Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per week met \(2{,}5\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}} = {2{,}5 \over 100} + 1 = 1{,}025 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}025^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}025^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 28{,}071...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(28{,}1\) weken.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per dag met \(1{,}6\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = {-1{,}6 \over 100} + 1 = 0{,}984 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}984^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}984^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 42{,}974...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(43{,}0\) dagen.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(14{,}3\) dagen.

3p

Bereken de procentuele toename per dag.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{14{,}3} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{14{,}3}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}049...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}049... - 1) × 100\% = 5{,}0\%\) per dag.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(18{,}1\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{18{,}1} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{18{,}1}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}962...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}962... - 1) × 100\% = -3{,}8\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}8\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(1{,}1\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(69\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {1{,}1 \over 100} + 1 = 1{,}011 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(69\%\) komt overeen met een factor \({69 \over 100} + 1 = 1{,}69 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}011^{t} = 1{,}69 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}011^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}69\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 47{,}964...\)

1p

○

Dus duurt het \(48{,}0\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(69\% \text{.}\)

1p
"