Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (6 , 1)\) en \(B (5 , 7) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (9 , 34)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(x = 9\) geeft \(5 + t = 9\) \(t = 4\) \(t = 4 \text{.}\) 1p ○ \(t = 4\) geeft \(y = 6 + 4 ⋅ 7 = 34 \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\) ligt op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,x - 3 y = 20 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ Substitutie geeft \((1 + t) - 3 (-3 + 2 t) = 20 \text{.}\) 1p ○ \(1 + t + 9 - 6 t = 20\) \(-5 t + 10 = 20\) \(-5 t = 10\) \(t = -2 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = 1 - 2 ⋅ 1 = -1\) en \(y = -3 - 2 ⋅ 2 = -7\) dus \(S (-1 , -7) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (5 , 4)\) en \(B (6 , 1) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix} ∧ -3 ≤ t ≤ -1 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms ○ \(t = -3\) geeft \(x = 4 - 3 ⋅ 1 = 1\) en \(y = 7 - 3 ⋅ -5 = 22 \text{,}\) dus \((1 , 22) \text{.}\) 1p ○ \(t = -1\) geeft \(x = 4 - 1 ⋅ 1 = 3\) en \(y = 7 - 1 ⋅ -5 = 12 \text{,}\) dus \((3 , 12) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (2 , -7) \text{,}\) \(B (-3 , -6)\) en \(C (-4 , 0) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}0 + t = 4 + 2 u \\ -5 - 4 t = -3 + 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ -4 t - 4 u = 2\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ -4 t - 4 u = 2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - 8 u = 16 \\ -4 t - 4 u = 2\end{cases}\) 1p ○ Optellen geeft \(-12 u = 18\) en dus \(u = -1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(u = -1\frac{1}{2}\) geeft \(x = 4 + 2 ⋅ -1\frac{1}{2} = 1\) en \(y = -3 + 4 ⋅ -1\frac{1}{2} = -9 \text{,}\) dus \(S (1 , -9) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (6 , 1)\) en \(B (5 , 7) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (9 , 34)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(x = 9\) geeft
\(5 + t = 9\)
\(t = 4\)
\(t = 4 \text{.}\)

○

\(t = 4\) geeft \(y = 6 + 4 ⋅ 7 = 34 \text{.}\)

○

Dus \(A\) ligt op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,x - 3 y = 20 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

Substitutie geeft
\((1 + t) - 3 (-3 + 2 t) = 20 \text{.}\)

○

\(1 + t + 9 - 6 t = 20\)
\(-5 t + 10 = 20\)
\(-5 t = 10\)
\(t = -2 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = 1 - 2 ⋅ 1 = -1\)
en
\(y = -3 - 2 ⋅ 2 = -7\)
dus \(S (-1 , -7) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (5 , 4)\) en \(B (6 , 1) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix} ∧ -3 ≤ t ≤ -1 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms

○

\(t = -3\) geeft \(x = 4 - 3 ⋅ 1 = 1\) en \(y = 7 - 3 ⋅ -5 = 22 \text{,}\) dus \((1 , 22) \text{.}\)

○

\(t = -1\) geeft \(x = 4 - 1 ⋅ 1 = 3\) en \(y = 7 - 1 ⋅ -5 = 12 \text{,}\) dus \((3 , 12) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (2 , -7) \text{,}\) \(B (-3 , -6)\) en \(C (-4 , 0) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}0 + t = 4 + 2 u \\ -5 - 4 t = -3 + 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ -4 t - 4 u = 2\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ -4 t - 4 u = 2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - 8 u = 16 \\ -4 t - 4 u = 2\end{cases}\)

○

Optellen geeft \(-12 u = 18\) en dus \(u = -1\frac{1}{2}\)

○

\(u = -1\frac{1}{2}\) geeft \(x = 4 + 2 ⋅ -1\frac{1}{2} = 1\) en \(y = -3 + 4 ⋅ -1\frac{1}{2} = -9 \text{,}\) dus \(S (1 , -9) \text{.}\)