Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per dag met \(4{,}6\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 + {4{,}6 \over 100} = 1{,}046 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}046^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}046^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 15{,}412...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(15{,}4\) dagen.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(3{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = 1 - {3{,}9 \over 100} = 0{,}961 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}961^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}961^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 17{,}424...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(17{,}4\) minuten.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(16{,}9\) seconden.

3p

Bereken de procentuele toename per seconde.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{16{,}9} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{16{,}9}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}041...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}041... - 1) × 100\% = 4{,}2\%\) per seconde.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(13{,}9\) seconden.

3p

Bereken de procentuele afname per seconde.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}9} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{13{,}9}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}951...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}951... - 1) × 100\% = -4{,}9\%\) dus een procentuele afname van \(4{,}9\%\) per seconde.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per dag met \(3{,}7\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(74\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 + {3{,}7 \over 100} = 1{,}037 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(74\%\) komt overeen met een factor \(1 + {74 \over 100} = 1{,}74 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}037^{t} = 1{,}74 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}037^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}74\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 15{,}245...\)

1p

○

Dus duurt het \(15{,}2\) dagen voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(74\% \text{.}\)

1p
"