Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}6\%\) per seconde. Op \(x = 0\) is \(y = 244 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in seconden. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{seconde}} = 1 - {4{,}6 \over 100} = 0{,}954 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 244 \text{.}\) 1p ○ \(y = 244 ⋅ 0{,}954^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.2 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 492\) en bij \(x = 7\) is \(y = 587 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({587 \over 492})^{{1 \over 7 - 2}} = 1{,}035...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}035...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 492\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}035...^{2} = 492 \\ b = {492 \over 1{,}035...^{2}} ≈ 458\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 458 ⋅ 1{,}036^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 355\) en bij \(x = 8\) is \(y = 279 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({279 \over 355})^{{1 \over 8 - 3}} = 0{,}952...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}952...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 355\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}952...^{3} = 355 \\ b = {355 \over 0{,}952...^{3}} ≈ 410\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 410 ⋅ 0{,}953^{x} \text{.}\) 1p opgave 24p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 10\,000)\) en \((8 , 40)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({40 \over 10\,000})^{{1 \over 8 - 1}} = 0{,}454...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}454...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 10\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}454...^{1} = 10\,000{,}00 \\ b = {10\,000{,}00 \over 0{,}454...^{1}} \\ b = 22007{,}102...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 22\,007 ⋅ 0{,}454^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Exponentiële en lineaire groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({39{,}48 \over 55{,}60} ≈ 0{,}71\) 1p ○ \({28{,}03 \over 39{,}48} ≈ 0{,}71\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}71\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 55{,}60 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 55{,}60 ⋅ 0{,}71^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(14{,}45 - 13{,}97 = 0{,}48\) 1p ○ \(14{,}93 - 14{,}45 = 0{,}48\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 0{,}48\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}97 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 0{,}48 x + 13{,}97\) 1p opgave 33p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 8\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 700) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (7 , 10) \text{.}\) 1p opgave 43p Teken de punten \(A (3 , 9\,000) \text{,}\) \(B (5 , 400)\) en \(C (7 , 500\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p opgave 5Gegeven zijn de punten \((2 , 5)\) en \((4 , 2) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 38ms - data pool: #87 (38ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 5 \over 4 - 2} = -1{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1{,}5 x + b \\ \text{door } (2 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}5 ⋅ 2 + b = 5 \\ -3 + b = 5 \\ b = 8\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -1{,}5 x + 8\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({2 \over 5})^{{1 \over 4 - 2}} = 0{,}632...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}632...^{x} \\ \text{door } (2 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = b ⋅ 0{,}632...^{2} \\ b = {5 \over 0{,}632...^{2}} \\ b = 12{,}5\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 12{,}5 ⋅ 0{,}632^{x} \text{.}\) 1p |