Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.2 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(2, 1)\) en \(B(7, 3)\text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(D\text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 50ms ○ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{AB}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((0, 6)\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(1, 0)\) en \(C(3, 4)\text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(D\text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\text{,}\) dus \(\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MA}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((0, 3)\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \(A(3, 2)\) en \(B(4, 7)\text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Diagonaal \(C\kern{-.8pt}E\) is een zijde van vierkant \(C\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}G\text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(F\text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{BC}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BC}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ 7\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{e}=\begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ 7\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{EC}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f}=\overrightarrow{e}+\overrightarrow{EC}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ 7\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 9\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((4\frac{1}{2}, 9\frac{1}{2})\text{.}\) 1p opgave 4Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(0, 3)\) en \(B(4, 5)\text{.}\) Op diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E=E\kern{-.8pt}F=F\kern{-.8pt}C\text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}E\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H\text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(G\text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 2\frac{1}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 2\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{EA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g}=\overrightarrow{e}+\overrightarrow{EA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}2 \\ 2\frac{1}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((1\frac{1}{3}, \frac{1}{3})\text{.}\) 1p opgave 5Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(0, 3)\) en \(B(1, 7)\text{.}\) Op diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E=E\kern{-.8pt}F=F\kern{-.8pt}C\text{.}\) Lijnstuk \(E\kern{-.8pt}F\) is een zijde van vierkant \(E\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H\text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(G\text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ -4\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ 8\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}-3 \\ 8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 4\frac{2}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f}=\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{e}-\overrightarrow{f}=\begin{pmatrix}-1 \\ 4\frac{2}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-2 \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -1\frac{2}{3}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{FE}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}-1\frac{2}{3} \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g}=\overrightarrow{f}+\overrightarrow{FE}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}-2 \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\frac{2}{3} \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\frac{2}{3} \\ 5\frac{1}{3}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((-3\frac{2}{3}, 5\frac{1}{3})\text{.}\) 1p |