Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {2 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{5}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({2 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{5}}) ≈ 79{,}7\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {12 \over \sqrt{85} ⋅ \sqrt{4}}\) 1p ○ \(\angle (k , l) = \cos^{-1}({12 \over \sqrt{85} ⋅ \sqrt{4}}) ≈ 49{,}4\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{K} (3 , 0) \text{,}\) \(\text{L} (2 , -6)\) en \(\text{M} (1 , -4) \text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle M\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}K \text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms ○ \(\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{m} - \overrightarrow{l} = \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{LK} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{l} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle M\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}K) = {\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {11 \over \sqrt{5} ⋅ \sqrt{37}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle M\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}K = \cos^{-1}({11 \over \sqrt{5} ⋅ \sqrt{37}}) ≈ 36{,}0\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {2 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{5}} \text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({2 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{5}}) ≈ 79{,}7\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {12 \over \sqrt{85} ⋅ \sqrt{4}}\)

○

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({12 \over \sqrt{85} ⋅ \sqrt{4}}) ≈ 49{,}4\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{K} (3 , 0) \text{,}\) \(\text{L} (2 , -6)\) en \(\text{M} (1 , -4) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle M\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}K \text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms

○

\(\overrightarrow{LM} = \overrightarrow{m} - \overrightarrow{l} = \begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{LK} = \overrightarrow{k} - \overrightarrow{l} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\cos(\angle M\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}K) = {\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {11 \over \sqrt{5} ⋅ \sqrt{37}} \text{.}\)

○

\(\angle M\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}K = \cos^{-1}({11 \over \sqrt{5} ⋅ \sqrt{37}}) ≈ 36{,}0\degree\)