Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde C

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Sara maakt een letterrijtje van \(9\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(5\) A's? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms a \(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\) 1p 1p b Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(5\) keer kop en \(2\) keer munt te gooien? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{5+2}{5}=21\) 1p 1p c Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(9\) signalen zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^9=512\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(7\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(2\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{7}{0}+\binom{7}{1}+\binom{7}{2}=29\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(3\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{12}{5}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{4}⋅\binom{12}{5}=166\,320\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{7}{2}⋅\binom{11}{4}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{18}{6}-\binom{7}{2}⋅\binom{11}{4}=11\,634\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Sara maakt een letterrijtje van \(9\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(5\) A's?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms

\(\text{aantal}=\binom{9}{5}=126\)

Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(5\) keer kop en \(2\) keer munt te gooien?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{5+2}{5}=21\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(9\) signalen zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^9=512\)

Beertje Pol eet \(7\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(2\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{7}{0}+\binom{7}{1}+\binom{7}{2}=29\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(3\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{12}{5}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{4}⋅\binom{12}{5}=166\,320\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{7}{2}⋅\binom{11}{4}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{18}{6}-\binom{7}{2}⋅\binom{11}{4}=11\,634\)