Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(5{,}4\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = {5{,}4 \over 100} + 1 = 1{,}054 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}054^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}054^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 13{,}179...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(13{,}2\) seconden.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per week met \(1{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}} = {-1{,}4 \over 100} + 1 = 0{,}986 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}986^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}986^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 49{,}163...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(49{,}2\) weken.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(17{,}1\) dagen.

3p

Bereken de procentuele toename per dag.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{17{,}1} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{17{,}1}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}041...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}041... - 1) × 100\% = 4{,}1\%\) per dag.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(12{,}5\) seconden.

3p

Bereken de procentuele afname per seconde.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{12{,}5} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{12{,}5}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}946...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}946... - 1) × 100\% = -5{,}4\%\) dus een procentuele afname van \(5{,}4\%\) per seconde.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(1{,}2\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(66\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {1{,}2 \over 100} + 1 = 1{,}012 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(66\%\) komt overeen met een factor \({66 \over 100} + 1 = 1{,}66 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}012^{t} = 1{,}66 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}012^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}66\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 42{,}487...\)

1p

○

Dus duurt het \(42{,}5\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(66\% \text{.}\)

1p
"