Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}))={\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={15 \over \sqrt{9}⋅\sqrt{74}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})=\cos^{-1}({15 \over \sqrt{9}⋅\sqrt{74}})≈54{,}5\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (k, l))={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={41 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{34}}\) 1p ○ \(\angle (k, l)=\cos^{-1}({41 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{34}})≈15{,}0\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{P}(0, 2)\text{,}\) \(\text{Q}(3, -1)\) en \(\text{R}(6, 5)\text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q\text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms ○ \(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q)={\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={9 \over \sqrt{45}⋅\sqrt{18}}\text{.}\) 1p ○ \(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q=\cos^{-1}({9 \over \sqrt{45}⋅\sqrt{18}})≈71{,}6\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}))={\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={15 \over \sqrt{9}⋅\sqrt{74}}\text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b})=\cos^{-1}({15 \over \sqrt{9}⋅\sqrt{74}})≈54{,}5\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}3 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (k, l))={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={41 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{34}}\)

○

\(\angle (k, l)=\cos^{-1}({41 \over \sqrt{53}⋅\sqrt{34}})≈15{,}0\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{P}(0, 2)\text{,}\) \(\text{Q}(3, -1)\) en \(\text{R}(6, 5)\text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q\text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms

○

\(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}=\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\)

○

\(\cos(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q)={\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={9 \over \sqrt{45}⋅\sqrt{18}}\text{.}\)

○

\(\angle R\kern{-.8pt}P\kern{-.8pt}Q=\cos^{-1}({9 \over \sqrt{45}⋅\sqrt{18}})≈71{,}6\degree\)