Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(6, 0)\) en \(B(2, 5)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-4 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(22, 13)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=22\) geeft
\(4+3t=22\)
\(3t=18\)
\(t=6\text{.}\)

1p

○

\(t=6\) geeft \(y=7+6⋅1=13\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\) ligt op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,x-y=4\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\((-5+3t)-(3-t)=4\text{.}\)

1p

○

\(-5+3t-3+t=4\)
\(4t-8=4\)
\(4t=12\)
\(t=3\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=3\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-5+3⋅3=4\)
en
\(y=3+3⋅-1=0\)
dus \(S(4, 0)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(0, 2)\) en \(B(4, 1)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix}∧-5≤t≤1\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 6ms

○

\(t=-5\) geeft \(x=5-5⋅-5=30\) en \(y=3-5⋅1=-2\text{,}\) dus \((30, -2)\text{.}\)

1p

○

\(t=1\) geeft \(x=5+1⋅-5=0\) en \(y=3+1⋅1=4\text{,}\) dus \((0, 4)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(4, 0)\text{,}\) \(B(7, -6)\) en \(C(-1, -5)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7 \\ -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-8 \\ 1\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 85ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}3+2t=2+4u \\ -4+4t=-1-2u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2t-4u=-1 \\ 4t+2u=3\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}2t-4u=-1 \\ 4t+2u=3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4t-8u=-2 \\ 4t+2u=3\end{cases}\)

1p

○

Aftrekken geeft \(-10u=-5\) en dus \(u=\frac{1}{2}\)

1p

○

\(u=\frac{1}{2}\) geeft \(x=2+4⋅\frac{1}{2}=4\) en \(y=-1-2⋅\frac{1}{2}=-2\text{,}\) dus \(S(4, -2)\text{.}\)

1p
"