Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix}\text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}))={\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={40 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{52}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})=\cos^{-1}({40 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{52}})≈40{,}4\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (k, l))={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={43 \over \sqrt{74}⋅\sqrt{25}}\) 1p ○ \(\angle (k, l)=\cos^{-1}({43 \over \sqrt{74}⋅\sqrt{25}})≈1{,}3\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{K}(2, 7)\text{,}\) \(\text{L}(4, -1)\) en \(\text{M}(6, 3)\text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle M\kern{-.8pt}K\kern{-.8pt}L\text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 5ms ○ \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{m}-\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{l}-\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -8\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle M\kern{-.8pt}K\kern{-.8pt}L)={\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}2 \\ -8\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -8\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={40 \over \sqrt{32}⋅\sqrt{68}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle M\kern{-.8pt}K\kern{-.8pt}L=\cos^{-1}({40 \over \sqrt{32}⋅\sqrt{68}})≈31{,}0\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}))={\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={40 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{52}}\text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})=\cos^{-1}({40 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{52}})≈40{,}4\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (k, l))={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={43 \over \sqrt{74}⋅\sqrt{25}}\)

○

\(\angle (k, l)=\cos^{-1}({43 \over \sqrt{74}⋅\sqrt{25}})≈1{,}3\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{K}(2, 7)\text{,}\) \(\text{L}(4, -1)\) en \(\text{M}(6, 3)\text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle M\kern{-.8pt}K\kern{-.8pt}L\text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 5ms

○

\(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{m}-\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{l}-\overrightarrow{k}=\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -8\end{pmatrix}\text{.}\)

○

\(\cos(\angle M\kern{-.8pt}K\kern{-.8pt}L)={\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}2 \\ -8\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -8\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={40 \over \sqrt{32}⋅\sqrt{68}}\text{.}\)

○

\(\angle M\kern{-.8pt}K\kern{-.8pt}L=\cos^{-1}({40 \over \sqrt{32}⋅\sqrt{68}})≈31{,}0\degree\)