Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(6, 4)\) en \(B(0, 7)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}0 \\ 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ 3\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-6 \\ 3\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(22, 30)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=22\) geeft
\(1+3t=22\)
\(3t=21\)
\(t=7\text{.}\)

1p

○

\(t=7\) geeft \(y=2+7⋅4=30\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\) ligt op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-2 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,4x-5y=-31\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(4(-5-2t)-5(5-3t)=-31\text{.}\)

1p

○

\(-20-8t-25+15t=-31\)
\(7t-45=-31\)
\(7t=14\)
\(t=2\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-5+2⋅-2=-9\)
en
\(y=5+2⋅-3=-1\)
dus \(S(-9, -1)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(3, 5)\) en \(B(4, 0)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}∧4≤t≤5\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 9ms

○

\(t=4\) geeft \(x=2+4⋅5=22\) en \(y=5+4⋅-2=-3\text{,}\) dus \((22, -3)\text{.}\)

1p

○

\(t=5\) geeft \(x=2+5⋅5=27\) en \(y=5+5⋅-2=-5\text{,}\) dus \((27, -5)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(6, 1)\text{,}\) \(B(3, 2)\) en \(C(5, 0)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -2\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 123ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}3+3t=-1+4u \\ 0-4t=-2+2u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3t-4u=-4 \\ -4t-2u=-2\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}3t-4u=-4 \\ -4t-2u=-2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12t-16u=-16 \\ -12t-6u=-6\end{cases}\)

1p

○

Optellen geeft \(-22u=-22\) en dus \(u=1\)

1p

○

\(u=1\) geeft \(x=-1+4⋅1=3\) en \(y=-2+2⋅1=0\text{,}\) dus \(S(3, 0)\text{.}\)

1p
"