Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(2, 7)\) en \(B(3, 5)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(25, 16)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=25\) geeft
\(4+7t=25\)
\(7t=21\)
\(t=3\text{.}\)

1p

○

\(t=3\) geeft \(y=1+3⋅5=16\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\) ligt op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ -5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5x-3y=4\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(5(-3+t)-3(-5+t)=4\text{.}\)

1p

○

\(-15+5t+15-3t=4\)
\(2t+0=4\)
\(2t=4\)
\(t=2\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-3+2⋅1=-1\)
en
\(y=-5+2⋅1=-3\)
dus \(S(-1, -3)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(0, 7)\) en \(B(4, 5)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix}∧-4≤t≤-1\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 6ms

○

\(t=-4\) geeft \(x=3-4⋅1=-1\) en \(y=2-4⋅5=-18\text{,}\) dus \((-1, -18)\text{.}\)

1p

○

\(t=-1\) geeft \(x=3-1⋅1=2\) en \(y=2-1⋅5=-3\text{,}\) dus \((2, -3)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(1, 5)\text{,}\) \(B(-3, -6)\) en \(C(-4, 0)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-4 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3 \\ -6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 6\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 83ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}1+2t=4+4u \\ 1+4t=2-2u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2t-4u=3 \\ 4t+2u=1\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}2t-4u=3 \\ 4t+2u=1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4t-8u=6 \\ 4t+2u=1\end{cases}\)

1p

○

Aftrekken geeft \(-10u=5\) en dus \(u=-\frac{1}{2}\)

1p

○

\(u=-\frac{1}{2}\) geeft \(x=4+4⋅-\frac{1}{2}=2\) en \(y=2-2⋅-\frac{1}{2}=3\text{,}\) dus \(S(2, 3)\text{.}\)

1p
"