Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (7 , 2)\) en \(B (0 , 6) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (20 , 17)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ \(x = 20\) geeft \(2 + 6 t = 20\) \(6 t = 18\) \(t = 3 \text{.}\) 1p ○ \(t = 3\) geeft \(y = 1 + 3 ⋅ 5 = 16 \text{.}\) 1p ○ \(16 ≠ 17 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2 x + 3 y = 26 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ Substitutie geeft \(2 (-5 - 5 t) + 3 (5 + t) = 26 \text{.}\) 1p ○ \(-10 - 10 t + 15 + 3 t = 26\) \(-7 t + 5 = 26\) \(-7 t = 21\) \(t = -3 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = -3\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = -5 - 3 ⋅ -5 = 10\) en \(y = 5 - 3 ⋅ 1 = 2\) dus \(S (10 , 2) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (5 , 2)\) en \(B (7 , 3) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} ∧ -3 ≤ t ≤ 5 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 5ms ○ \(t = -3\) geeft \(x = 2 - 3 ⋅ 5 = -13\) en \(y = 4 - 3 ⋅ 2 = -2 \text{,}\) dus \((-13 , -2) \text{.}\) 1p ○ \(t = 5\) geeft \(x = 2 + 5 ⋅ 5 = 27\) en \(y = 4 + 5 ⋅ 2 = 14 \text{,}\) dus \((27 , 14) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (6 , 0) \text{,}\) \(B (1 , 3)\) en \(C (2 , 5) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 80ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}-3 + t = -1 + 2 u \\ 2 + 2 t = -1 - 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 2 u = 2 \\ 2 t + 3 u = -3\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}t - 2 u = 2 \\ 2 t + 3 u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 t - 4 u = 4 \\ 2 t + 3 u = -3\end{cases}\) 1p ○ Aftrekken geeft \(-7 u = 7\) en dus \(u = -1\) 1p ○ \(u = -1\) geeft \(x = -1 + 2 ⋅ -1 = -3\) en \(y = -1 - 3 ⋅ -1 = 2 \text{,}\) dus \(S (-3 , 2) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (7 , 2)\) en \(B (0 , 6) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (20 , 17)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x = 20\) geeft
\(2 + 6 t = 20\)
\(6 t = 18\)
\(t = 3 \text{.}\)

○

\(t = 3\) geeft \(y = 1 + 3 ⋅ 5 = 16 \text{.}\)

○

\(16 ≠ 17 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2 x + 3 y = 26 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

Substitutie geeft
\(2 (-5 - 5 t) + 3 (5 + t) = 26 \text{.}\)

○

\(-10 - 10 t + 15 + 3 t = 26\)
\(-7 t + 5 = 26\)
\(-7 t = 21\)
\(t = -3 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = -3\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = -5 - 3 ⋅ -5 = 10\)
en
\(y = 5 - 3 ⋅ 1 = 2\)
dus \(S (10 , 2) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (5 , 2)\) en \(B (7 , 3) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix} ∧ -3 ≤ t ≤ 5 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 5ms

○

\(t = -3\) geeft \(x = 2 - 3 ⋅ 5 = -13\) en \(y = 4 - 3 ⋅ 2 = -2 \text{,}\) dus \((-13 , -2) \text{.}\)

○

\(t = 5\) geeft \(x = 2 + 5 ⋅ 5 = 27\) en \(y = 4 + 5 ⋅ 2 = 14 \text{,}\) dus \((27 , 14) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (6 , 0) \text{,}\) \(B (1 , 3)\) en \(C (2 , 5) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 80ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-3 + t = -1 + 2 u \\ 2 + 2 t = -1 - 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}t - 2 u = 2 \\ 2 t + 3 u = -3\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}t - 2 u = 2 \\ 2 t + 3 u = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 t - 4 u = 4 \\ 2 t + 3 u = -3\end{cases}\)

○

Aftrekken geeft \(-7 u = 7\) en dus \(u = -1\)

○

\(u = -1\) geeft \(x = -1 + 2 ⋅ -1 = -3\) en \(y = -1 - 3 ⋅ -1 = 2 \text{,}\) dus \(S (-3 , 2) \text{.}\)