Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(4{,}8\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={4{,}8 \over 100}+1=1{,}048\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}048^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}048^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=14{,}784...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(14{,}8\) minuten.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(3{,}8\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={-3{,}8 \over 100}+1=0{,}962\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}962^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}962^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=17{,}891...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(17{,}9\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(19{,}2\) weken.

3p

Bereken de procentuele toename per week.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}2}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{19{,}2}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}036...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}036...-1)×100\%=3{,}7\%\) per week.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(13{,}3\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele afname per kwartier.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}3}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{13{,}3}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}949...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}949...-1)×100\%=-5{,}1\%\) dus een procentuele afname van \(5{,}1\%\) per kwartier.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per dag met \(1{,}4\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(70\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}}={1{,}4 \over 100}+1=1{,}014\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(70\%\) komt overeen met een factor \({70 \over 100}+1=1{,}7\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}014^t=1{,}7\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}014^x\)
\(y_2=1{,}7\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=38{,}166...\)

1p

○

Dus duurt het \(38{,}2\) dagen voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(70\%\text{.}\)

1p
"