Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (3 , 5)\) en \(B (4 , 1) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (15 , 11)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ \(x = 15\) geeft \(1 + 7 t = 15\) \(7 t = 14\) \(t = 2 \text{.}\) 1p ○ \(t = 2\) geeft \(y = 4 + 2 ⋅ 3 = 10 \text{.}\) 1p ○ \(10 ≠ 11 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5 x + 2 y = 38 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ Substitutie geeft \(5 (4 + 3 t) + 2 (-4 - t) = 38 \text{.}\) 1p ○ \(20 + 15 t - 8 - 2 t = 38\) \(13 t + 12 = 38\) \(13 t = 26\) \(t = 2 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = 2\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = 4 + 2 ⋅ 3 = 10\) en \(y = -4 + 2 ⋅ -1 = -6\) dus \(S (10 , -6) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (3 , 5) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} ∧ 2 ≤ t ≤ 4 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 6ms ○ \(t = 2\) geeft \(x = 1 + 2 ⋅ 2 = 5\) en \(y = 5 + 2 ⋅ 2 = 9 \text{,}\) dus \((5 , 9) \text{.}\) 1p ○ \(t = 4\) geeft \(x = 1 + 4 ⋅ 2 = 9\) en \(y = 5 + 4 ⋅ 2 = 13 \text{,}\) dus \((9 , 13) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (-1 , 6) \text{,}\) \(B (0 , 5)\) en \(C (-3 , 4) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-3 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 96ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}-2 + 2 t = 1 + 3 u \\ 3 - t = 2 - u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2 t - 3 u = 3 \\ -t + u = -1\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}2 t - 3 u = 3 \\ -t + u = -1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 t - 3 u = 3 \\ -2 t + 2 u = -2\end{cases}\) 1p ○ Optellen geeft \(-u = 1\) en dus \(u = -1\) 1p ○ \(u = -1\) geeft \(x = 1 + 3 ⋅ -1 = -2\) en \(y = 2 + 1 = 3 \text{,}\) dus \(S (-2 , 3) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (3 , 5)\) en \(B (4 , 1) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (15 , 11)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x = 15\) geeft
\(1 + 7 t = 15\)
\(7 t = 14\)
\(t = 2 \text{.}\)

○

\(t = 2\) geeft \(y = 4 + 2 ⋅ 3 = 10 \text{.}\)

○

\(10 ≠ 11 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5 x + 2 y = 38 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(5 (4 + 3 t) + 2 (-4 - t) = 38 \text{.}\)

○

\(20 + 15 t - 8 - 2 t = 38\)
\(13 t + 12 = 38\)
\(13 t = 26\)
\(t = 2 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = 2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = 4 + 2 ⋅ 3 = 10\)
en
\(y = -4 + 2 ⋅ -1 = -6\)
dus \(S (10 , -6) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (3 , 5) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} ∧ 2 ≤ t ≤ 4 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 6ms

○

\(t = 2\) geeft \(x = 1 + 2 ⋅ 2 = 5\) en \(y = 5 + 2 ⋅ 2 = 9 \text{,}\) dus \((5 , 9) \text{.}\)

○

\(t = 4\) geeft \(x = 1 + 4 ⋅ 2 = 9\) en \(y = 5 + 4 ⋅ 2 = 13 \text{,}\) dus \((9 , 13) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (-1 , 6) \text{,}\) \(B (0 , 5)\) en \(C (-3 , 4) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-3 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 96ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-2 + 2 t = 1 + 3 u \\ 3 - t = 2 - u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2 t - 3 u = 3 \\ -t + u = -1\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}2 t - 3 u = 3 \\ -t + u = -1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 t - 3 u = 3 \\ -2 t + 2 u = -2\end{cases}\)

○

Optellen geeft \(-u = 1\) en dus \(u = -1\)

○

\(u = -1\) geeft \(x = 1 + 3 ⋅ -1 = -2\) en \(y = 2 + 1 = 3 \text{,}\) dus \(S (-2 , 3) \text{.}\)