Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per dag met \(1{,}3\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = {1{,}3 \over 100} + 1 = 1{,}013 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}013^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}013^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 53{,}664...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(53{,}7\) dagen.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(5{,}5\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {-5{,}5 \over 100} + 1 = 0{,}945 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}945^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}945^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 12{,}252...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(12{,}3\) minuten.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(13{,}5\) uur.

3p

Bereken de procentuele toename per uur.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}5} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{13{,}5}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}052...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}052... - 1) × 100\% = 5{,}3\%\) per uur.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(20{,}8\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele afname per kwartier.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}8} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{20{,}8}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}967...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}967... - 1) × 100\% = -3{,}3\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}3\%\) per kwartier.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(3{,}6\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(83\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = {3{,}6 \over 100} + 1 = 1{,}036 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(83\%\) komt overeen met een factor \({83 \over 100} + 1 = 1{,}83 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}036^{t} = 1{,}83 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}036^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}83\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 17{,}086...\)

1p

○

Dus duurt het \(17{,}1\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(83\% \text{.}\)

1p
"