Getal & Ruimte (13e editie) - 3 vwo

'Kwadratische vergelijkingen'.

2 vwo 7.3 Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen (10)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(q^2-4q-21=0\)

SomProductMethode
0005 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

De som-productmethode geeft \((q-7)(q+3)=0\)

1p

Hieruit volgt \(q=7∨q=-3\)

1p

2p

b

\((x-8)(x-5)=0\)

VermenigvuldigingIsNul (1)
0007 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(x-8=0∨x-5=0\) dus \(x=8∨x=5\)

2p

2p

c

\(x(x-7)=0\)

VermenigvuldigingIsNul (2)
0008 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(x=0∨x-7=0\) dus \(x=0∨x=7\)

2p

3p

d

\(q^2+27q=9q-32\)

SomProductMethodeNaTermenNaarEenKant
0018 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(q^2+18q+32=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((q+2)(q+16)=0\)

1p

Hieruit volgt \(q=-2∨q=-16\)

1p

opgave 2

Los exact op.

4p

a

\((t-8)(t+11)=-90\)

VermenigvuldigingIsNietNul (1)
0019 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

Haakjes uitwerken geeft \(t^2+3t-88=-90\)

1p

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(t^2+3t+2=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((t+1)(t+2)=0\)

1p

Hieruit volgt \(t=-1∨t=-2\)

1p

4p

b

\(x(x+22)=5x-72\)

VermenigvuldigingIsNietNul (2)
001a - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

b

Haakjes uitwerken geeft \(x^2+22x=5x-72\)

1p

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(x^2+17x+72=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((x+8)(x+9)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=-8∨x=-9\)

1p

2p

c

\(x^2-13x=0\)

XBuitenDeHaakjes
001g - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(x\) buiten de haakjes halen geeft \(x(x-13)=0\)

1p

Dus \(x=0∨x=13\)

1p

3p

d

\(t^2=-4t\)

XBuitenDeHaakjesNaTermenNaarEenKant (1)
001h - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(t^2+4t=0\)

1p

\(t\) buiten de haakjes halen geeft \(t(t+4)=0\)

1p

Dus \(t=0∨t=-4\)

1p

opgave 3

Los exact op.

2p

a

\(x^2+4x+4=0\)

DubbelNulpunt
001j - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

a

De som-productmethode geeft \((x+2)^2=0\)

1p

Dus \(x=-2\)

1p

3p

b

\(q^2+17=-7q+17\)

XBuitenDeHaakjesNaTermenNaarEenKant (2)
001q - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

b

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(q^2+7q=0\)

1p

\(q\) buiten de haakjes halen geeft \(q(q+7)=0\)

1p

Dus \(q=0∨q=-7\)

1p

2 vwo 7.4 Oplosmethoden

Kwadratische vergelijkingen (5)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(x^2=100\)

KwadraatMetGeheleOplossing
0003 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=10∨x=-10\)

2p

2p

b

\(x^2=-8\)

KwadraatZonderOplossing
0004 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Geen oplossingen.

2p

3p

c

\(2t^2=200\)

KwadraatMetGeheleOplossingNaDeling
001b - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

c

Delen door \(2\) geeft \(t^2=100\)

1p

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(t=10∨t=-10\)

2p

4p

d

\(5x^2+6=251\)

KwadraatMetGeheleOplossingNaDelingEnAftrekken
001c - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

d

Aan beide zijden \(6\) aftrekken geeft \(5x^2=245\)

1p

Delen door \(5\) geeft \(x^2=49\)

1p

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=7∨x=-7\)

2p

opgave 2

Los exact op.

2p

\(x^2=31\)

KwadraatMetIrrationeleOplossing
001v - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=\sqrt{31}∨x=-\sqrt{31}\)

2p

3 vwo 3.1 Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen (6)

opgave 1

Los exact op.

3p

a

\(5q^2-20q-225=0\)

SomProductMethodeNaDeling
0006 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

Delen door \(5\) geeft \(q^2-4q-45=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((q-9)(q+5)=0\)

1p

Hieruit volgt \(q=9∨q=-5\)

1p

2p

b

\((x-3)^2=81\)

SamengesteldKwadraat
001d - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

De wortel nemen geeft \(x-3=9∨x-3=-9\)

1p

Dus \(x=12∨x=-6\)

1p

3p

c

\(2(q-10)^2=32\)

SamengesteldKwadraatNaDeling
001e - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

c

Delen door \(2\) geeft \((q-10)^2=16\)

1p

De wortel nemen geeft \(q-10=4∨q-10=-4\)

1p

Dus \(q=14∨q=6\)

1p

4p

d

\(2(t-4)^2-2=70\)

SamengesteldKwadraatNaDelingEnOptellen
001f - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

d

Aan beide zijden \(2\) optellen geeft \(2(t-4)^2=72\)

1p

Delen door \(2\) geeft \((t-4)^2=36\)

1p

De wortel nemen geeft \(t-4=6∨t-4=-6\)

1p

Dus \(t=10∨t=-2\)

1p

opgave 2

Los exact op.

