Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (6 , 0)\) en \(B (4 , 5) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (47 , 12)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ \(x = 47\) geeft \(5 + 7 t = 47\) \(7 t = 42\) \(t = 6 \text{.}\) 1p ○ \(t = 6\) geeft \(y = 1 + 6 ⋅ 2 = 13 \text{.}\) 1p ○ \(13 ≠ 12 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2 x - 5 y = -86 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ Substitutie geeft \(2 (-3 + 2 t) - 5 (-3 - 3 t) = -86 \text{.}\) 1p ○ \(-6 + 4 t + 15 + 15 t = -86\) \(19 t + 9 = -86\) \(19 t = -95\) \(t = -5 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = -5\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = -3 - 5 ⋅ 2 = -13\) en \(y = -3 - 5 ⋅ -3 = 12\) dus \(S (-13 , 12) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (7 , 2)\) en \(B (0 , 6) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -4\end{pmatrix} ∧ 2 ≤ t ≤ 5 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 8ms ○ \(t = 2\) geeft \(x = 4 + 2 ⋅ -4 = -4\) en \(y = 5 + 2 ⋅ -4 = -3 \text{,}\) dus \((-4 , -3) \text{.}\) 1p ○ \(t = 5\) geeft \(x = 4 + 5 ⋅ -4 = -16\) en \(y = 5 + 5 ⋅ -4 = -15 \text{,}\) dus \((-16 , -15) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (3 , 0) \text{,}\) \(B (-4 , 5)\) en \(C (-1 , 2) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 103ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}-1 + t = 3 + 2 u \\ 2 + 3 t = -1 - 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ 3 t + 4 u = -3\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ 3 t + 4 u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 t - 6 u = 12 \\ 3 t + 4 u = -3\end{cases}\) 1p ○ Aftrekken geeft \(-10 u = 15\) en dus \(u = -1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(u = -1\frac{1}{2}\) geeft \(x = 3 + 2 ⋅ -1\frac{1}{2} = 0\) en \(y = -1 - 4 ⋅ -1\frac{1}{2} = 5 \text{,}\) dus \(S (0 , 5) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (6 , 0)\) en \(B (4 , 5) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (47 , 12)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x = 47\) geeft
\(5 + 7 t = 47\)
\(7 t = 42\)
\(t = 6 \text{.}\)

○

\(t = 6\) geeft \(y = 1 + 6 ⋅ 2 = 13 \text{.}\)

○

\(13 ≠ 12 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2 x - 5 y = -86 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(2 (-3 + 2 t) - 5 (-3 - 3 t) = -86 \text{.}\)

○

\(-6 + 4 t + 15 + 15 t = -86\)
\(19 t + 9 = -86\)
\(19 t = -95\)
\(t = -5 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = -5\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = -3 - 5 ⋅ 2 = -13\)
en
\(y = -3 - 5 ⋅ -3 = 12\)
dus \(S (-13 , 12) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (7 , 2)\) en \(B (0 , 6) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -4\end{pmatrix} ∧ 2 ≤ t ≤ 5 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 8ms

○

\(t = 2\) geeft \(x = 4 + 2 ⋅ -4 = -4\) en \(y = 5 + 2 ⋅ -4 = -3 \text{,}\) dus \((-4 , -3) \text{.}\)

○

\(t = 5\) geeft \(x = 4 + 5 ⋅ -4 = -16\) en \(y = 5 + 5 ⋅ -4 = -15 \text{,}\) dus \((-16 , -15) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (3 , 0) \text{,}\) \(B (-4 , 5)\) en \(C (-1 , 2) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 103ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-1 + t = 3 + 2 u \\ 2 + 3 t = -1 - 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ 3 t + 4 u = -3\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}t - 2 u = 4 \\ 3 t + 4 u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 t - 6 u = 12 \\ 3 t + 4 u = -3\end{cases}\)

○

Aftrekken geeft \(-10 u = 15\) en dus \(u = -1\frac{1}{2}\)

○

\(u = -1\frac{1}{2}\) geeft \(x = 3 + 2 ⋅ -1\frac{1}{2} = 0\) en \(y = -1 - 4 ⋅ -1\frac{1}{2} = 5 \text{,}\) dus \(S (0 , 5) \text{.}\)