Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}))={\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={-7 \over \sqrt{5}⋅\sqrt{34}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})=\cos^{-1}({-7 \over \sqrt{5}⋅\sqrt{34}})≈122{,}5\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (k, l))={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={18 \over \sqrt{40}⋅\sqrt{9}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle (k, l)=\cos^{-1}({18 \over \sqrt{40}⋅\sqrt{9}})≈18{,}4\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{K}(0, 1)\text{,}\) \(\text{L}(7, 3)\) en \(\text{M}(5, -2)\text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L\text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms ○ \(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{k}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{l}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L)={\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={5 \over \sqrt{34}⋅\sqrt{29}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L=\cos^{-1}({5 \over \sqrt{34}⋅\sqrt{29}})≈80{,}8\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}))={\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={-7 \over \sqrt{5}⋅\sqrt{34}}\text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})=\cos^{-1}({-7 \over \sqrt{5}⋅\sqrt{34}})≈122{,}5\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (k, l))={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={18 \over \sqrt{40}⋅\sqrt{9}}\text{.}\)

○

\(\angle (k, l)=\cos^{-1}({18 \over \sqrt{40}⋅\sqrt{9}})≈18{,}4\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{K}(0, 1)\text{,}\) \(\text{L}(7, 3)\) en \(\text{M}(5, -2)\text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L\text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms

○

\(\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{k}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{ML}=\overrightarrow{l}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

○

\(\cos(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L)={\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-5 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={5 \over \sqrt{34}⋅\sqrt{29}}\text{.}\)

○

\(\angle K\kern{-.8pt}M\kern{-.8pt}L=\cos^{-1}({5 \over \sqrt{34}⋅\sqrt{29}})≈80{,}8\degree\)