Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.2 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (1 , 2)\) en \(B (5 , 3) \text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 50ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((0 , 6) \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 1)\) en \(C (7 , 0) \text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((5 , 3) \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \(A (0 , 2)\) en \(B (6 , 5) \text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Diagonaal \(A\kern{-.8pt}D\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}G \text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{c} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{CA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{CA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AD}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AD}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((-1\frac{1}{2} , -2\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p opgave 4Gegeven zijn de punten \(A (2 , 4)\) en \(B (5 , 0) \text{.}\) Op lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(C\) en \(D\) met \(A\kern{-.8pt}C = C\kern{-.8pt}D = D\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}D\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}F \text{.}\) Het punt \(G\) is het midden van zijde \(B\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}D \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4 \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ -\frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{5}{6} \\ \frac{1}{6}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{f}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\frac{5}{6} \\ \frac{1}{6}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4\frac{5}{12} \\ \frac{1}{12}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((4\frac{5}{12} , \frac{1}{12}) \text{.}\) 1p opgave 5Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (4 , 6)\) en \(C (5 , 1) \text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}B\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Diagonaal \(A\kern{-.8pt}E\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{EA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{e} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{EA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{e} + \overrightarrow{EA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((-2 , 10) \text{.}\) 1p |