2p

a

\((q+\frac{5}{12})^2=49\)

SamengesteldKwadraatMetBreuk
001w - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

De wortel nemen geeft \(q+\frac{5}{12}=7∨q+\frac{5}{12}=-7\)

1p

Dus \(q=6\frac{7}{12}∨q=-7\frac{5}{12}\)

1p

2p

b

\((x-5)^2=67\)

SamengesteldKwadraatMetWortel
001x - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

b

De wortel nemen geeft \(x-5=\sqrt{67}∨x-5=-\sqrt{67}\)

1p

Dus \(x=5+\sqrt{67}∨x=5-\sqrt{67}\)

1p

3 vwo 3.5 De abc-formule

Kwadratische vergelijkingen (10)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(x^2+14x-1=0\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingen (1)
001k - Kwadratische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=14^2-4⋅1⋅-1=200\)

1p

Dus \(x={-14+\sqrt{200} \over 2}≈0{,}07∨x={-14-\sqrt{200} \over 2}≈-14{,}07\)

1p

2p

b

\(2q^2+17q+8=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (1)
001l - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

b

De discriminant is gelijk aan \(D=17^2-4⋅2⋅8=225\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{225}=15\)

1p

Dus \(q={-17+15 \over 4}=-\frac{1}{2}∨q={-17-15 \over 4}=-8\)

1p

2p

c

\(t^2-5t+18=0\)

AbcFormuleZonderOplossingen (1)
001m - Kwadratische vergelijkingen - basis - 8ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

c

De discriminant is gelijk aan \(D=(-5)^2-4⋅1⋅18=-47\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

2p

d

\(5q^2+4q+64=0\)

AbcFormuleZonderOplossingen (2)
001n - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

d

De discriminant is gelijk aan \(D=4^2-4⋅5⋅64=-1\,264\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

opgave 2

Los exact op.

2p

a

\(5x^2-17x-50=0\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingen (2)
001o - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=(-17)^2-4⋅5⋅-50=1\,289\)

1p

Dus \(x={17+\sqrt{1\,289} \over 10}≈5{,}29∨x={17-\sqrt{1\,289} \over 10}≈-1{,}89\)

1p

3p

b

\(4t^2+16t=15t+16\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingenNaTermenNaarEenKant
001p - Kwadratische vergelijkingen - pro - 1ms - dynamic variables

b

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(4t^2+t-16=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan \(D=1^2-4⋅4⋅-16=257\)

1p

Dus \(t={-1+\sqrt{257} \over 8}≈1{,}88∨t={-1-\sqrt{257} \over 8}≈-2{,}13\)

1p

3p

c

\(3x^2+14x=15x-1\)

AbcFormuleZonderOplossingenNaTermenNaarEenKant
001r - Kwadratische vergelijkingen - pro - 1ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

c

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(3x^2-x+1=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan \(D=(-1)^2-4⋅3⋅1=-11\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

2p

d

\(4x^2-13x+10=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (2)
001s - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

De discriminant is gelijk aan \(D=(-13)^2-4⋅4⋅10=9\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{9}=3\)

1p

Dus \(x={13+3 \over 8}=2∨x={13-3 \over 8}=1\frac{1}{4}\)

1p

opgave 3

Los exact op.

2p

a

\(x^2-9\frac{1}{2}x-30=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (3)
001t - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=(-9\frac{1}{2})^2-4⋅1⋅-30=\frac{841}{4}\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{\frac{841}{4}}=\frac{29}{2}\)

1p

Dus \(x={9\frac{1}{2}+\frac{29}{2} \over 2}=12∨x={9\frac{1}{2}-\frac{29}{2} \over 2}=-2\frac{1}{2}\)

1p

2p

b

\(x^2-7\frac{1}{2}x-31\frac{1}{2}=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (4)
001u - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

b

De discriminant is gelijk aan \(D=(-7\frac{1}{2})^2-4⋅1⋅-31\frac{1}{2}=\frac{729}{4}\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{\frac{729}{4}}=\frac{27}{2}\)

1p

Dus \(x={7\frac{1}{2}+\frac{27}{2} \over 2}=10\frac{1}{2}∨x={7\frac{1}{2}-\frac{27}{2} \over 2}=-3\)

1p

"