,}92 \over 15{,}02} ≈ 1{,}06\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}06\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 14{,}17 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 14{,}17 ⋅ 1{,}06^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(11{,}90 - 10{,}88 = 1{,}02\) 1p ○ \(12{,}92 - 11{,}90 = 1{,}02\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 1{,}02\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}88 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}02 x + 10{,}88\) 1p opgave 33p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 8\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (6 , 500) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 90) \text{.}\) 1p opgave 43p Teken de punten \(A (3 , 8\,000) \text{,}\) \(B (5 , 50\,000)\) en \(C (8 , 700\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p opgave 5Gegeven zijn de punten \((4 , 10)\) en \((6 , 4) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 27ms - data pool: #87 (27ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 10 \over 6 - 4} = -3\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } (4 , 10)\end{rcases} \begin{matrix}-3 ⋅ 4 + b = 10 \\ -12 + b = 10 \\ b = 22\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -3 x + 22\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({4 \over 10})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}632...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}632...^{x} \\ \text{door } (4 , 10)\end{rcases} \begin{matrix}10 = b ⋅ 0{,}632...^{4} \\ b = {10 \over 0{,}632...^{4}} \\ b = 62{,}5\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 62{,}5 ⋅ 0{,}632^{x} \text{.}\) 1p |