Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(1{,}7\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={1{,}7 \over 100}+1=1{,}017\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}017^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}017^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=41{,}118...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(41{,}1\) minuten.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}2\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={-1{,}2 \over 100}+1=0{,}988\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}988^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}988^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=57{,}414...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(57{,}4\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(20{,}4\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}4}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{20{,}4}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}034...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}034...-1)×100\%=3{,}5\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(18{,}4\) seconden.

3p

Bereken de procentuele afname per seconde.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{18{,}4}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{18{,}4}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}963...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}963...-1)×100\%=-3{,}7\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}7\%\) per seconde.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per week met \(1{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(83\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={1{,}3 \over 100}+1=1{,}013\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(83\%\) komt overeen met een factor \({83 \over 100}+1=1{,}83\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}013^t=1{,}83\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}013^x\)
\(y_2=1{,}83\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=46{,}787...\)

1p

○

Dus duurt het \(46{,}8\) weken voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(83\%\text{.}\)

1p
"