Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per uur met \(3{,}3\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={3{,}3 \over 100}+1=1{,}033\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}033^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}033^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=21{,}349...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(21{,}3\) uur.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per uur met \(2{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={-2{,}4 \over 100}+1=0{,}976\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}976^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}976^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=28{,}533...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(28{,}5\) uur.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(11{,}9\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{11{,}9}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{11{,}9}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}059...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}059...-1)×100\%=6{,}0\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(19{,}1\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele afname per kwartier.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}1}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{19{,}1}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}964...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}964...-1)×100\%=-3{,}6\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}6\%\) per kwartier.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(1{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(81\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}}={1{,}3 \over 100}+1=1{,}013\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(81\%\) komt overeen met een factor \({81 \over 100}+1=1{,}81\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}013^t=1{,}81\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}013^x\)
\(y_2=1{,}81\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=45{,}936...\)

1p

○

Dus duurt het \(45{,}9\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(81\%\text{.}\)

1p
"