Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(3{,}1\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}}={3{,}1 \over 100}+1=1{,}031\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}031^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}031^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=22{,}704...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(22{,}7\) seconden.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(4{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={-4{,}1 \over 100}+1=0{,}959\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}959^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}959^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=16{,}557...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(16{,}6\) minuten.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(10{,}8\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{10{,}8}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{10{,}8}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}066...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}066...-1)×100\%=6{,}6\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(10{,}2\) minuten.

3p

Bereken de procentuele afname per minuut.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{10{,}2}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{10{,}2}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}934...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}934...-1)×100\%=-6{,}6\%\) dus een procentuele afname van \(6{,}6\%\) per minuut.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(3{,}2\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(72\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={3{,}2 \over 100}+1=1{,}032\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(72\%\) komt overeen met een factor \({72 \over 100}+1=1{,}72\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}032^t=1{,}72\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}032^x\)
\(y_2=1{,}72\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=17{,}217...\)

1p

○

Dus duurt het \(17{,}2\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(72\%\text{.}\)

1p
"