Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(4, 3)\) en \(B(6, 2)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(20, 38)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=20\) geeft
\(6+2t=20\)
\(2t=14\)
\(t=7\text{.}\)

1p

○

\(t=7\) geeft \(y=3+7⋅5=38\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\) ligt op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ -5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2x+3y=-82\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(2(-5+2t)+3(-5+5t)=-82\text{.}\)

1p

○

\(-10+4t-15+15t=-82\)
\(19t-25=-82\)
\(19t=-57\)
\(t=-3\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=-3\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-5-3⋅2=-11\)
en
\(y=-5-3⋅5=-20\)
dus \(S(-11, -20)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(6, 0)\) en \(B(5, 4)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix}∧-3≤t≤4\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 7ms

○

\(t=-3\) geeft \(x=2-3⋅4=-10\) en \(y=0-3⋅7=-21\text{,}\) dus \((-10, -21)\text{.}\)

1p

○

\(t=4\) geeft \(x=2+4⋅4=18\) en \(y=0+4⋅7=28\text{,}\) dus \((18, 28)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(-5, -3)\text{,}\) \(B(2, -6)\) en \(C(0, -7)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}0 \\ -7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-2 \\ -1\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 108ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}3+2t=4+3u \\ -2+t=2-2u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2t-3u=1 \\ t+2u=4\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}2t-3u=1 \\ t+2u=4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2t-3u=1 \\ 2t+4u=8\end{cases}\)

1p

○

Aftrekken geeft \(-7u=-7\) en dus \(u=1\)

1p

○

\(u=1\) geeft \(x=4+3⋅1=7\) en \(y=2-2⋅1=0\text{,}\) dus \(S(7, 0)\text{.}\)

1p
"